Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn11a 40568
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 37. (Contributed by NM, 27-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn11a.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn11a.l = (le‘𝐾)
cdlemn11a.j = (join‘𝐾)
cdlemn11a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn11a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn11a.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
cdlemn11a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.J 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11a.d + = (+g𝑈)
cdlemn11a.s = (LSSum‘𝑈)
cdlemn11a.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn11a.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑁)
Assertion
Ref Expression
cdlemn11a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁))
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   𝐵,   ,𝐻   ,𝐾   ,𝑁   𝑃,   𝑄,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   + ()   ()   𝑅()   𝑈()   𝐸()   𝐹()   𝐺()   𝐼()   𝐽()   ()   𝑂()   𝑋()

Proof of Theorem cdlemn11a
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdlemn11a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 cdlemn11a.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemn11a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemn11a.p . . . . . . 7 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 39380 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
763ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊))
9 cdlemn11a.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn11a.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑁)
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 39940 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) → 𝐺𝑇)
121, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → 𝐺𝑇)
13 fvresi 7163 . . . 4 (𝐺𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = 𝐺)
1412, 13syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) = 𝐺)
1514eqcomd 2730 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → 𝐺 = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺))
16 cdlemn11a.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
174, 9, 16tendoidcl 40130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
18173ad2ant1 1130 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
19 cdlemn11a.J . . . 4 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
20 riotaex 7361 . . . . 5 (𝑇 (𝑃) = 𝑁) ∈ V
2110, 20eqeltri 2821 . . . 4 𝐺 ∈ V
229fvexi 6895 . . . . 5 𝑇 ∈ V
23 resiexg 7898 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → ( I ↾ 𝑇) ∈ V)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝑇) ∈ V
252, 3, 4, 5, 9, 16, 19, 10, 21, 24dicopelval2 40542 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊)) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁) ↔ (𝐺 = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)))
261, 8, 25syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → (⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁) ↔ (𝐺 = (( I ↾ 𝑇)‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)))
2715, 18, 26mpbir2and 710 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝑁 𝑊) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) ∧ (𝐽𝑁) ⊆ ((𝐽𝑄) (𝐼𝑋))) → ⟨𝐺, ( I ↾ 𝑇)⟩ ∈ (𝐽𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3940  cop 4626   class class class wbr 5138  cmpt 5221   I cid 5563  cres 5668  cfv 6533  crio 7356  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  lecple 17203  occoc 17204  joincjn 18266  LSSumclsm 19544  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519  TEndoctendo 40113  DVecHcdvh 40439  DIsoBcdib 40499  DIsoCcdic 40533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tendo 40116  df-dic 40534
This theorem is referenced by:  cdlemn11b  40569
  Copyright terms: Public domain W3C validator