Theorem ringcidALTV 48621

Description: The identity arrow in the category of rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringccatALTV.c	⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
ringcidALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcidALTV.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
ringcidALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcidALTV.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcidALTV.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ringcidALTV	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcidALTV

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcidALTV.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		ringcidALTV.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		ringccatALTV.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
4		ringcidALTV.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	ringccatidALTV 48619	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
7	6	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8	1, 7	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
9		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
11	10	reseq2d 5939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
12		ringcidALTV.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
14		resiexg 7856	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
16	8, 11, 12, 15	fvmptd 6950	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
17		ringcidALTV.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
18	17	reseq2i 5936	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ (Base‘𝑋))
19	16, 18	eqtr4di 2790	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5180   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  Catccat 17591  Idccid 17592  RingCatALTVcringcALTV 48600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-cat 17595  df-cid 17596  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-ghm 19146  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-rhm 20412  df-ringcALTV 48601

This theorem is referenced by:  ringcsectALTV  48622  funcringcsetclem7ALTV  48632  srhmsubcALTV  48638