Theorem smndex1n0mnd 18890

Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set ℕ₀ is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1n0mnd	⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		nnnn0 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
4	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		fvresi 7165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
7	3, 6	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑁))
9	7, 8	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
10	9	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
12		nnne0 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
13	12	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14		smndex1ibas.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16		nnrp 13020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17		modid0 13914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20		c0ex 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
22	14, 19, 2, 21	fvmptd2 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼‘𝑁) = 0)
23	22	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼‘𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
24	13, 23	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁))
25	2, 11, 24	rspcedvd 3603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
27		rexnal 3089	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
29		fnresi 6667	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
31	30, 14	fnmpti 6681	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
32		eqfnfv 7021	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ 𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)))
33	29, 31, 32	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
34	28, 33	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
35	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		fveq2 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
37	7, 36	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
38	37	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
40		fzonel 13690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
42	41	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
43	40, 42	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
44	43	con2i 139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45		nn0ex 12507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
46	45	mptex 7215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V
47		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
48	47	fvmpt2 6997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
49	46, 48	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
50		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
52	49, 50, 35, 51	fvmptd 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
53	52	eqeq2d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
54	44, 53	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
55	35, 39, 54	rspcedvd 3603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
56		rexnal 3089	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
57	55, 56	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
58		vex 3463	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
59		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)
60	58, 59	fnmpti 6681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0
61	49	fneq1d 6631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0))
62	60, 61	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0)
63		eqfnfv 7021	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
64	29, 62, 63	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
65	57, 64	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
66	65	nrex 3064	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)
67	34, 66	pm3.2ni 880	. . 3 ⊢ ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
68		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
69	68	efmndid 18866	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
70	45, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
71	70	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72		smndex1mgm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
73	71, 72	eleq12i 2827	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
74		elun 4128	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
75		resiexg 7908	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
76	45, 75	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℕ0) ∈ V
77	76	elsn 4616	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78		eliun 4971	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)})
79	76	elsn 4616	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
80	79	rexbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
81	78, 80	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
82	77, 81	orbi12i 914	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
83	74, 82	bitri 275	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
84	73, 83	bitri 275	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
85	67, 84	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵
86	85	nelir 3039	1 ⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∪ cun 3924  {csn 4601  ∪ ciun 4967   ↦ cmpt 5201   I cid 5547   ↾ cres 5656   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℝ⁺crp 13008  ..^cfzo 13671   mod cmo 13886   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453  EndoFMndcefmnd 18846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-tset 17290  df-0g 17455  df-efmnd 18847

This theorem is referenced by:  nsmndex1  18891