MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1n0mnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1n0mnd 18829
Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set β„•0 is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1n0mnd (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)
Proof of Theorem smndex1n0mnd
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
2 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘))
41, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ β„•0
5 fvresi 7172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘) = 𝑁)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘) = 𝑁
73, 6eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = 𝑁)
8 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘))
97, 8eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
109notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
1110adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
12 nnne0 12250 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
1312neneqd 2943 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
14 smndex1ibas.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
15 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
17 modid0 13866 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1915, 18sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = 0)
20 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ V)
2214, 19, 2, 21fvmptd2 7005 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜π‘) = 0)
2322eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 = (πΌβ€˜π‘) ↔ 𝑁 = 0))
2413, 23mtbird 324 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘))
252, 11, 24rspcedvd 3613 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
261, 25ax-mp 5 . . . . . 6 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)
27 rexnal 3098 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
2826, 27mpbi 229 . . . . 5 Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)
29 fnresi 6678 . . . . . 6 ( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0
30 ovex 7444 . . . . . . 7 (π‘₯ mod 𝑁) ∈ V
3130, 14fnmpti 6692 . . . . . 6 𝐼 Fn β„•0
32 eqfnfv 7031 . . . . . 6 ((( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0 ∧ 𝐼 Fn β„•0) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)))
3329, 31, 32mp2an 688 . . . . 5 (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
3428, 33mtbir 322 . . . 4 Β¬ ( I β†Ύ β„•0) = 𝐼
354a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
36 fveq2 6890 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘))
377, 36eqeq12d 2746 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
3837notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
3938adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
40 fzonel 13650 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4241eqcoms 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4340, 42mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑛 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
4443con2i 139 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = 𝑛)
45 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
4645mptex 7226 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) ∈ V
47 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
4847fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
4946, 48mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
50 eqidd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ 𝑛 = 𝑛)
51 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
5249, 50, 35, 51fvmptd 7004 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘) = 𝑛)
5352eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘) ↔ 𝑁 = 𝑛))
5444, 53mtbird 324 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘))
5535, 39, 54rspcedvd 3613 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
56 rexnal 3098 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
5755, 56sylib 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
58 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
59 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)
6058, 59fnmpti 6692 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) Fn β„•0
6149fneq1d 6641 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) Fn β„•0))
6260, 61mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0)
63 eqfnfv 7031 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0 ∧ (πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
6429, 62, 63sylancr 585 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
6557, 64mtbird 324 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ ( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
6665nrex 3072 . . . 4 Β¬ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)
6734, 66pm3.2ni 877 . . 3 Β¬ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
68 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
6968efmndid 18805 . . . . . . 7 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
7045, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
7170eqcomi 2739 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = ( I β†Ύ β„•0)
72 smndex1mgm.b . . . . 5 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
7371, 72eleq12i 2824 . . . 4 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ↔ ( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
74 elun 4147 . . . . 5 (( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ∨ ( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
75 resiexg 7907 . . . . . . . 8 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) ∈ V)
7645, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I β†Ύ β„•0) ∈ V
7776elsn 4642 . . . . . 6 (( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ↔ ( I β†Ύ β„•0) = 𝐼)
78 eliun 5000 . . . . . . 7 (( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)})
7976elsn 4642 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ ( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8079rexbii 3092 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8178, 80bitri 274 . . . . . 6 (( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8277, 81orbi12i 911 . . . . 5 ((( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ∨ ( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8374, 82bitri 274 . . . 4 (( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8473, 83bitri 274 . . 3 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8567, 84mtbir 322 . 2 Β¬ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡
8685nelir 3047 1 (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ‰ wnel 3044  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„+crp 12978  ..^cfzo 13631   mod cmo 13838   β†Ύs cress 17177  0gc0g 17389  EndoFMndcefmnd 18785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-0g 17391  df-efmnd 18786
This theorem is referenced by:  nsmndex1  18830
  Copyright terms: Public domain W3C validator