MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1n0mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1n0mnd 18790
Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set 0 is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1n0mnd (0g𝑀) ∉ 𝐵
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
2 nnnn0 12476 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
41, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ ℕ0
5 fvresi 7168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
73, 6eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8 fveq2 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑁))
97, 8eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
109notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
1110adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
12 nnne0 12243 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1312neneqd 2946 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14 smndex1ibas.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16 nnrp 12982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17 modid0 13859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1915, 18sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20 c0ex 11205 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
2214, 19, 2, 21fvmptd2 7004 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼𝑁) = 0)
2322eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
2413, 23mtbird 325 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁))
252, 11, 24rspcedvd 3615 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
261, 25ax-mp 5 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)
27 rexnal 3101 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
2826, 27mpbi 229 . . . . 5 ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)
29 fnresi 6677 . . . . . 6 ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30 ovex 7439 . . . . . . 7 (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
3130, 14fnmpti 6691 . . . . . 6 𝐼 Fn ℕ0
32 eqfnfv 7030 . . . . . 6 ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)))
3329, 31, 32mp2an 691 . . . . 5 (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
3428, 33mtbir 323 . . . 4 ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
354a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 fveq2 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑁))
377, 36eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
3837notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
40 fzonel 13643 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4241eqcoms 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4340, 42mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
4443con2i 139 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45 nn0ex 12475 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4645mptex 7222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) ∈ V
47 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
4847fvmpt2 7007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
4946, 48mpan2 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
50 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
5249, 50, 35, 51fvmptd 7003 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
5352eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
5444, 53mtbird 325 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁))
5535, 39, 54rspcedvd 3615 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
56 rexnal 3101 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
5755, 56sylib 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
58 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
59 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛)
6058, 59fnmpti 6691 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) Fn ℕ0
6149fneq1d 6640 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) Fn ℕ0))
6260, 61mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑛) Fn ℕ0)
63 eqfnfv 7030 . . . . . . 7 ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥)))
6429, 62, 63sylancr 588 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥)))
6557, 64mtbird 325 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
6665nrex 3075 . . . 4 ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)
6734, 66pm3.2ni 880 . . 3 ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
68 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
6968efmndid 18766 . . . . . . 7 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
7045, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
7170eqcomi 2742 . . . . 5 (0g𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72 smndex1mgm.b . . . . 5 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
7371, 72eleq12i 2827 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
74 elun 4148 . . . . 5 (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75 resiexg 7902 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
7645, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ ℕ0) ∈ V
7776elsn 4643 . . . . . 6 (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78 eliun 5001 . . . . . . 7 (( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)})
7976elsn 4643 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8079rexbii 3095 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8178, 80bitri 275 . . . . . 6 (( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8277, 81orbi12i 914 . . . . 5 ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8374, 82bitri 275 . . . 4 (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8473, 83bitri 275 . . 3 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8567, 84mtbir 323 . 2 ¬ (0g𝑀) ∈ 𝐵
8685nelir 3050 1 (0g𝑀) ∉ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3047  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cun 3946  {csn 4628   ciun 4997  cmpt 5231   I cid 5573  cres 5678   Fn wfn 6536  cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  cn 12209  0cn0 12469  +crp 12971  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  s cress 17170  0gc0g 17382  EndoFMndcefmnd 18746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-tset 17213  df-0g 17384  df-efmnd 18747
This theorem is referenced by:  nsmndex1  18791
  Copyright terms: Public domain W3C validator