Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord6apre Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihord6apre 40122
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord6apre.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihord6apre.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihord6apre.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihord6apre.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihord6apre.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord6apre.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihord6apre.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord6apre.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord6apre.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord6apre.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihord6apre.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihord6apre.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
Assertion
Ref Expression
dihord6apre ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Distinct variable groups:   ≀ ,π‘ž   𝐴,π‘ž   β„Ž,π‘ž,𝐡   𝐻,π‘ž   𝐼,π‘ž   β„Ž,𝐾,π‘ž   𝑂,π‘ž   𝑇,β„Ž,π‘ž   β„Ž,π‘Š,π‘ž   𝑋,π‘ž   π‘Œ,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐴(β„Ž)   𝑃(β„Ž,π‘ž)   βŠ• (β„Ž,π‘ž)   π‘ˆ(β„Ž,π‘ž)   𝐸(β„Ž,π‘ž)   𝐺(β„Ž,π‘ž)   𝐻(β„Ž)   𝐼(β„Ž)   ≀ (β„Ž)   𝑂(β„Ž)   𝑋(β„Ž)   π‘Œ(β„Ž)
Proof of Theorem dihord6apre
StepHypRef Expression
1 dihord6apre.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dihord6apre.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dihord6apre.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dihord6apre.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dihord6apre.o . . . . . . 7 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
61, 2, 3, 4, 5tendo1ne0 39694 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
763ad2ant1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  𝑂)
87neneqd 2945 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂)
9 dihord6apre.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 eqid 2732 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
11 eqid 2732 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
12 dihord6apre.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
131, 9, 10, 11, 12, 2lhpmcvr2 38890 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
14133adant3 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
15 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simpl2 1192 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
17 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
18 dihord6apre.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
21 dihord6apre.u . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
22 dihord6apre.s . . . . . . . . . . . 12 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
231, 9, 10, 11, 12, 2, 18, 19, 20, 21, 22dihvalcq 40102 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
2415, 16, 17, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
25 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š))
261, 9, 2, 18, 19dihvalb 40103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
2715, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
2824, 27sseq12d 4015 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)))
292, 21, 15dvhlmod 39976 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
3130lsssssubg 20568 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
33 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
349, 12, 2, 21, 20, 30diclss 40059 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3515, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3632, 35sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
37 simpl1l 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3837hllatd 38229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
39 simpl2l 1226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
40 simpl1r 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
411, 2lhpbase 38864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
431, 11latmcl 18392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡)
4438, 39, 42, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡)
451, 9, 11latmle2 18417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
4638, 39, 42, 45syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)
471, 9, 2, 21, 19, 30diblss 40036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š) ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4815, 44, 46, 47syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4932, 48sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
5022lsmub1 19524 . . . . . . . . . . 11 (((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
5136, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))))
52 sstr 3990 . . . . . . . . . . 11 (((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∧ ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
53 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ))
542, 3, 4tendoidcl 39635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
5515, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
56 dihord6apre.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
57 dihord6apre.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
58 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) ∈ V
593fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 ∈ V
60 resiexg 7904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ V)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I β†Ύ 𝑇) ∈ V
629, 12, 2, 56, 3, 4, 20, 57, 58, 61dicopelval2 40047 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) β†’ (⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) ↔ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)))
6315, 33, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) ↔ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)))
6453, 55, 63mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž))
65 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ ⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž)) β†’ ⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))
66 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
671, 9, 2, 3, 5, 66, 19dibopelval2 40011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ↔ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂)))
6815, 25, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ↔ ((( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂)))
69 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ) ∈ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂)
7068, 69syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
7165, 70syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ ⟨(( I β†Ύ 𝑇)β€˜πΊ), ( I β†Ύ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
7264, 71mpan2d 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
7352, 72syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ† ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) ∧ ((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
7451, 73mpand 693 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ž) βŠ• (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š))) βŠ† (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
7528, 74sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
7675exp44 438 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š β†’ ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋 β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂)))))
7776imp4a 423 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))))
7877rexlimdv 3153 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂)))
7914, 78mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = 𝑂))
808, 79mtod 197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ))
8180pm2.21d 121 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
8281imp 407 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  occoc 17204  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  TEndoctendo 39618  DIsoAcdia 39894  DVecHcdvh 39944  DIsoBcdib 40004  DIsoCcdic 40038  DIsoHcdih 40094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095
This theorem is referenced by:  dihord6a  40127
  Copyright terms: Public domain W3C validator