Theorem relfi 33189

Description: A relation (set) is finite if and only if both its domain and range are finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
relfi	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)))

Proof of Theorem relfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfi 9317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom 𝐴 ∈ Fin)
2		rnfi 9322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin))
4		xpfi 9304	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin) → (dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ Fin)
5		relssdmrn 6270	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴))
6		ssfi 9181	. . . 4 ⊢ (((dom 𝐴 × ran 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 × ran 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
7	4, 5, 6	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	ex 418	. 2 ⊢ (Rel 𝐴 → ((dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin))
9	3, 8	impbid2 229	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ (dom 𝐴 ∈ Fin ∧ ran 𝐴 ∈ Fin)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652  Rel wrel 5656  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970

This theorem is used by:  fpwrelmapffslem  33317