Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihpN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihpN 39802
Description: The value of isomorphism H at the fiducial atom 𝑃 is determined by the vector ⟨0, π‘†βŸ© (the zero translation ltrnid 38601 and a nonzero member of the endomorphism ring). In particular, 𝑆 can be replaced with the ring unity ( I β†Ύ 𝑇). (Contributed by NM, 26-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihp.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihp.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihp.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihp.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihp.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihp.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dihp.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihp.s (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂))
Assertion
Ref Expression
dihpN (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) = (π‘β€˜{⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ©}))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝑆(𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐼(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑂(𝑓)

Proof of Theorem dihpN
Dummy variables 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
2 dihp.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2737 . 2 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
4 dihp.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dihp.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dihp.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6dvhlvec 39575 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
8 dihp.p . . 3 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dihp.i . . 3 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
104, 8, 9, 5, 3, 6dihat 39801 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
1311, 12, 4, 8lhpocnel2 38485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š))
14 dihp.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
15 dihp.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃) = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)
1714, 11, 12, 4, 15, 16ltrniotaidvalN 39049 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃) = ( I β†Ύ 𝐡))
186, 13, 17syl2anc2 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃) = ( I β†Ύ 𝐡))
1918fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) = (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
20 dihp.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 β‰  𝑂))
2120simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
22 dihp.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
2314, 4, 22tendoid 39239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
246, 21, 23syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
2519, 24eqtr2d 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)))
2614fvexi 6857 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
27 resiexg 7852 . . . . . 6 (𝐡 ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V)
2826, 27mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V)
29 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑔 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ↔ ( I β†Ύ 𝐡) = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃))))
3029anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑔 = ( I β†Ύ 𝐡) β†’ ((𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ↔ (( I β†Ύ 𝐡) = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)))
31 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) = (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)))
3231eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ↔ ( I β†Ύ 𝐡) = (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃))))
33 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ↔ 𝑆 ∈ 𝐸))
3432, 33anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((( I β†Ύ 𝐡) = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ↔ (( I β†Ύ 𝐡) = (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
3530, 34opelopabg 5496 . . . . 5 ((( I β†Ύ 𝐡) ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ βŸ© ∣ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} ↔ (( I β†Ύ 𝐡) = (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
3628, 21, 35syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ βŸ© ∣ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} ↔ (( I β†Ύ 𝐡) = (π‘†β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸)))
3725, 21, 36mpbir2and 712 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© ∈ {βŸ¨π‘”, π‘ βŸ© ∣ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
38 eqid 2737 . . . . . 6 ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3911, 12, 4, 38, 9dihvalcqat 39705 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) = (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ƒ))
406, 13, 39syl2anc2 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) = (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ƒ))
4111, 12, 4, 8, 15, 22, 38dicval 39642 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑃(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ƒ) = {βŸ¨π‘”, π‘ βŸ© ∣ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
426, 13, 41syl2anc2 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((DIsoCβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘ƒ) = {βŸ¨π‘”, π‘ βŸ© ∣ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)})
4340, 42eqtr2d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘”, π‘ βŸ© ∣ (𝑔 = (π‘ β€˜(℩𝑓 ∈ 𝑇 (π‘“β€˜π‘ƒ) = 𝑃)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸)} = (πΌβ€˜π‘ƒ))
4437, 43eleqtrd 2840 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ))
4520simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  𝑂)
46 dihp.o . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
4714, 4, 15, 5, 1, 46dvh0g 39577 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©)
4948eqeq2d 2748 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© = (0gβ€˜π‘ˆ) ↔ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ©))
5026, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I β†Ύ 𝐡) ∈ V
5115fvexi 6857 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ V
5251mptex 7174 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ V
5346, 52eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V
5450, 53opth2 5438 . . . . . 6 (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© ↔ (( I β†Ύ 𝐡) = ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑆 = 𝑂))
5554simprbi 498 . . . . 5 (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© = ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘‚βŸ© β†’ 𝑆 = 𝑂)
5649, 55syl6bi 253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ 𝑆 = 𝑂))
5756necon3d 2965 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β‰  𝑂 β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
5845, 57mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ© β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
591, 2, 3, 7, 10, 44, 58lsatel 37470 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ƒ) = (π‘β€˜{⟨( I β†Ύ 𝐡), π‘†βŸ©}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3446  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106  {copab 5168   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  Basecbs 17084  lecple 17141  occoc 17142  0gc0g 17322  LSpanclspn 20435  LSAtomsclsa 37439  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218  DVecHcdvh 39544  DIsoCcdic 39638  DIsoHcdih 39694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-cntz 19098  df-lsm 19419  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-drng 20188  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-lvec 20567  df-lsatoms 37441  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221  df-edring 39223  df-disoa 39495  df-dvech 39545  df-dib 39605  df-dic 39639  df-dih 39695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator