MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sursubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sursubmefmnd 18833
Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
sursubmefmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Distinct variable group:   𝐴,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝑀(β„Ž)   𝑉(β„Ž)

Proof of Theorem sursubmefmnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3473 . . . . 5 π‘₯ ∈ V
2 foeq1 6801 . . . . 5 (β„Ž = π‘₯ β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ π‘₯:𝐴–onto→𝐴))
31, 2elab 3665 . . . 4 (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ π‘₯:𝐴–onto→𝐴)
4 fof 6805 . . . . 5 (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 β†’ π‘₯:𝐴⟢𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMndβ€˜π΄)
6 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
75, 6elefmndbas 18810 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ π‘₯:𝐴⟢𝐴))
84, 7imbitrrid 245 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
93, 8biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
109ssrdv 3984 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
115efmndid 18825 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) = (0gβ€˜π‘€))
12 resiexg 7912 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6871 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14 f1ofo 6840 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16 foeq1 6801 . . . 4 (β„Ž = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I β†Ύ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
1712, 15, 16elabd 3668 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2829 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
19 vex 3473 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 foeq1 6801 . . . . . 6 (β„Ž = 𝑦 β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
2119, 20elab 3665 . . . . 5 (𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
223, 21anbi12i 626 . . . 4 ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23 foco 6819 . . . . . . 7 ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25 fof 6805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴–onto→𝐴 β†’ 𝑦:𝐴⟢𝐴)
264, 25anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
275, 6elefmndbas 18810 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑦:𝐴⟢𝐴))
287, 27anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) ↔ (π‘₯:𝐴⟢𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟢𝐴)))
2926, 28imbitrrid 245 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))))
3029imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
31 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
325, 6, 31efmndov 18818 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ∘ 𝑦))
3433eleq1d 2813 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}))
351, 19coex 7930 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ V
36 foeq1 6801 . . . . . . . 8 (β„Ž = (π‘₯ ∘ 𝑦) β†’ (β„Ž:𝐴–onto→𝐴 ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
3735, 36elab 3665 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∘ 𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
3834, 37bitrdi 287 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ↔ (π‘₯ ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
3924, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
4039ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}))
4122, 40biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}))
4241ralrimivv 3193 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})
435efmndmnd 18826 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2727 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
456, 44, 31issubm 18740 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ ({β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ (0gβ€˜π‘€) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴}βˆ€π‘¦ ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1340 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ {β„Ž ∣ β„Ž:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βŠ† wss 3944   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  0gc0g 17406  Mndcmnd 18679  SubMndcsubmnd 18724  EndoFMndcefmnd 18805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-tset 17237  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-efmnd 18806
This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19337
  Copyright terms: Public domain W3C validator