Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcidALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcidALTV 46879
Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccatALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcidALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcidALTV.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
rngcidALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcidALTV.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcidALTV.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
rngcidALTV (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))

Proof of Theorem rngcidALTV
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcidALTV.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 rngcidALTV.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 rngccatALTV.c . . . . . . 7 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
4 rngcidALTV.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
53, 4rngccatidALTV 46877 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
76simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
81, 7eqtrid 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
9 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘‹))
109adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘‹))
1110reseq2d 5981 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
12 rngcidALTV.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 fvex 6904 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
14 resiexg 7904 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘‹) ∈ V β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ V)
1513, 14mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ V)
168, 11, 12, 15fvmptd 7005 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
17 rngcidALTV.s . . 3 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
1817reseq2i 5978 . 2 ( I β†Ύ 𝑆) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))
1916, 18eqtr4di 2790 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  Catccat 17607  Idccid 17608  RngCatALTVcrngcALTV 46846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-cat 17611  df-cid 17612  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-ghm 19089  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-mgmhm 46539  df-rng 46639  df-rnghomo 46675  df-rngcALTV 46848
This theorem is referenced by:  rngcsectALTV  46880
  Copyright terms: Public domain W3C validator