Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihord6apre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihord6apre 37035
Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihord6apre.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihord6apre.l = (le‘𝐾)
dihord6apre.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihord6apre.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihord6apre.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihord6apre.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihord6apre.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihord6apre.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihord6apre.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihord6apre.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihord6apre.s = (LSSum‘𝑈)
dihord6apre.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
Assertion
Ref Expression
dihord6apre ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → 𝑋 𝑌)
Distinct variable groups:   ,𝑞   𝐴,𝑞   ,𝑞,𝐵   𝐻,𝑞   𝐼,𝑞   ,𝐾,𝑞   𝑂,𝑞   𝑇,,𝑞   ,𝑊,𝑞   𝑋,𝑞   𝑌,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴()   𝑃(,𝑞)   (,𝑞)   𝑈(,𝑞)   𝐸(,𝑞)   𝐺(,𝑞)   𝐻()   𝐼()   ()   𝑂()   𝑋()   𝑌()

Proof of Theorem dihord6apre
StepHypRef Expression
1 dihord6apre.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihord6apre.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dihord6apre.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 dihord6apre.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5 dihord6apre.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5tendo1ne0 36607 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
763ad2ant1 1156 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ( I ↾ 𝑇) ≠ 𝑂)
87neneqd 2981 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ¬ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂)
9 dihord6apre.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 eqid 2804 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
11 eqid 2804 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
12 dihord6apre.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 9, 10, 11, 12, 2lhpmcvr2 35802 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋))
14133adant3 1155 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋))
15 simpl1 1235 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2 1237 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
17 simpr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋))
18 dihord6apre.i . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
19 eqid 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
20 eqid 2804 . . . . . . . . . . . 12 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
21 dihord6apre.u . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
22 dihord6apre.s . . . . . . . . . . . 12 = (LSSum‘𝑈)
231, 9, 10, 11, 12, 2, 18, 19, 20, 21, 22dihvalcq 37015 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝐼𝑋) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))))
2415, 16, 17, 23syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝐼𝑋) = ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))))
25 simpl3 1239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝑌𝐵𝑌 𝑊))
261, 9, 2, 18, 19dihvalb 37016 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼𝑌) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))
2715, 25, 26syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝐼𝑌) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))
2824, 27sseq12d 3829 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) ↔ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)))
292, 21, 15dvhlmod 36889 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → 𝑈 ∈ LMod)
30 eqid 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
3130lsssssubg 19163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
33 simprl 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
349, 12, 2, 21, 20, 30diclss 36972 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3515, 33, 34syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3632, 35sseldd 3797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝑈))
37 simpl1l 1286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
3837hllatd 35142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
39 simpl2l 1290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → 𝑋𝐵)
40 simpl1r 1288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → 𝑊𝐻)
411, 2lhpbase 35776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → 𝑊𝐵)
431, 11latmcl 17255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
4438, 39, 42, 43syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵)
451, 9, 11latmle2 17280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)
4638, 39, 42, 45syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)
471, 9, 2, 21, 19, 30diblss 36949 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋(meet‘𝐾)𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋(meet‘𝐾)𝑊) 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4815, 44, 46, 47syl12anc 856 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4932, 48sseldd 3797 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
5022lsmub1 18270 . . . . . . . . . . 11 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))))
5136, 49, 50syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))))
52 sstr 3804 . . . . . . . . . . 11 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))) ∧ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))
53 eqidd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺))
542, 3, 4tendoidcl 36548 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
5515, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
56 dihord6apre.p . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
57 dihord6apre.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
58 fvex 6419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∈ V
593fvexi 6420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 ∈ V
60 resiexg 7330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ V → ( I ↾ 𝑇) ∈ V)
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( I ↾ 𝑇) ∈ V
629, 12, 2, 56, 3, 4, 20, 57, 58, 61dicopelval2 36960 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ↔ ((( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)))
6315, 33, 62syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ↔ ((( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)))
6453, 55, 63mpbir2and 695 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → ⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞))
65 ssel2 3791 . . . . . . . . . . . . 13 (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ ⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)) → ⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌))
66 eqid 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
671, 9, 2, 3, 5, 66, 19dibopelval2 36924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ↔ ((( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂)))
6815, 25, 67syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ↔ ((( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂)))
69 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ ( I ↾ 𝑇) = 𝑂) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂)
7068, 69syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
7165, 70syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) ∧ ⟨(( I ↾ 𝑇)‘𝐺), ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞)) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
7264, 71mpan2d 677 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
7352, 72syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) ⊆ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))) ∧ ((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌)) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
7451, 73mpand 678 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → (((((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑞) (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋(meet‘𝐾)𝑊))) ⊆ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
7528, 74sylbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
7675exp44 426 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑞𝐴 → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋 → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂)))))
7776imp4a 411 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))))
7877rexlimdv 3216 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞(join‘𝐾)(𝑋(meet‘𝐾)𝑊)) = 𝑋) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂)))
7914, 78mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) → ( I ↾ 𝑇) = 𝑂))
808, 79mtod 189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ¬ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌))
8180pm2.21d 119 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌) → 𝑋 𝑌))
8281imp 395 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝐼𝑋) ⊆ (𝐼𝑌)) → 𝑋 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2976  wrex 3095  Vcvv 3389  wss 3767  cop 4374   class class class wbr 4842  cmpt 4921   I cid 5216  cres 5311  cfv 6099  crio 6832  (class class class)co 6872  Basecbs 16066  lecple 16158  occoc 16159  joincjn 17147  meetcmee 17148  Latclat 17248  SubGrpcsubg 17788  LSSumclsm 18248  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134  Atomscatm 35041  HLchlt 35128  LHypclh 35762  LTrncltrn 35879  TEndoctendo 36531  DIsoAcdia 36807  DVecHcdvh 36857  DIsoBcdib 36917  DIsoCcdic 36951  DIsoHcdih 37007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-riotaBAD 34730
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-tpos 7585  df-undef 7632  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-oadd 7798  df-er 7977  df-map 8092  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-n0 11558  df-z 11642  df-uz 11903  df-fz 12548  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-sca 16167  df-vsca 16168  df-0g 16305  df-proset 17131  df-poset 17149  df-plt 17161  df-lub 17177  df-glb 17178  df-join 17179  df-meet 17180  df-p0 17242  df-p1 17243  df-lat 17249  df-clat 17311  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-submnd 17539  df-grp 17628  df-minusg 17629  df-sbg 17630  df-subg 17791  df-cntz 17949  df-lsm 18250  df-cmn 18394  df-abl 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19177  df-lvec 19308  df-oposet 34954  df-ol 34956  df-oml 34957  df-covers 35044  df-ats 35045  df-atl 35076  df-cvlat 35100  df-hlat 35129  df-llines 35276  df-lplanes 35277  df-lvols 35278  df-lines 35279  df-psubsp 35281  df-pmap 35282  df-padd 35574  df-lhyp 35766  df-laut 35767  df-ldil 35882  df-ltrn 35883  df-trl 35938  df-tendo 36534  df-edring 36536  df-disoa 36808  df-dvech 36858  df-dib 36918  df-dic 36952  df-dih 37008
This theorem is referenced by:  dihord6a  37040
  Copyright terms: Public domain W3C validator