Theorem smndex1n0mnd 18835

Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set ℕ₀ is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1n0mnd	⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		nnnn0 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
4	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		fvresi 7117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
7	3, 6	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑁))
9	7, 8	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
10	9	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
12		nnne0 12177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
13	12	neneqd 2935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14		smndex1ibas.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16		nnrp 12915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17		modid0 13815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylan9eqr 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20		c0ex 11124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
22	14, 19, 2, 21	fvmptd2 6947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼‘𝑁) = 0)
23	22	eqeq2d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼‘𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
24	13, 23	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁))
25	2, 11, 24	rspcedvd 3576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
27		rexnal 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
29		fnresi 6619	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30		ovex 7389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
31	30, 14	fnmpti 6633	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
32		eqfnfv 6974	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ 𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)))
33	29, 31, 32	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
34	28, 33	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
35	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
37	7, 36	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
38	37	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
40		fzonel 13587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
42	41	eqcoms 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
43	40, 42	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
44	43	con2i 139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45		nn0ex 12405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
46	45	mptex 7167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V
47		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
48	47	fvmpt2 6950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
49	46, 48	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
50		eqidd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
52	49, 50, 35, 51	fvmptd 6946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
53	52	eqeq2d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
54	44, 53	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
55	35, 39, 54	rspcedvd 3576	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
56		rexnal 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
57	55, 56	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
58		vex 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
59		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)
60	58, 59	fnmpti 6633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0
61	49	fneq1d 6583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0))
62	60, 61	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0)
63		eqfnfv 6974	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
64	29, 62, 63	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
65	57, 64	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
66	65	nrex 3062	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)
67	34, 66	pm3.2ni 880	. . 3 ⊢ ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
68		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
69	68	efmndid 18811	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
70	45, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
71	70	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72		smndex1mgm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
73	71, 72	eleq12i 2827	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
74		elun 4103	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
75		resiexg 7852	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
76	45, 75	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℕ0) ∈ V
77	76	elsn 4593	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78		eliun 4948	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)})
79	76	elsn 4593	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
80	79	rexbii 3081	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
81	78, 80	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
82	77, 81	orbi12i 914	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
83	74, 82	bitri 275	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
84	73, 83	bitri 275	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
85	67, 84	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵
86	85	nelir 3037	1 ⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3034  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  {csn 4578  ∪ ciun 4944   ↦ cmpt 5177   I cid 5516   ↾ cres 5624   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℝ⁺crp 12903  ..^cfzo 13568   mod cmo 13787   ↾_s cress 17155  0_gc0g 17357  EndoFMndcefmnd 18791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-tset 17194  df-0g 17359  df-efmnd 18792

This theorem is referenced by:  nsmndex1  18836