MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sursubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sursubmefmnd 18847
Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
sursubmefmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Distinct variable group:   𝐴,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝑀(β„Ž)   𝑉(β„Ž)

Proof of Theorem sursubmefmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3467 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
2 foeq1 6800 . . . . 5 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ π‘₯:𝐴–onto→𝐴))
31, 2elab 3661 . . . 4 (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ π‘₯:𝐴–onto→𝐴)
4 fof 6804 . . . . 5 (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 β†’ π‘₯:𝐴⟢𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
6 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
75, 6elefmndbas 18824 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘₯:𝐴⟢𝐴))
84, 7imbitrrid 245 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
93, 8biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
109ssrdv 3979 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
115efmndid 18839 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) = (0gβ€˜π‘€))
12 resiexg 7914 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6870 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14 f1ofo 6839 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16 foeq1 6800 . . . 4 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
1712, 15, 16elabd 3664 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2826 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
19 vex 3467 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 foeq1 6800 . . . . . 6 (β„Ž = 𝑦 β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
2119, 20elab 3661 . . . . 5 (𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
223, 21anbi12i 626 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23 foco 6818 . . . . . . 7 ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
2423adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25 fof 6804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴–onto→𝐴 β†’ 𝑦:𝐴⟢𝐴)
264, 25anim12i 611 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
275, 6elefmndbas 18824 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
287, 27anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ↔ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴)))
2926, 28imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3029imp 405 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
31 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
325, 6, 31efmndov 18832 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3433eleq1d 2810 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}))
351, 19coex 7932 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ V
36 foeq1 6800 . . . . . . . 8 (β„Ž = (π‘₯ ∘ 𝑦) β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
3735, 36elab 3661 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
3834, 37bitrdi 286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
3924, 38mpbird 256 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
4039ex 411 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}))
4122, 40biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}))
4241ralrimivv 3189 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
435efmndmnd 18840 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
456, 44, 31issubm 18754 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1339 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941   I cid 5570   β†Ύ cres 5675   ∘ ccom 5677  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  0gc0g 17415  Mndcmnd 18688  SubMndcsubmnd 18733  EndoFMndcefmnd 18819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-efmnd 18820
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19352
  Copyright terms: Public domain W3C validator