Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringcidALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringcidALTV 42655
Description: The identity arrow in the category of rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccatALTV.c 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
ringcidALTV.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcidALTV.o 1 = (Id‘𝐶)
ringcidALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
ringcidALTV.x (𝜑𝑋𝐵)
ringcidALTV.s 𝑆 = (Base‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
ringcidALTV (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcidALTV
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringcidALTV.o . . . 4 1 = (Id‘𝐶)
2 ringcidALTV.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
3 ringccatALTV.c . . . . . . 7 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
4 ringcidALTV.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐶)
53, 4ringccatidALTV 42653 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
76simprd 489 . . . 4 (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
81, 7syl5eq 2810 . . 3 (𝜑1 = (𝑥𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
9 fveq2 6374 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
109adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
1110reseq2d 5564 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
12 ringcidALTV.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
13 fvex 6387 . . . 4 (Base‘𝑋) ∈ V
14 resiexg 7299 . . . 4 ((Base‘𝑋) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
1513, 14mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
168, 11, 12, 15fvmptd 6476 . 2 (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
17 ringcidALTV.s . . 3 𝑆 = (Base‘𝑋)
1817reseq2i 5561 . 2 ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ (Base‘𝑋))
1916, 18syl6eqr 2816 1 (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3349  cmpt 4887   I cid 5183  cres 5278  cfv 6067  Basecbs 16131  Catccat 16591  Idccid 16592  RingCatALTVcringcALTV 42605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-plusg 16228  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-cat 16595  df-cid 16596  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-grp 17693  df-ghm 17923  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-rnghom 18983  df-ringcALTV 42607
This theorem is referenced by:  ringcsectALTV  42656  funcringcsetclem7ALTV  42666  srhmsubcALTV  42695
  Copyright terms: Public domain W3C validator