Theorem sursubmefmnd 19098

Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sursubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sursubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Distinct variable group:   𝐴,ℎ

Allowed substitution hints:   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem sursubmefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		foeq1 6793	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴))
3	1, 2	elab 3632	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴)
4		fof 6797	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
5		sursubmefmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	elefmndbas 19075	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
8	4, 7	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
9	3, 8	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
10	9	ssrdv 3914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
11	5	efmndid 19090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12		resiexg 7925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13		f1oi 6864	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14		f1ofo 6833	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
15	13, 14	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16		foeq1 6793	. . . 4 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐴) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
17	12, 15, 16	elabd 3634	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
18	11, 17	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
19		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		foeq1 6793	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑦 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
22	3, 21	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23		foco 6811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25		fof 6797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:𝐴–onto→𝐴 → 𝑦:𝐴⟶𝐴)
26	4, 25	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
27	5, 6	elefmndbas 19075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
28	7, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴)))
29	26, 28	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
30	29	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
32	5, 6, 31	efmndov 19083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	33	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
35	1, 19	coex 7943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ V
36		foeq1 6793	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑦) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
37	35, 36	elab 3632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
38	34, 37	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
39	24, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
41	22, 40	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
42	41	ralrimivv 3203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
43	5	efmndmnd 19091	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
44		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
45	6, 44, 31	issubm 19004	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
46	43, 45	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
47	10, 18, 42, 46	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   I cid 5544   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  –onto→wfo 6537  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Mndcmnd 18929  SubMndcsubmnd 18983  EndoFMndcefmnd 19070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-tset 17453  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-efmnd 19071

This theorem is used by:  symgsubmefmnd  19618