Theorem ndxarg 17406

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 17420. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 17404	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 12371	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7951	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 17396	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6912	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 7204	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   I cid 5550   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  ℕcn 12365  Slot cslot 17391  ndxcnx 17403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-slot 17392  df-ndx 17404

This theorem is used by:  ndxid  17407  basendx  17428  2strop  17439  plusgndx  17486  mulrndx  17497  starvndx  17505  scandx  17517  vscandx  17522  ipndx  17533  tsetndx  17555  plendx  17569  ocndx  17584  dsndx  17588  unifndx  17598  homndx  17614  ccondx  17616  itvndx  28932  lngndx  28933  edgfndx  29602  eufndx  33930