Theorem relfi 32853

Description: A relation (set) is finite if and only if both its domain and range are finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfi	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)))

Proof of Theorem relfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
2		rnfi 9285	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin))
4		xpfi 9267	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin) → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ Fin)
5		relssdmrn 6259	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
6		ssfi 9145	. . . 4 ⊢ (((dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
7	4, 5, 6	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	ex 417	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin))
9	3, 8	impbid2 229	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652  Rel wrel 5656  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-en 8932  df-dom 8933  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffslem  32985