Theorem rngcidALTV 48988

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccatALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcidALTV.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcidALTV.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcidALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcidALTV.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcidALTV.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcidALTV	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcidALTV

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcidALTV.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngcidALTV.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		rngccatALTV.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
4		rngcidALTV.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	3, 4	rngccatidALTV 48986	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥)))))
7	6	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
8	1, 7	eqtrid 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (Base‘𝑥))))
9		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
11	10	reseq2d 5982	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
12		rngcidALTV.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
14		resiexg 7912	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ V)
16	8, 11, 12, 15	fvmptd 7001	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
17		rngcidALTV.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
18	17	reseq2i 5979	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝑆) = ( I ↾ (Base‘𝑋))
19	16, 18	eqtr4di 2823	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   ↦ cmpt 5197   I cid 5559   ↾ cres 5667  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  Catccat 17723  Idccid 17724  RngCatALTVcrngcALTV 48977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17497  df-cat 17727  df-cid 17728  df-mgm 18701  df-mgmhm 18753  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-mhm 18844  df-grp 19006  df-ghm 19287  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-rnghm 20521  df-rngcALTV 48978

This theorem is referenced by:  rngcsectALTV  48989