MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1n0mnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1n0mnd 18793
Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set β„•0 is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1n0mnd (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)
Proof of Theorem smndex1n0mnd
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
2 nnnn0 12479 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘))
41, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ β„•0
5 fvresi 7171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘) = 𝑁)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘) = 𝑁
73, 6eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = 𝑁)
8 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘))
97, 8eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
109notbid 318 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
1110adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
12 nnne0 12246 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
1312neneqd 2946 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
14 smndex1ibas.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
15 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
17 modid0 13862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1915, 18sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = 0)
20 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ V)
2214, 19, 2, 21fvmptd2 7007 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜π‘) = 0)
2322eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 = (πΌβ€˜π‘) ↔ 𝑁 = 0))
2413, 23mtbird 325 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘))
252, 11, 24rspcedvd 3615 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
261, 25ax-mp 5 . . . . . 6 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)
27 rexnal 3101 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
2826, 27mpbi 229 . . . . 5 Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)
29 fnresi 6680 . . . . . 6 ( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0
30 ovex 7442 . . . . . . 7 (π‘₯ mod 𝑁) ∈ V
3130, 14fnmpti 6694 . . . . . 6 𝐼 Fn β„•0
32 eqfnfv 7033 . . . . . 6 ((( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0 ∧ 𝐼 Fn β„•0) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)))
3329, 31, 32mp2an 691 . . . . 5 (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
3428, 33mtbir 323 . . . 4 Β¬ ( I β†Ύ β„•0) = 𝐼
354a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
36 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘))
377, 36eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
3837notbid 318 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
40 fzonel 13646 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4241eqcoms 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4340, 42mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑛 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
4443con2i 139 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = 𝑛)
45 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
4645mptex 7225 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) ∈ V
47 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
4847fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
4946, 48mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
50 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ 𝑛 = 𝑛)
51 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
5249, 50, 35, 51fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘) = 𝑛)
5352eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘) ↔ 𝑁 = 𝑛))
5444, 53mtbird 325 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘))
5535, 39, 54rspcedvd 3615 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
56 rexnal 3101 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
5755, 56sylib 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
58 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
59 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)
6058, 59fnmpti 6694 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) Fn β„•0
6149fneq1d 6643 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) Fn β„•0))
6260, 61mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0)
63 eqfnfv 7033 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0 ∧ (πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
6429, 62, 63sylancr 588 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
6557, 64mtbird 325 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ ( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
6665nrex 3075 . . . 4 Β¬ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)
6734, 66pm3.2ni 880 . . 3 Β¬ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
68 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
6968efmndid 18769 . . . . . . 7 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
7045, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
7170eqcomi 2742 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = ( I β†Ύ β„•0)
72 smndex1mgm.b . . . . 5 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
7371, 72eleq12i 2827 . . . 4 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ↔ ( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
74 elun 4149 . . . . 5 (( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ∨ ( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
75 resiexg 7905 . . . . . . . 8 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) ∈ V)
7645, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I β†Ύ β„•0) ∈ V
7776elsn 4644 . . . . . 6 (( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ↔ ( I β†Ύ β„•0) = 𝐼)
78 eliun 5002 . . . . . . 7 (( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)})
7976elsn 4644 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ ( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8079rexbii 3095 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8178, 80bitri 275 . . . . . 6 (( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8277, 81orbi12i 914 . . . . 5 ((( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ∨ ( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8374, 82bitri 275 . . . 4 (( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8473, 83bitri 275 . . 3 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8567, 84mtbir 323 . 2 Β¬ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡
8685nelir 3050 1 (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3047  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947  {csn 4629  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834   β†Ύs cress 17173  0gc0g 17385  EndoFMndcefmnd 18749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-0g 17387  df-efmnd 18750
This theorem is referenced by:  nsmndex1  18794
  Copyright terms: Public domain W3C validator