Theorem ndxarg 16825

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 16841. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 16823	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11909	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7735	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 16815	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6757	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 7027	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2770	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   I cid 5479   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  ℕcn 11903  Slot cslot 16810  ndxcnx 16822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-slot 16811  df-ndx 16823

This theorem is referenced by:  ndxid  16826  basendx  16849  basendxnnOLD  16851  2strstr  16860  2strstr1OLD  16864  2strop1  16866  resslemOLD  16878  plusgndx  16914  basendxnplusgndxOLD  16919  mulrndx  16929  basendxnmulrndxOLD  16932  starvndx  16938  scandx  16950  vscandx  16955  ipndx  16966  tsetndx  16987  plendx  17000  ocndx  17014  dsndx  17016  unifndx  17025  homndx  17040  ccondx  17042  slotsbhcdifOLD  17045  oppglemOLD  18870  symgvalstructOLD  18920  mgplemOLD  19640  opprlemOLD  19783  rmodislmodOLD  20107  sralemOLD  20355  zlmlemOLD  20631  znbaslemOLD  20655  opsrbaslemOLD  21161  tnglemOLD  23703  itvndx  26703  lngndx  26704  ttglemOLD  27142  cchhllemOLD  27158  edgfndx  27262  baseltedgfOLD  27267  resvlemOLD  31433  hlhilslemOLD  39880  mnringnmulrdOLD  41717