Theorem redivdird 43481

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rediv23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rediv23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rediv23d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
rediv23d.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)))

Proof of Theorem redivdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rediv23d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		rediv23d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rediv23d.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5	3, 1, 4	sn-redivcld 43463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
7		rediv23d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7, 1, 4	sn-redivcld 43463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	2, 6, 9	adddid 11314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = ((𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) + (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶))))
11	3, 1, 4	redivcan2d 43466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) = 𝐴)
12	7, 1, 4	redivcan2d 43466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶)) = 𝐵)
13	11, 12	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) + (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵))
14	10, 13	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵))
15	3, 7	readdcld 11319	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
16	5, 8	readdcld 11319	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1, 4	redivmuld 43464	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)) ↔ (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 17	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   · cmul 11186   /_ℝ crediv 43459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12386  df-3 12387  df-resub 43385  df-rediv 43460

This theorem is used by: (None)