Theorem redivmuld 42815

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by SN, 25-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
redivmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
redivmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
redivmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
redivmuld.z	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
redivmuld	⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem redivmuld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivmuld.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		redivmuld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		redivmuld.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
4	1, 2, 3	redivvald 42812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /ℝ 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
5	4	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
6		redivmuld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	1, 2, 3	rediveud 42813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
8		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝐵))
9	8	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
10	9	riota2 7350	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
11	6, 7, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 11	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /ℝ 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3350  ℩crio 7324  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   /_ℝ crediv 42810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-2 12220  df-3 12221  df-resub 42736  df-rediv 42811

This theorem is referenced by:  redivcan2d  42816  redivcan3d  42817