Theorem sursubmefmnd 18979

Description: The set of surjective endofunctions on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. (Contributed by AV, 25-Feb-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
sursubmefmnd.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
sursubmefmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

Distinct variable group:   𝐴,ℎ

Allowed substitution hints:   𝑀(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem sursubmefmnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3461	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2		foeq1 6792	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑥 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴))
3	1, 2	elab 3640	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑥:𝐴–onto→𝐴)
4		fof 6796	. . . . 5 ⊢ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥:𝐴⟶𝐴)
5		sursubmefmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
7	5, 6	elefmndbas 18956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑥:𝐴⟶𝐴))
8	4, 7	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥:𝐴–onto→𝐴 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
9	3, 8	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)))
10	9	ssrdv 3944	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀))
11	5	efmndid 18971	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12		resiexg 7911	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
13		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
14		f1ofo 6832	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
15	13, 14	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴)
16		foeq1 6792	. . . 4 ⊢ (ℎ = ( I ↾ 𝐴) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ ( I ↾ 𝐴):𝐴–onto→𝐴))
17	12, 15, 16	elabd 3642	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
18	11, 17	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
19		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		foeq1 6792	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝑦 → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3640	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)
22	3, 21	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) ↔ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴))
23		foco 6810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
25		fof 6796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:𝐴–onto→𝐴 → 𝑦:𝐴⟶𝐴)
26	4, 25	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
27	5, 6	elefmndbas 18956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ (Base‘𝑀) ↔ 𝑦:𝐴⟶𝐴))
28	7, 27	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) ↔ (𝑥:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑦:𝐴⟶𝐴)))
29	26, 28	imbitrrid 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))))
30	29	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
31		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
32	5, 6, 31	efmndov 18964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
33	30, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
34	33	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
35	1, 19	coex 7929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ V
36		foeq1 6792	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑥 ∘ 𝑦) → (ℎ:𝐴–onto→𝐴 ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
37	35, 36	elab 3640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴)
38	34, 37	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ↔ (𝑥 ∘ 𝑦):𝐴–onto→𝐴))
39	24, 38	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
40	39	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥:𝐴–onto→𝐴 ∧ 𝑦:𝐴–onto→𝐴) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
41	22, 40	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ 𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}))
42	41	ralrimivv 3208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})
43	5	efmndmnd 18972	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
44		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
45	6, 44, 31	issubm 18885	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
46	43, 45	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ({ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∧ ∀𝑥 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴}∀𝑦 ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴})))
47	10, 18, 42, 46	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {ℎ ∣ ℎ:𝐴–onto→𝐴} ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   I cid 5557   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  +_gcplusg 17328  0_gc0g 17510  Mndcmnd 18814  SubMndcsubmnd 18864  EndoFMndcefmnd 18951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-tset 17347  df-0g 17512  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-efmnd 18952

This theorem is used by:  symgsubmefmnd  19492