Theorem smndex1n0mnd 19111

Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set ℕ₀ is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b	⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
smndex1mgm.s	⊢ 𝑆 = (𝑀 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smndex1n0mnd	⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smndex1ibas.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2		nnnn0 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
4	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		fvresi 7178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
7	3, 6	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑁))
9	7, 8	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
10	9	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
11	10	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁)))
12		nnne0 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
13	12	neneqd 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14		smndex1ibas.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16		nnrp 13132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17		modid0 14037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
19	15, 18	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20		c0ex 11300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
22	14, 19, 2, 21	fvmptd2 7002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼‘𝑁) = 0)
23	22	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼‘𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
24	13, 23	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼‘𝑁))
25	2, 11, 24	rspcedvd 3579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
26	1, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
27		rexnal 3115	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
28	26, 27	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)
29		fnresi 6668	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
31	30, 14	fnmpti 6682	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
32		eqfnfv 7029	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ 𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥)))
33	29, 31, 32	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼‘𝑥))
34	28, 33	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
35	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
37	7, 36	eqeq12d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
38	37	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
39	38	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁)))
40		fzonel 13808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
42	41	eqcoms 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
43	40, 42	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
44	43	con2i 140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45		nn0ex 12612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
46	45	mptex 7229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V
47		smndex1ibas.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
48	47	fvmpt2 7005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) ∈ V) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
49	46, 48	mpan2 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
50		eqidd 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
52	49, 50, 35, 51	fvmptd 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
53	52	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
54	44, 53	mtbird 328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺‘𝑛)‘𝑁))
55	35, 39, 54	rspcedvd 3579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
56		rexnal 3115	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
57	55, 56	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥))
58		vex 3455	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑛 ∈ V
59		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛)
60	58, 59	fnmpti 6682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0
61	49	fneq1d 6632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺‘𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) Fn ℕ0))
62	60, 61	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0)
63		eqfnfv 7029	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺‘𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
64	29, 62, 63	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑛)‘𝑥)))
65	57, 64	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
66	65	nrex 3091	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)
67	34, 66	pm3.2ni 894	. . 3 ⊢ ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
68		smndex1ibas.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
69	68	efmndid 19084	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
70	45, 69	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
71	70	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72		smndex1mgm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)})
73	71, 72	eleq12i 2854	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
74		elun 4100	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}))
75		resiexg 7924	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
76	45, 75	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ ℕ0) ∈ V
77	76	elsn 4599	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78		eliun 4955	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)})
79	76	elsn 4599	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
80	79	rexbii 3110	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
81	78, 80	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛))
82	77, 81	orbi12i 928	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
83	74, 82	bitri 278	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺‘𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
84	73, 83	bitri 278	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺‘𝑛)))
85	67, 84	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵
86	85	nelir 3065	1 ⊢ (0g‘𝑀) ∉ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∪ cun 3897  {csn 4584  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   I cid 5545   ↾ cres 5653   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℝ⁺crp 13120  ..^cfzo 13788   mod cmo 14009   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610  EndoFMndcefmnd 19064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-0g 17612  df-efmnd 19065

This theorem is used by:  nsmndex1  19112