Theorem sursubmefmnd 18773

Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sursubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sursubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Distinct variable group:   𝐴,ℎ

Allowed substitution hints:   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem sursubmefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3478	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		foeq1 6798	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴))
3	1, 2	elab 3667	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴)
4		fof 6802	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
5		sursubmefmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	elefmndbas 18750	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
8	4, 7	imbitrrid 245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
9	3, 8	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
10	9	ssrdv 3987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
11	5	efmndid 18765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12		resiexg 7901	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13		f1oi 6868	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14		f1ofo 6837	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
15	13, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16		foeq1 6798	. . . 4 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐴) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
17	12, 15, 16	elabd 3670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
18	11, 17	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
19		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		foeq1 6798	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑦 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3667	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
22	3, 21	anbi12i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23		foco 6816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
24	23	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25		fof 6802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:𝐴–onto→𝐴 → 𝑦:𝐴⟶𝐴)
26	4, 25	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
27	5, 6	elefmndbas 18750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
28	7, 27	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴)))
29	26, 28	imbitrrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
30	29	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
32	5, 6, 31	efmndov 18758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	33	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
35	1, 19	coex 7917	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ V
36		foeq1 6798	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑦) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
37	35, 36	elab 3667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
38	34, 37	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
39	24, 38	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
40	39	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
41	22, 40	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
42	41	ralrimivv 3198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
43	5	efmndmnd 18766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
44		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
45	6, 44, 31	issubm 18680	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
46	43, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
47	10, 18, 42, 46	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   I cid 5572   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  EndoFMndcefmnd 18745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-efmnd 18746

This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19260