Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcidALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcidALTV 47221
Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccatALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcidALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcidALTV.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
rngcidALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcidALTV.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcidALTV.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
rngcidALTV (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))

Proof of Theorem rngcidALTV
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngcidALTV.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 rngcidALTV.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 rngccatALTV.c . . . . . . 7 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
4 rngcidALTV.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
53, 4rngccatidALTV 47219 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
76simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
81, 7eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
9 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘‹))
109adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘‹))
1110reseq2d 5975 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
12 rngcidALTV.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 fvex 6898 . . . 4 (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V
14 resiexg 7902 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘‹) ∈ V β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ V)
1513, 14mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) ∈ V)
168, 11, 12, 15fvmptd 6999 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
17 rngcidALTV.s . . 3 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
1817reseq2i 5972 . 2 ( I β†Ύ 𝑆) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹))
1916, 18eqtr4di 2784 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  Catccat 17617  Idccid 17618  RngCatALTVcrngcALTV 47210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-cat 17621  df-cid 17622  df-mgm 18573  df-mgmhm 18625  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-rnghm 20338  df-rngcALTV 47211
This theorem is referenced by:  rngcsectALTV  47222
  Copyright terms: Public domain W3C validator