Theorem dihpN 41961

Description: The value of isomorphism H at the fiducial atom 𝑃 is determined by the vector ⟨0, 𝑆⟩ (the zero translation ltrnid 40760 and a nonzero member of the endomorphism ring). In particular, 𝑆 can be replaced with the ring unity ( I ↾ 𝑇). (Contributed by NM, 26-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihp.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihp.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihp.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihp.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dihp.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihp.s	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
dihpN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (𝑁‘{⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩}))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑂(𝑓)

Proof of Theorem dihpN

Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
2		dihp.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dihp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 41734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		dihp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
9		dihp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
10	4, 8, 9, 5, 3, 6	dihat 41960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12, 4, 8	lhpocnel2 40644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
14		dihp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
15		dihp.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)
17	14, 11, 12, 4, 15, 16	ltrniotaidvalN 41208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃) = ( I ↾ 𝐵))
18	6, 13, 17	syl2anc2 594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃) = ( I ↾ 𝐵))
19	18	fveq2d 6872	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) = (𝑆‘( I ↾ 𝐵)))
20		dihp.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ≠ 𝑂))
21	20	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐸)
22		dihp.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
23	14, 4, 22	tendoid 41398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
24	6, 21, 23	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
25	19, 24	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)))
26	14	fvexi 6882	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
27		resiexg 7894	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
28	26, 27	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
29		eqeq1 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ 𝐵) → (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ↔ ( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃))))
30	29	anbi1d 640	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ( I ↾ 𝐵) → ((𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
31		fveq1 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)))
32	31	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ↔ ( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃))))
33		eleq1 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝐸 ↔ 𝑆 ∈ 𝐸))
34	32, 33	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((( I ↾ 𝐵) = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
35	30, 34	opelopabg 5510	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
36	28, 21, 35	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} ↔ (( I ↾ 𝐵) = (𝑆‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
37	25, 21, 36	mpbir2and 723	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
38		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
39	11, 12, 4, 38, 9	dihvalcqat 41864	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
40	6, 13, 39	syl2anc2 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
41	11, 12, 4, 8, 15, 22, 38	dicval 41801	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) = {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
42	6, 13, 41	syl2anc2 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) = {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
43	40, 42	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑔, 𝑠⟩ ∣ (𝑔 = (𝑠‘(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} = (𝐼‘𝑃))
44	37, 43	eleqtrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ∈ (𝐼‘𝑃))
45	20	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑂)
46		dihp.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
47	14, 4, 15, 5, 1, 46	dvh0g 41736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝑈) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
48	6, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩)
49	48	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = (0g‘𝑈) ↔ ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩))
50	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ V
51	15	fvexi 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ V
52	51	mptex 7208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ V
53	46, 52	eqeltri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 ∈ V
54	50, 53	opth2 5449	. . . . . 6 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ ↔ (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑆 = 𝑂))
55	54	simprbi 501	. . . . 5 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑂⟩ → 𝑆 = 𝑂)
56	49, 55	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ = (0g‘𝑈) → 𝑆 = 𝑂))
57	56	necon3d 2979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑂 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ≠ (0g‘𝑈)))
58	45, 57	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩ ≠ (0g‘𝑈))
59	1, 2, 3, 7, 10, 44, 58	lsatel 39630	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (𝑁‘{⟨( I ↾ 𝐵), 𝑆⟩}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {csn 4583  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101  {copab 5163   ↦ cmpt 5182   I cid 5542   ↾ cres 5650  ‘cfv 6522  ℩crio 7353  Basecbs 17246  lecple 17294  occoc 17295  0_gc0g 17469  LSpanclspn 21039  LSAtomsclsa 39599  Atomscatm 39888  HLchlt 39975  LHypclh 40609  LTrncltrn 40726  TEndoctendo 41377  DVecHcdvh 41703  DIsoCcdic 41797  DIsoHcdih 41853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-riotaBAD 39578

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-0g 17471  df-proset 18327  df-poset 18346  df-plt 18361  df-lub 18377  df-glb 18378  df-join 18379  df-meet 18380  df-p0 18456  df-p1 18457  df-lat 18465  df-clat 18532  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-subg 19166  df-cntz 19358  df-lsm 19677  df-cmn 19823  df-abl 19824  df-mgp 20188  df-rng 20200  df-ur 20233  df-ring 20286  df-oppr 20387  df-dvdsr 20407  df-unit 20408  df-invr 20438  df-dvr 20451  df-drng 20782  df-lmod 20930  df-lss 21000  df-lsp 21040  df-lvec 21171  df-lsatoms 39601  df-oposet 39801  df-ol 39803  df-oml 39804  df-covers 39891  df-ats 39892  df-atl 39923  df-cvlat 39947  df-hlat 39976  df-llines 40123  df-lplanes 40124  df-lvols 40125  df-lines 40126  df-psubsp 40128  df-pmap 40129  df-padd 40421  df-lhyp 40613  df-laut 40614  df-ldil 40729  df-ltrn 40730  df-trl 40784  df-tendo 41380  df-edring 41382  df-disoa 41654  df-dvech 41704  df-dib 41764  df-dic 41798  df-dih 41854

This theorem is referenced by: (None)