Theorem ndxarg 16500

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 16481. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 16478	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11636	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7611	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2907	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.1	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 16497	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6664	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 6928	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2846	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   I cid 5452   ↾ cres 5550  ‘cfv 6348  ℕcn 11630  ndxcnx 16472  Slot cslot 16474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-nn 11631  df-ndx 16478  df-slot 16479

This theorem is referenced by:  ndxid  16501  basendx  16539  basendxnn  16540  resslem  16549  plusgndx  16587  2strstr  16594  2strstr1  16597  2strop1  16599  basendxnplusgndx  16600  mulrndx  16607  basendxnmulrndx  16610  starvndx  16615  scandx  16624  vscandx  16626  ipndx  16633  tsetndx  16651  plendx  16658  ocndx  16665  dsndx  16667  unifndx  16669  homndx  16679  ccondx  16681  slotsbhcdif  16685  oppglem  18470  symgvalstruct  18517  mgplem  19236  opprlem  19370  rmodislmod  19694  sralem  19941  opsrbaslem  20250  zlmlem  20656  znbaslem  20677  tnglem  23241  itvndx  26218  lngndx  26219  ttglem  26654  cchhllem  26665  edgfndxnn  26769  baseltedgf  26771  resvlem  30897  hlhilslem  39066