Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihpN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihpN 37134
Description: The value of isomorphism H at the fiducial atom 𝑃 is determined by the vector ⟨0, 𝑆 (the zero translation ltrnid 35933 and a nonzero member of the endomorphism ring). In particular, 𝑆 can be replaced with the ring unit ( I ↾ 𝑇). (Contributed by NM, 26-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihp.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihp.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihp.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihp.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihp.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihp.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihp.s (𝜑 → (𝑆𝐸𝑆𝑂))
Assertion
Ref Expression
dihpN (𝜑 → (𝐼𝑃) = (𝑁‘{⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩}))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑂(𝑓)

Proof of Theorem dihpN
Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2817 . 2 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2 dihp.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3 eqid 2817 . 2 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4 dihp.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dihp.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dihp.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlvec 36907 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 dihp.p . . 3 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9 dihp.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
104, 8, 9, 5, 3, 6dihat 37133 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑃) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
11 eqid 2817 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2817 . . . . . . . . 9 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1311, 12, 4, 8lhpocnel2 35817 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
146, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
15 dihp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
16 dihp.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 eqid 2817 . . . . . . . 8 (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃) = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)
1815, 11, 12, 4, 16, 17ltrniotaidvalN 36381 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃) = ( I ↾ 𝐵))
196, 14, 18syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃) = ( I ↾ 𝐵))
2019fveq2d 6421 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) = (𝑆‘( I ↾ 𝐵)))
21 dihp.s . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐸𝑆𝑂))
2221simpld 484 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐸)
23 dihp.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
2415, 4, 23tendoid 36571 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
256, 22, 24syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
2620, 25eqtr2d 2852 . . . 4 (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)))
2715fvexi 6431 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
28 resiexg 7341 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
2927, 28mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
30 eqeq1 2821 . . . . . . 7 (𝑔 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ↔ ( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃))))
3130anbi1d 617 . . . . . 6 (𝑔 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸) ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)))
32 fveq1 6416 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) = (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)))
3332eqeq2d 2827 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ↔ ( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃))))
34 eleq1 2884 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝐸𝑆𝐸))
3533, 34anbi12d 618 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸) ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆𝐸)))
3631, 35opelopabg 5201 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑆𝐸) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)} ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆𝐸)))
3729, 22, 36syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)} ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆𝐸)))
3826, 22, 37mpbir2and 695 . . 3 (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)})
39 eqid 2817 . . . . . 6 ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
4011, 12, 4, 39, 9dihvalcqat 37037 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑃) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
416, 14, 40syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑃) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
4211, 12, 4, 8, 16, 23, 39dicval 36974 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) = {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)})
436, 14, 42syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) = {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)})
4441, 43eqtr2d 2852 . . 3 (𝜑 → {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠𝐸)} = (𝐼𝑃))
4538, 44eleqtrd 2898 . 2 (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ (𝐼𝑃))
4621simprd 485 . . 3 (𝜑𝑆𝑂)
47 dihp.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
4815, 4, 16, 5, 1, 47dvh0g 36909 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
496, 48syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
5049eqeq2d 2827 . . . . 5 (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = (0g𝑈) ↔ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
5127, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐵) ∈ V
5216fvexi 6431 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ V
5352mptex 6720 . . . . . . . 8 (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ V
5447, 53eqeltri 2892 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V
5551, 54opth2 5151 . . . . . 6 (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑆 = 𝑂))
5655simprbi 486 . . . . 5 (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ → 𝑆 = 𝑂)
5750, 56syl6bi 244 . . . 4 (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = (0g𝑈) → 𝑆 = 𝑂))
5857necon3d 3010 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑂 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ≠ (0g𝑈)))
5946, 58mpd 15 . 2 (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ≠ (0g𝑈))
601, 2, 3, 7, 10, 45, 59lsatel 34803 1 (𝜑 → (𝐼𝑃) = (𝑁‘{⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  Vcvv 3402  {csn 4381  cop 4387   class class class wbr 4855  {copab 4917  cmpt 4934   I cid 5231  cres 5326  cfv 6110  crio 6843  Basecbs 16087  lecple 16179  occoc 16180  0gc0g 16324  LSpanclspn 19197  LSAtomsclsa 34772  Atomscatm 35061  HLchlt 35148  LHypclh 35782  LTrncltrn 35899  TEndoctendo 36550  DVecHcdvh 36876  DIsoCcdic 36970  DIsoHcdih 37026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-riotaBAD 34750
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-tpos 7596  df-undef 7643  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-n0 11579  df-z 11663  df-uz 11924  df-fz 12569  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-0g 16326  df-proset 17152  df-poset 17170  df-plt 17182  df-lub 17198  df-glb 17199  df-join 17200  df-meet 17201  df-p0 17263  df-p1 17264  df-lat 17270  df-clat 17332  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-submnd 17560  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-sbg 17651  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-drng 18972  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19198  df-lvec 19329  df-lsatoms 34774  df-oposet 34974  df-ol 34976  df-oml 34977  df-covers 35064  df-ats 35065  df-atl 35096  df-cvlat 35120  df-hlat 35149  df-llines 35296  df-lplanes 35297  df-lvols 35298  df-lines 35299  df-psubsp 35301  df-pmap 35302  df-padd 35594  df-lhyp 35786  df-laut 35787  df-ldil 35902  df-ltrn 35903  df-trl 35957  df-tendo 36553  df-edring 36555  df-disoa 36827  df-dvech 36877  df-dib 36937  df-dic 36971  df-dih 37027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator