MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1n0mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1n0mnd 18925
Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set 0 is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1n0mnd (0g𝑀) ∉ 𝐵
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
2 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
41, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ ℕ0
5 fvresi 7193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
73, 6eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑁))
97, 8eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
109notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
12 nnne0 12300 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1312neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14 smndex1ibas.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17 modid0 13937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1915, 18sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
2214, 19, 2, 21fvmptd2 7024 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼𝑁) = 0)
2322eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
2413, 23mtbird 325 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁))
252, 11, 24rspcedvd 3624 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
261, 25ax-mp 5 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)
27 rexnal 3100 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
2826, 27mpbi 230 . . . . 5 ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)
29 fnresi 6697 . . . . . 6 ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
3130, 14fnmpti 6711 . . . . . 6 𝐼 Fn ℕ0
32 eqfnfv 7051 . . . . . 6 ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)))
3329, 31, 32mp2an 692 . . . . 5 (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
3428, 33mtbir 323 . . . 4 ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
354a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑁))
377, 36eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
3837notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
40 fzonel 13713 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4241eqcoms 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4340, 42mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
4443con2i 139 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45 nn0ex 12532 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4645mptex 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) ∈ V
47 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
4847fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
4946, 48mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
50 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
5249, 50, 35, 51fvmptd 7023 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
5352eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
5444, 53mtbird 325 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁))
5535, 39, 54rspcedvd 3624 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
56 rexnal 3100 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
5755, 56sylib 218 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
58 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
59 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛)
6058, 59fnmpti 6711 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) Fn ℕ0
6149fneq1d 6661 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) Fn ℕ0))
6260, 61mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑛) Fn ℕ0)
63 eqfnfv 7051 . . . . . . 7 ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥)))
6429, 62, 63sylancr 587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥)))
6557, 64mtbird 325 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
6665nrex 3074 . . . 4 ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)
6734, 66pm3.2ni 881 . . 3 ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
68 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
6968efmndid 18901 . . . . . . 7 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
7045, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
7170eqcomi 2746 . . . . 5 (0g𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72 smndex1mgm.b . . . . 5 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
7371, 72eleq12i 2834 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
74 elun 4153 . . . . 5 (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75 resiexg 7934 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
7645, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ ℕ0) ∈ V
7776elsn 4641 . . . . . 6 (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78 eliun 4995 . . . . . . 7 (( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)})
7976elsn 4641 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8079rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8178, 80bitri 275 . . . . . 6 (( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8277, 81orbi12i 915 . . . . 5 ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8374, 82bitri 275 . . . 4 (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8473, 83bitri 275 . . 3 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8567, 84mtbir 323 . 2 ¬ (0g𝑀) ∈ 𝐵
8685nelir 3049 1 (0g𝑀) ∉ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  {csn 4626   ciun 4991  cmpt 5225   I cid 5577  cres 5687   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  +crp 13034  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  s cress 17274  0gc0g 17484  EndoFMndcefmnd 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-efmnd 18882
This theorem is referenced by:  nsmndex1  18926
  Copyright terms: Public domain W3C validator