Theorem rngcidALTV 43767

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccatALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcidALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcidALTV.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcidALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcidALTV.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcidALTV.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcidALTV	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcidALTV

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcidALTV.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngcidALTV.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngccatALTV.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
4		rngcidALTV.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	rngccatidALTV 43765	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
7	6	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8	1, 7	syl5eq 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
9		fveq2 6543	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
10	9	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
11	10	reseq2d 5739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
12		rngcidALTV.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		fvex 6556	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
14		resiexg 7480	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
16	8, 11, 12, 15	fvmptd 6646	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
17		rngcidALTV.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
18	17	reseq2i 5736	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ (Base‘𝑋))
19	16, 18	syl6eqr 2849	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5045   I cid 5352   ↾ cres 5450  ‘cfv 6230  Basecbs 16317  Catccat 16769  Idccid 16770  RngCatALTVcrngcALTV 43734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-plusg 16412  df-hom 16423  df-cco 16424  df-0g 16549  df-cat 16773  df-cid 16774  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-mhm 17779  df-grp 17869  df-ghm 18102  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-mgmhm 43555  df-rng0 43651  df-rnghomo 43663  df-rngcALTV 43736

This theorem is referenced by:  rngcsectALTV  43768