Theorem ndxarg 16897

Description: Get the numeric argument from a defined structure component extractor such as df-base 16913. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndxarg.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ndxarg.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
ndxarg	⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Proof of Theorem ndxarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ndx 16895	. . . 4 ⊢ ndx = ( I ↾ ℕ)
2		nnex 11979	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
3		resiexg 7761	. . . . 5 ⊢ (ℕ ∈ V → ( I ↾ ℕ) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℕ) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ ndx ∈ V
6		ndxarg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
7	5, 6	strfvn 16887	. 2 ⊢ (𝐸‘ndx) = (ndx‘𝑁)
8	1	fveq1i 6775	. 2 ⊢ (ndx‘𝑁) = (( I ↾ ℕ)‘𝑁)
9		ndxarg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		fvresi 7045	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (( I ↾ ℕ)‘𝑁) = 𝑁
12	7, 8, 11	3eqtri 2770	1 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  ℕcn 11973  Slot cslot 16882  ndxcnx 16894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-slot 16883  df-ndx 16895

This theorem is referenced by:  ndxid  16898  basendx  16921  basendxnnOLD  16923  2strstr  16934  2strstr1OLD  16938  2strop1  16940  resslemOLD  16952  plusgndx  16988  basendxnplusgndxOLD  16993  mulrndx  17003  basendxnmulrndxOLD  17006  starvndx  17012  scandx  17024  vscandx  17029  ipndx  17040  tsetndx  17062  plendx  17076  ocndx  17091  dsndx  17095  unifndx  17105  homndx  17121  ccondx  17123  slotsbhcdifOLD  17126  oppglemOLD  18955  symgvalstructOLD  19005  mgplemOLD  19725  opprlemOLD  19868  rmodislmodOLD  20192  sralemOLD  20440  zlmlemOLD  20719  znbaslemOLD  20743  opsrbaslemOLD  21251  tnglemOLD  23797  itvndx  26798  lngndx  26799  ttglemOLD  27239  cchhllemOLD  27255  edgfndx  27359  baseltedgfOLD  27364  resvlemOLD  31531  hlhilslemOLD  39953  mnringnmulrdOLD  41828