Theorem redivdird 43717

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rediv23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rediv23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rediv23d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
rediv23d.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)))

Proof of Theorem redivdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rediv23d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		rediv23d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rediv23d.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5	3, 1, 4	sn-redivcld 43699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
7		rediv23d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7, 1, 4	sn-redivcld 43699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	2, 6, 9	adddid 11363	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = ((𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) + (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶))))
11	3, 1, 4	redivcan2d 43702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) = 𝐴)
12	7, 1, 4	redivcan2d 43702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶)) = 𝐵)
13	11, 12	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) + (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵))
14	10, 13	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵))
15	3, 7	readdcld 11368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
16	5, 8	readdcld 11368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1, 4	redivmuld 43700	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)) ↔ (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 17	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230   + caddc 11233   · cmul 11235   /_ℝ crediv 43695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-2 12435  df-3 12436  df-resub 43621  df-rediv 43696

This theorem is used by: (None)