Theorem sursubmefmnd 18909

Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sursubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sursubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Distinct variable group:   𝐴,ℎ

Allowed substitution hints:   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem sursubmefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		foeq1 6816	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴))
3	1, 2	elab 3679	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴)
4		fof 6820	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
5		sursubmefmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	elefmndbas 18886	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
8	4, 7	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
9	3, 8	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
10	9	ssrdv 3989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
11	5	efmndid 18901	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12		resiexg 7934	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13		f1oi 6886	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14		f1ofo 6855	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
15	13, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16		foeq1 6816	. . . 4 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐴) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
17	12, 15, 16	elabd 3681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
18	11, 17	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
19		vex 3484	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		foeq1 6816	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑦 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3679	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
22	3, 21	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23		foco 6834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25		fof 6820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:𝐴–onto→𝐴 → 𝑦:𝐴⟶𝐴)
26	4, 25	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
27	5, 6	elefmndbas 18886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
28	7, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴)))
29	26, 28	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
32	5, 6, 31	efmndov 18894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	33	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
35	1, 19	coex 7952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ V
36		foeq1 6816	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑦) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
37	35, 36	elab 3679	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
38	34, 37	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
39	24, 38	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
40	39	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
41	22, 40	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
42	41	ralrimivv 3200	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
43	5	efmndmnd 18902	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
44		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
45	6, 44, 31	issubm 18816	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
46	43, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
47	10, 18, 42, 46	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   I cid 5577   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  EndoFMndcefmnd 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-efmnd 18882

This theorem is referenced by:  symgsubmefmnd  19416