Theorem sursubmefmnd 18823

Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sursubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sursubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Distinct variable group:   𝐴,ℎ

Allowed substitution hints:   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem sursubmefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3451	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		foeq1 6768	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴))
3	1, 2	elab 3646	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴)
4		fof 6772	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
5		sursubmefmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	elefmndbas 18800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
8	4, 7	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
9	3, 8	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
10	9	ssrdv 3952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
11	5	efmndid 18815	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12		resiexg 7888	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13		f1oi 6838	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14		f1ofo 6807	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
15	13, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16		foeq1 6768	. . . 4 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐴) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
17	12, 15, 16	elabd 3648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
18	11, 17	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
19		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		foeq1 6768	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑦 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3646	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
22	3, 21	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23		foco 6786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25		fof 6772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:𝐴–onto→𝐴 → 𝑦:𝐴⟶𝐴)
26	4, 25	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
27	5, 6	elefmndbas 18800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
28	7, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴)))
29	26, 28	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
32	5, 6, 31	efmndov 18808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	33	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
35	1, 19	coex 7906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ V
36		foeq1 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑦) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
37	35, 36	elab 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
38	34, 37	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
39	24, 38	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
41	22, 40	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
42	41	ralrimivv 3178	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
43	5	efmndmnd 18816	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
44		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
45	6, 44, 31	issubm 18730	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
46	43, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
47	10, 18, 42, 46	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   I cid 5532   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  EndoFMndcefmnd 18795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-efmnd 18796

This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19328