Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex1n0mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex1n0mnd 18136
 Description: The identity of the monoid 𝑀 of endofunctions on set ℕ0 is not contained in the base set of the constructed monoid 𝑆. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex1ibas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
smndex1mgm.b 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
smndex1mgm.s 𝑆 = (𝑀s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
smndex1n0mnd (0g𝑀) ∉ 𝐵
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑛   𝑥,𝑀   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑥,𝐺   𝑛,𝐼,𝑥   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑛)

Proof of Theorem smndex1n0mnd
StepHypRef Expression
1 smndex1ibas.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
2 nnnn0 11934 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 fveq2 6659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (( I ↾ ℕ0)‘𝑁))
41, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ ℕ0
5 fvresi 6927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (( I ↾ ℕ0)‘𝑁) = 𝑁
73, 6eqtrdi 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = 𝑁)
8 fveq2 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑁))
97, 8eqeq12d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
109notbid 322 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
1110adantl 486 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁)))
12 nnne0 11701 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1312neneqd 2957 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
14 smndex1ibas.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
15 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
16 nnrp 12434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
17 modid0 13307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
1915, 18sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 mod 𝑁) = 0)
20 c0ex 10666 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ V)
2214, 19, 2, 21fvmptd2 6768 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐼𝑁) = 0)
2322eqeq2d 2770 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = (𝐼𝑁) ↔ 𝑁 = 0))
2413, 23mtbird 329 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = (𝐼𝑁))
252, 11, 24rspcedvd 3545 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
261, 25ax-mp 5 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)
27 rexnal 3166 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
2826, 27mpbi 233 . . . . 5 ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)
29 fnresi 6460 . . . . . 6 ( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0
30 ovex 7184 . . . . . . 7 (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
3130, 14fnmpti 6475 . . . . . 6 𝐼 Fn ℕ0
32 eqfnfv 6794 . . . . . 6 ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0𝐼 Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥)))
3329, 31, 32mp2an 692 . . . . 5 (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = (𝐼𝑥))
3428, 33mtbir 327 . . . 4 ¬ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼
354a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 fveq2 6659 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐺𝑛)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑁))
377, 36eqeq12d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
3837notbid 322 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
3938adantl 486 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁)))
40 fzonel 13093 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
41 eleq1 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4241eqcoms 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 𝑛 → (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)))
4340, 42mtbiri 331 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
4443con2i 141 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑛)
45 nn0ex 11933 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
4645mptex 6978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) ∈ V
47 smndex1ibas.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
4847fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
4946, 48mpan2 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛))
50 eqidd 2760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑛)
51 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → 𝑛 ∈ (0..^𝑁))
5249, 50, 35, 51fvmptd 6767 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑛)‘𝑁) = 𝑛)
5352eqeq2d 2770 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁) ↔ 𝑁 = 𝑛))
5444, 53mtbird 329 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = ((𝐺𝑛)‘𝑁))
5535, 39, 54rspcedvd 3545 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
56 rexnal 3166 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℕ0 ¬ (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
5755, 56sylib 221 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥))
58 vex 3414 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ V
59 eqid 2759 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0𝑛)
6058, 59fnmpti 6475 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) Fn ℕ0
6149fneq1d 6428 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐺𝑛) Fn ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑛) Fn ℕ0))
6260, 61mpbiri 261 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑛) Fn ℕ0)
63 eqfnfv 6794 . . . . . . 7 ((( I ↾ ℕ0) Fn ℕ0 ∧ (𝐺𝑛) Fn ℕ0) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥)))
6429, 62, 63sylancr 591 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → (( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (( I ↾ ℕ0)‘𝑥) = ((𝐺𝑛)‘𝑥)))
6557, 64mtbird 329 . . . . 5 (𝑛 ∈ (0..^𝑁) → ¬ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
6665nrex 3194 . . . 4 ¬ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)
6734, 66pm3.2ni 879 . . 3 ¬ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
68 smndex1ibas.m . . . . . . . 8 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
6968efmndid 18112 . . . . . . 7 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
7045, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
7170eqcomi 2768 . . . . 5 (0g𝑀) = ( I ↾ ℕ0)
72 smndex1mgm.b . . . . 5 𝐵 = ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)})
7371, 72eleq12i 2845 . . . 4 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 ↔ ( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
74 elun 4055 . . . . 5 (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}))
75 resiexg 7625 . . . . . . . 8 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) ∈ V)
7645, 75ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ ℕ0) ∈ V
7776elsn 4538 . . . . . 6 (( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ↔ ( I ↾ ℕ0) = 𝐼)
78 eliun 4888 . . . . . . 7 (( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)})
7976elsn 4538 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8079rexbii 3176 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) ∈ {(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8178, 80bitri 278 . . . . . 6 (( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)} ↔ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛))
8277, 81orbi12i 913 . . . . 5 ((( I ↾ ℕ0) ∈ {𝐼} ∨ ( I ↾ ℕ0) ∈ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8374, 82bitri 278 . . . 4 (( I ↾ ℕ0) ∈ ({𝐼} ∪ 𝑛 ∈ (0..^𝑁){(𝐺𝑛)}) ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8473, 83bitri 278 . . 3 ((0g𝑀) ∈ 𝐵 ↔ (( I ↾ ℕ0) = 𝐼 ∨ ∃𝑛 ∈ (0..^𝑁)( I ↾ ℕ0) = (𝐺𝑛)))
8567, 84mtbir 327 . 2 ¬ (0g𝑀) ∈ 𝐵
8685nelir 3059 1 (0g𝑀) ∉ 𝐵
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∉ wnel 3056  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  Vcvv 3410   ∪ cun 3857  {csn 4523  ∪ ciun 4884   ↦ cmpt 5113   I cid 5430   ↾ cres 5527   Fn wfn 6331  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10568  ℕcn 11667  ℕ0cn0 11927  ℝ+crp 12423  ..^cfzo 13075   mod cmo 13279   ↾s cress 16535  0gc0g 16764  EndoFMndcefmnd 18092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-plusg 16629  df-tset 16635  df-0g 16766  df-efmnd 18093 This theorem is referenced by:  nsmndex1  18137
 Copyright terms: Public domain W3C validator