Theorem redivmuld 43264

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
redivmuld.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem redivmuld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		redivmuld.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
4	1, 2, 3	redivvald 43261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
5	4	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
6		redivmuld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	1, 2, 3	rediveud 43262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
8		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝐵))
9	8	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
10	9	riota2 7401	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
11	6, 7, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 11	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃!wreu 3369  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115   · cmul 11120   /_ℝ crediv 43259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-2 12318  df-3 12319  df-resub 43185  df-rediv 43260

This theorem is used by:  redivmul2d  43265  redivcan2d  43266  redivcan3d  43267  sn-rediv1d  43271  rerecrecd  43278  redivrec2d  43279  redivdird  43281