Theorem redivdird 43607

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by SN, 9-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rediv23d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rediv23d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
rediv23d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
rediv23d.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)))

Proof of Theorem redivdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rediv23d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
3		rediv23d.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		rediv23d.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5	3, 1, 4	sn-redivcld 43589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
7		rediv23d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7, 1, 4	sn-redivcld 43589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
10	2, 6, 9	adddid 11337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = ((𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) + (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶))))
11	3, 1, 4	redivcan2d 43592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) = 𝐴)
12	7, 1, 4	redivcan2d 43592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶)) = 𝐵)
13	11, 12	oveq12d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝐴 /ℝ 𝐶)) + (𝐶 · (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵))
14	10, 13	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵))
15	3, 7	readdcld 11342	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
16	5, 8	readdcld 11342	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)) ∈ ℝ)
17	15, 16, 1, 4	redivmuld 43590	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)) ↔ (𝐶 · ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶))) = (𝐴 + 𝐵)))
18	14, 17	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) /ℝ 𝐶) = ((𝐴 /ℝ 𝐶) + (𝐵 /ℝ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   + caddc 11207   · cmul 11209   /_ℝ crediv 43585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-2 12409  df-3 12410  df-resub 43511  df-rediv 43586

This theorem is used by: (None)