Theorem dihpN 42130

Description: The value of isomorphism H at the fiducial atom 𝑃 is determined by the vector ⟨0, 𝑆⟩ (the zero translation ltrnid 40929 and a nonzero member of the endomorphism ring). In particular, 𝑆 can be replaced with the ring unity ( I ↾ 𝑇). (Contributed by NM, 26-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihp.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihp.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihp.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihp.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihp.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihp.s	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
dihpN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (𝑁‘{⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑂(𝑓)

Proof of Theorem dihpN

Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		dihp.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dihp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 41903	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		dihp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9		dihp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10	4, 8, 9, 5, 3, 6	dihat 42129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12, 4, 8	lhpocnel2 40813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
14		dihp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		dihp.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)
17	14, 11, 12, 4, 15, 16	ltrniotaidvalN 41377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃) = ( I ↾ 𝐵))
18	6, 13, 17	syl2anc2 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃) = ( I ↾ 𝐵))
19	18	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) = (𝑆‘( I ↾ 𝐵)))
20		dihp.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂))
21	20	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐸)
22		dihp.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
23	14, 4, 22	tendoid 41567	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
24	6, 21, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
25	19, 24	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)))
26	14	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
27		resiexg 7905	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
28	26, 27	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
29		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ↔ ( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃))))
30	29	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
31		fveq1 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)))
32	31	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ↔ ( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃))))
33		eleq1 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝐸 ↔ 𝑆 ∈ 𝐸))
34	32, 33	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
35	30, 34	opelopabg 5523	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
36	28, 21, 35	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
37	25, 21, 36	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
38		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
39	11, 12, 4, 38, 9	dihvalcqat 42033	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
40	6, 13, 39	syl2anc2 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
41	11, 12, 4, 8, 15, 22, 38	dicval 41970	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) = {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
42	6, 13, 41	syl2anc2 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) = {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
43	40, 42	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} = (𝐼‘𝑃))
44	37, 43	eleqtrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑃))
45	20	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑂)
46		dihp.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
47	14, 4, 15, 5, 1, 46	dvh0g 41905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝑈) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
48	6, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
49	48	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = (0g‘𝑈) ↔ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
50	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ V
51	15	fvexi 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ V
52	51	mptex 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ V
53	46, 52	eqeltri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ V
54	50, 53	opth2 5462	. . . . . 6 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑆 = 𝑂))
55	54	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ → 𝑆 = 𝑂)
56	49, 55	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = (0g‘𝑈) → 𝑆 = 𝑂))
57	56	necon3d 2979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑂 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ≠ (0g‘𝑈)))
58	45, 57	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ≠ (0g‘𝑈))
59	1, 2, 3, 7, 10, 44, 58	lsatel 39799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (𝑁‘{⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  {copab 5173   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  Basecbs 17264  lecple 17312  occoc 17313  0_gc0g 17487  LSpanclspn 21092  LSAtomsclsa 39768  Atomscatm 40057  HLchlt 40144  LHypclh 40778  LTrncltrn 40895  TEndoctendo 41546  DVecHcdvh 41872  DIsoCcdic 41966  DIsoHcdih 42022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-riotaBAD 39747

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17489  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-drng 20829  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093  df-lvec 21224  df-lsatoms 39770  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292  df-lplanes 40293  df-lvols 40294  df-lines 40295  df-psubsp 40297  df-pmap 40298  df-padd 40590  df-lhyp 40782  df-laut 40783  df-ldil 40898  df-ltrn 40899  df-trl 40953  df-tendo 41549  df-edring 41551  df-disoa 41823  df-dvech 41873  df-dib 41933  df-dic 41967  df-dih 42023

This theorem is referenced by: (None)