Theorem sursubmefmnd 19133

Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sursubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sursubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Distinct variable group:   𝐴,ℎ

Allowed substitution hints:   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem sursubmefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		foeq1 6820	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ:𝐴⟶onto𝐴 ↔ 𝑥:𝐴⟶onto𝐴))
3	1, 2	elab 3636	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ↔ 𝑥:𝐴⟶onto𝐴)
4		fof 6824	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
5		sursubmefmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	elefmndbas 19110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
8	4, 7	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
9	3, 8	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
10	9	ssrdv 3919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
11	5	efmndid 19125	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12		resiexg 7956	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13		f1oi 6892	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶1-1onto𝐴
14		f1ofo 6860	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴⟶1-1onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶onto𝐴)
15	13, 14	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶onto𝐴)
16		foeq1 6820	. . . 4 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐴) → (ℎ:𝐴⟶onto𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶onto𝐴))
17	12, 15, 16	elabd 3638	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴})
18	11, 17	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴})
19		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		foeq1 6820	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑦 → (ℎ:𝐴⟶onto𝐴 ↔ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴))
21	19, 20	elab 3636	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ↔ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)
22	3, 21	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴))
23		foco 6838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴⟶onto𝐴)
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴⟶onto𝐴)
25		fof 6824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:𝐴⟶onto𝐴 → 𝑦:𝐴⟶𝐴)
26	4, 25	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴) → (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
27	5, 6	elefmndbas 19110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
28	7, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴)))
29	26, 28	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
30	29	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
32	5, 6, 31	efmndov 19118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	33	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}))
35	1, 19	coex 7974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ V
36		foeq1 6820	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑦) → (ℎ:𝐴⟶onto𝐴 ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴⟶onto𝐴))
37	35, 36	elab 3636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴⟶onto𝐴)
38	34, 37	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴⟶onto𝐴))
39	24, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴})
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴⟶onto𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶onto𝐴) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}))
41	22, 40	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}))
42	41	ralrimivv 3207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴})
43	5	efmndmnd 19126	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
44		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
45	6, 44, 31	issubm 19039	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴})))
46	43, 45	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴})))
47	10, 18, 42, 46	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴⟶onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   I cid 5550   ↾ cres 5658   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6560  ⟶ontowfo 6562  ⟶1-1ontowf1o 6563  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428  +_gcplusg 17469  0_gc0g 17651  Mndcmnd 18964  SubMndcsubmnd 19018  EndoFMndcefmnd 19105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-tset 17488  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-efmnd 19106

This theorem is used by:  symgsubmefmnd  19654