Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sursubmefmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sursubmefmnd 18127
 Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
sursubmefmnd.m 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
sursubmefmnd (𝐴𝑉 → {:𝐴onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
Distinct variable group:   𝐴,
Allowed substitution hints:   𝑀()   𝑉()

Proof of Theorem sursubmefmnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3413 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 foeq1 6572 . . . . 5 ( = 𝑥 → (:𝐴onto𝐴𝑥:𝐴onto𝐴))
31, 2elab 3588 . . . 4 (𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴} ↔ 𝑥:𝐴onto𝐴)
4 fof 6576 . . . . 5 (𝑥:𝐴onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
5 sursubmefmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
75, 6elefmndbas 18104 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
84, 7syl5ibr 249 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥:𝐴onto𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
93, 8syl5bi 245 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
109ssrdv 3898 . 2 (𝐴𝑉 → {:𝐴onto𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
115efmndid 18119 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g𝑀))
12 resiexg 7624 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13 f1oi 6639 . . . . 5 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
14 f1ofo 6609 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴)
1513, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴)
16 foeq1 6572 . . . 4 ( = ( I ↾ 𝐴) → (:𝐴onto𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴onto𝐴))
1712, 15, 16elabd 3590 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {:𝐴onto𝐴})
1811, 17eqeltrrd 2853 . 2 (𝐴𝑉 → (0g𝑀) ∈ {:𝐴onto𝐴})
19 vex 3413 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
20 foeq1 6572 . . . . . 6 ( = 𝑦 → (:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴))
2119, 20elab 3588 . . . . 5 (𝑦 ∈ {:𝐴onto𝐴} ↔ 𝑦:𝐴onto𝐴)
223, 21anbi12i 629 . . . 4 ((𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {:𝐴onto𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴))
23 foco 6588 . . . . . . 7 ((𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴) → (𝑥𝑦):𝐴onto𝐴)
2423adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴)) → (𝑥𝑦):𝐴onto𝐴)
25 fof 6576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴𝐴)
264, 25anim12i 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴) → (𝑥:𝐴𝐴𝑦:𝐴𝐴))
275, 6elefmndbas 18104 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴𝐴))
287, 27anbi12d 633 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴𝐴𝑦:𝐴𝐴)))
2926, 28syl5ibr 249 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ((𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
3029imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (+g𝑀) = (+g𝑀)
325, 6, 31efmndov 18112 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥𝑦))
3433eleq1d 2836 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴)) → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴} ↔ (𝑥𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴}))
351, 19coex 7640 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
36 foeq1 6572 . . . . . . . 8 ( = (𝑥𝑦) → (:𝐴onto𝐴 ↔ (𝑥𝑦):𝐴onto𝐴))
3735, 36elab 3588 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴} ↔ (𝑥𝑦):𝐴onto𝐴)
3834, 37bitrdi 290 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴)) → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴} ↔ (𝑥𝑦):𝐴onto𝐴))
3924, 38mpbird 260 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴})
4039ex 416 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥:𝐴onto𝐴𝑦:𝐴onto𝐴) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴}))
4122, 40syl5bi 245 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {:𝐴onto𝐴}) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴}))
4241ralrimivv 3119 . 2 (𝐴𝑉 → ∀𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴onto𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴})
435efmndmnd 18120 . . 3 (𝐴𝑉𝑀 ∈ Mnd)
44 eqid 2758 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
456, 44, 31issubm 18034 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → ({:𝐴onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({:𝐴onto𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ {:𝐴onto𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴onto𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴})))
4643, 45syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ({:𝐴onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({:𝐴onto𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g𝑀) ∈ {:𝐴onto𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {:𝐴onto𝐴}∀𝑦 ∈ {:𝐴onto𝐴} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ {:𝐴onto𝐴})))
4710, 18, 42, 46mpbir3and 1339 1 (𝐴𝑉 → {:𝐴onto𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858   I cid 5429   ↾ cres 5526   ∘ ccom 5528  ⟶wf 6331  –onto→wfo 6333  –1-1-onto→wf1o 6334  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  0gc0g 16771  Mndcmnd 17977  SubMndcsubmnd 18021  EndoFMndcefmnd 18099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-plusg 16636  df-tset 16642  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-efmnd 18100 This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  18593
 Copyright terms: Public domain W3C validator