MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1n0mnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex1n0mnd 18789
Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set β„•0 is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ β„•
smndex1ibas.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
smndex1mgm.b 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀 β†Ύs 𝐡)
Assertion
Ref Expression
smndex1n0mnd (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑁,𝑛   π‘₯,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘₯,𝐺   𝑛,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝑆(𝑛)
Proof of Theorem smndex1n0mnd
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ β„•
2 nnnn0 12475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘))
41, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ β„•0
5 fvresi 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘) = 𝑁)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘) = 𝑁
73, 6eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = 𝑁)
8 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘))
97, 8eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
109notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘)))
12 nnne0 12242 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
1312neneqd 2945 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑁 = 0)
14 smndex1ibas.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ mod 𝑁))
15 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16 nnrp 12981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ+)
17 modid0 13858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ β†’ (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1915, 18sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (π‘₯ mod 𝑁) = 0)
20 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ∈ V)
2214, 19, 2, 21fvmptd2 7003 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (πΌβ€˜π‘) = 0)
2322eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 = (πΌβ€˜π‘) ↔ 𝑁 = 0))
2413, 23mtbird 324 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝑁 = (πΌβ€˜π‘))
252, 11, 24rspcedvd 3614 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
261, 25ax-mp 5 . . . . . 6 βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)
27 rexnal 3100 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
2826, 27mpbi 229 . . . . 5 Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)
29 fnresi 6676 . . . . . 6 ( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0
30 ovex 7438 . . . . . . 7 (π‘₯ mod 𝑁) ∈ V
3130, 14fnmpti 6690 . . . . . 6 𝐼 Fn β„•0
32 eqfnfv 7029 . . . . . 6 ((( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0 ∧ 𝐼 Fn β„•0) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯)))
3329, 31, 32mp2an 690 . . . . 5 (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘₯))
3428, 33mtbir 322 . . . 4 Β¬ ( I β†Ύ β„•0) = 𝐼
354a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
36 fveq2 6888 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘))
377, 36eqeq12d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
3837notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ (Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘)))
40 fzonel 13642 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4241eqcoms 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4340, 42mtbiri 326 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑛 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
4443con2i 139 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = 𝑛)
45 nn0ex 12474 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
4645mptex 7221 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) ∈ V
47 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
4847fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
4946, 48mpan2 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛))
50 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ π‘₯ = 𝑁) β†’ 𝑛 = 𝑛)
51 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
5249, 50, 35, 51fvmptd 7002 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘) = 𝑛)
5352eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘) ↔ 𝑁 = 𝑛))
5444, 53mtbird 324 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘))
5535, 39, 54rspcedvd 3614 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
56 rexnal 3100 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 Β¬ (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
5755, 56sylib 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
58 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
59 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛)
6058, 59fnmpti 6690 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) Fn β„•0
6149fneq1d 6639 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0 ↔ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ 𝑛) Fn β„•0))
6260, 61mpbiri 257 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0)
63 eqfnfv 7029 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ β„•0) Fn β„•0 ∧ (πΊβ€˜π‘›) Fn β„•0) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
6429, 62, 63sylancr 587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ (( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (( I β†Ύ β„•0)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
6557, 64mtbird 324 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ ( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
6665nrex 3074 . . . 4 Β¬ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)
6734, 66pm3.2ni 879 . . 3 Β¬ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
68 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
6968efmndid 18765 . . . . . . 7 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
7045, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
7170eqcomi 2741 . . . . 5 (0gβ€˜π‘€) = ( I β†Ύ β„•0)
72 smndex1mgm.b . . . . 5 𝐡 = ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)})
7371, 72eleq12i 2826 . . . 4 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ↔ ( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
74 elun 4147 . . . . 5 (( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ∨ ( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}))
75 resiexg 7901 . . . . . . . 8 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) ∈ V)
7645, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I β†Ύ β„•0) ∈ V
7776elsn 4642 . . . . . 6 (( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ↔ ( I β†Ύ β„•0) = 𝐼)
78 eliun 5000 . . . . . . 7 (( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)})
7976elsn 4642 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ ( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8079rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) ∈ {(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8178, 80bitri 274 . . . . . 6 (( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)} ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›))
8277, 81orbi12i 913 . . . . 5 ((( I β†Ύ β„•0) ∈ {𝐼} ∨ ( I β†Ύ β„•0) ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8374, 82bitri 274 . . . 4 (( I β†Ύ β„•0) ∈ ({𝐼} βˆͺ βˆͺ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(πΊβ€˜π‘›)}) ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8473, 83bitri 274 . . 3 ((0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡 ↔ (( I β†Ύ β„•0) = 𝐼 ∨ βˆƒπ‘› ∈ (0..^𝑁)( I β†Ύ β„•0) = (πΊβ€˜π‘›)))
8567, 84mtbir 322 . 2 Β¬ (0gβ€˜π‘€) ∈ 𝐡
8685nelir 3049 1 (0gβ€˜π‘€) βˆ‰ 𝐡
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„+crp 12970  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381  EndoFMndcefmnd 18745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-0g 17383  df-efmnd 18746
This theorem is referenced by:  nsmndex1  18790
  Copyright terms: Public domain W3C validator