Theorem ringcidALTV 47478

Description: The identity arrow in the category of rings is the identity function. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringccatALTV.c	⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
ringcidALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcidALTV.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
ringcidALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringcidALTV.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringcidALTV.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ringcidALTV	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem ringcidALTV

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcidALTV.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		ringcidALTV.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		ringccatALTV.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (RingCatALTV‘𝑈)
4		ringcidALTV.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	ringccatidALTV 47476	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
7	6	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8	1, 7	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
9		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
10	9	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
11	10	reseq2d 5980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
12		ringcidALTV.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
14		resiexg 7914	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
16	8, 11, 12, 15	fvmptd 7005	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
17		ringcidALTV.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
18	17	reseq2i 5977	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ (Base‘𝑋))
19	16, 18	eqtr4di 2783	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5227   I cid 5570   ↾ cres 5675  ‘cfv 6543  Basecbs 17174  Catccat 17638  Idccid 17639  RingCatALTVcringcALTV 47457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-cat 17642  df-cid 17643  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18892  df-ghm 19167  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-rhm 20410  df-ringcALTV 47458

This theorem is referenced by:  ringcsectALTV  47479  funcringcsetclem7ALTV  47489  srhmsubcALTV  47495