Theorem smndex1n0mnd 18925

Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set ℕ₀ is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1n0mnd	⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		nnnn0 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
4	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		fvresi 7193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
7	3, 6	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑁))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
10	9	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
11	10	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
12		nnne0 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
13	12	neneqd 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14		smndex1ibas.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16		nnrp 13046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17		modid0 13937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20		c0ex 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
22	14, 19, 2, 21	fvmptd2 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼‘𝑁) = 0)
23	22	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼‘𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
24	13, 23	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁))
25	2, 11, 24	rspcedvd 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
27		rexnal 3100	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
29		fnresi 6697	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
31	30, 14	fnmpti 6711	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
32		eqfnfv 7051	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ 𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)))
33	29, 31, 32	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
34	28, 33	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
35	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		fveq2 6906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
37	7, 36	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
38	37	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
40		fzonel 13713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
42	41	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
43	40, 42	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
44	43	con2i 139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45		nn0ex 12532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
46	45	mptex 7243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V
47		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
48	47	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
49	46, 48	mpan2 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
50		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
52	49, 50, 35, 51	fvmptd 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
53	52	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
54	44, 53	mtbird 325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
55	35, 39, 54	rspcedvd 3624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
56		rexnal 3100	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
57	55, 56	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
58		vex 3484	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
59		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)
60	58, 59	fnmpti 6711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0
61	49	fneq1d 6661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0))
62	60, 61	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0)
63		eqfnfv 7051	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
64	29, 62, 63	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
65	57, 64	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
66	65	nrex 3074	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)
67	34, 66	pm3.2ni 881	. . 3 ⊢ ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
68		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
69	68	efmndid 18901	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
70	45, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
71	70	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72		smndex1mgm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
73	71, 72	eleq12i 2834	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
74		elun 4153	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
75		resiexg 7934	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
76	45, 75	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℕ0) ∈ V
77	76	elsn 4641	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78		eliun 4995	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)})
79	76	elsn 4641	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
80	79	rexbii 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
81	78, 80	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
82	77, 81	orbi12i 915	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
83	74, 82	bitri 275	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
84	73, 83	bitri 275	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
85	67, 84	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵
86	85	nelir 3049	1 ⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  {csn 4626  ∪ ciun 4991   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℝ⁺crp 13034  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484  EndoFMndcefmnd 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-efmnd 18882

This theorem is referenced by:  nsmndex1  18926