Theorem ndxarg 17129

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 17145. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 17127	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 12218	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7905	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 17119	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6893	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 7171	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2765	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   I cid 5574   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  ℕcn 12212  Slot cslot 17114  ndxcnx 17126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127

This theorem is referenced by:  ndxid  17130  basendx  17153  basendxnnOLD  17155  2strstr  17166  2strstr1OLD  17170  2strop1  17172  resslemOLD  17187  plusgndx  17223  basendxnplusgndxOLD  17228  mulrndx  17238  basendxnmulrndxOLD  17241  starvndx  17247  scandx  17259  vscandx  17264  ipndx  17275  tsetndx  17297  plendx  17311  ocndx  17326  dsndx  17330  unifndx  17340  homndx  17356  ccondx  17358  slotsbhcdifOLD  17361  oppglemOLD  19215  symgvalstructOLD  19265  mgplemOLD  19992  opprlemOLD  20156  rmodislmodOLD  20541  sralemOLD  20791  zlmlemOLD  21067  znbaslemOLD  21091  opsrbaslemOLD  21605  tnglemOLD  24150  itvndx  27688  lngndx  27689  ttglemOLD  28129  cchhllemOLD  28145  edgfndx  28249  baseltedgfOLD  28254  eufndx  32390  resvlemOLD  32446  hlhilslemOLD  40810  mnringnmulrdOLD  42969