Theorem dicn0 42065

Description: The value of the partial isomorphism C is not empty. (Contributed by NM, 15-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dicn0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dicn0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicn0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicn0.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dicn0	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ≠ ∅)

Proof of Theorem dicn0

Dummy variables 𝑔 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dicn0.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4		dicn0.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		dicn0.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	lhpocnel 40891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
11	2, 4, 5, 9, 10	ltrniotacl 41452	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
12	1, 7, 8, 11	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	13, 14	tendo02 41660	. . . . 5 ⊢ ((℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
16	12, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
17	16	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ( I ↾ (Base‘𝐾)) = ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
19	14, 5, 9, 18, 13	tendo0cl 41663	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
22		dicn0.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
23		fvex 6891	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
24		resiexg 7909	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V
26		fvex 6891	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
27	26	mptex 7222	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
28	2, 4, 5, 21, 9, 18, 22, 25, 27	dicopelval 42050	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (𝐼‘𝑄) ↔ (( I ↾ (Base‘𝐾)) = ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
29	17, 20, 28	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (𝐼‘𝑄))
30	29	ne0d 4288	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  ℩crio 7369  Basecbs 17301  lecple 17349  occoc 17350  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  LHypclh 40857  LTrncltrn 40974  TEndoctendo 41625  DIsoCcdic 42045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8271  df-map 8828  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tendo 41628  df-dic 42046

This theorem is used by:  diclss  42066