Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dicn0 38487
 Description: The value of the partial isomorphism C is not empty. (Contributed by NM, 15-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicn0.l = (le‘𝐾)
dicn0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicn0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicn0.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dicn0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ≠ ∅)

Proof of Theorem dicn0
Dummy variables 𝑔 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dicn0.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
3 eqid 2801 . . . . . . . 8 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 dicn0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dicn0.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
62, 3, 4, 5lhpocnel 37313 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
76adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
8 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
9 eqid 2801 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
112, 4, 5, 9, 10ltrniotacl 37874 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
121, 7, 8, 11syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
13 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
14 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1513, 14tendo02 38082 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1612, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1716eqcomd 2807 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ( I ↾ (Base‘𝐾)) = ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
18 eqid 2801 . . . . 5 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
1914, 5, 9, 18, 13tendo0cl 38085 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2019adantr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 eqid 2801 . . . 4 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
22 dicn0.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
23 fvex 6662 . . . . 5 (Base‘𝐾) ∈ V
24 resiexg 7605 . . . . 5 ((Base‘𝐾) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V)
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∈ V
26 fvex 6662 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2726mptex 6967 . . . 4 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
282, 4, 5, 21, 9, 18, 22, 25, 27dicopelval 38472 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ (( I ↾ (Base‘𝐾)) = ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
2917, 20, 28mpbir2and 712 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (𝐼𝑄))
3029ne0d 4254 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444  ∅c0 4246  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   I cid 5427   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  ℩crio 7096  Basecbs 16479  lecple 16568  occoc 16569  Atomscatm 36558  HLchlt 36645  LHypclh 37279  LTrncltrn 37396  TEndoctendo 38047  DIsoCcdic 38467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-riotaBAD 36248 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-lub 17580  df-glb 17581  df-join 17582  df-meet 17583  df-p0 17645  df-p1 17646  df-lat 17652  df-clat 17714  df-oposet 36471  df-ol 36473  df-oml 36474  df-covers 36561  df-ats 36562  df-atl 36593  df-cvlat 36617  df-hlat 36646  df-llines 36793  df-lplanes 36794  df-lvols 36795  df-lines 36796  df-psubsp 36798  df-pmap 36799  df-padd 37091  df-lhyp 37283  df-laut 37284  df-ldil 37399  df-ltrn 37400  df-trl 37454  df-tendo 38050  df-dic 38468 This theorem is referenced by:  diclss  38488
 Copyright terms: Public domain W3C validator