Theorem rngcidALTV 47414

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccatALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcidALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcidALTV.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcidALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcidALTV.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcidALTV.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcidALTV	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcidALTV

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcidALTV.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngcidALTV.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngccatALTV.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
4		rngcidALTV.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	rngccatidALTV 47412	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
7	6	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8	1, 7	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
9		fveq2 6902	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
10	9	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
11	10	reseq2d 5989	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
12		rngcidALTV.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		fvex 6915	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
14		resiexg 7926	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
16	8, 11, 12, 15	fvmptd 7017	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
17		rngcidALTV.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
18	17	reseq2i 5986	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ (Base‘𝑋))
19	16, 18	eqtr4di 2786	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235   I cid 5579   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  Catccat 17651  Idccid 17652  RngCatALTVcrngcALTV 47403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-cat 17655  df-cid 17656  df-mgm 18607  df-mgmhm 18659  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-rnghm 20382  df-rngcALTV 47404

This theorem is referenced by:  rngcsectALTV  47415