Theorem relfi 32471

Description: A relation (set) is finite if and only if both its domain and range are finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfi	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)))

Proof of Theorem relfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9356	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
2		rnfi 9361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	jca 510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin))
4		xpfi 9343	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin) → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ Fin)
5		relssdmrn 6274	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
6		ssfi 9198	. . . 4 ⊢ (((dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
7	4, 5, 6	syl2anr 595	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	ex 411	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin))
9	3, 8	impbid2 225	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  Rel wrel 5683  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  fpwrelmapffslem  32596