Theorem fourierdlem62 42810

Description: The function 𝐾 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem62.k	⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem62	⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Proof of Theorem fourierdlem62

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem62.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
2		eqeq1 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → 𝑦 = 𝑠)
4		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
5	4	fveq2d 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
6	5	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
7	3, 6	oveq12d 7153	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8	2, 7	ifbieq2d 4450	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
9	8	cbvmptv 5133	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
10	1, 9	eqtri 2821	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
11	10	fourierdlem43 42792	. 2 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
12		ax-resscn 10583	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13		fss 6501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
14	11, 12, 13	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
16		difss 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π)
17		elioore 12756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
18	17	ssriv 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
19	16, 18	sstri 3924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
21		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
22	19	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	21, 22	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
25		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
26		2re 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
28	22	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
29	28	resincld 15488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
31	25, 30	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
33		iooretop 23371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
35		0re 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		negpilt0 41911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -π < 0
37		pipos 25053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < π
38		pire 25051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ
39	38	renegcli 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -π ∈ ℝ
40	39	rexri 10688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -π ∈ ℝ*
41	38	rexri 10688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℝ*
42		elioo2 12767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π)))
43	40, 41, 42	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π))
44	35, 36, 37, 43	mpbir3an 1338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ (-π(,)π)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (-π(,)π))
46		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) = ((-π(,)π) ∖ {0})
47		1ex 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
48		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
49	47, 48	dmmpti 6464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = ((-π(,)π) ∖ {0})
50		reelprrecn 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
52	12	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
54		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
55	51	dvmptid 24560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
56		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
57	56	tgioo2 23408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58		sncldre 41676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
59	35, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
60		retopon 23369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
61	60	toponunii 21521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
62	61	difopn 21639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
63	33, 59, 62	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
65	51, 53, 54, 55, 20, 57, 56, 64	dvmptres 24566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
66	65	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
67	66	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
68	67	dmeqi 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
69	49, 68	eqtr3i 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
70	69	eqimssi 3973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)))
72		fvex 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ V
73		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
74	72, 73	dmmpti 6464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = ((-π(,)π) ∖ {0})
75		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
76	53	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
77	76	sincld 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
78	75, 77	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
79	76	coscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
80		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
81		2ne0 11729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ≠ 0
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
83	52, 80, 82	divrec2d 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) = ((1 / 2) · 𝑥))
84	83	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))
85	84	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
86	85	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
87	86	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
88		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
89	12, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
90	89	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
91	90	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ))
92		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
93		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
94		halfcn 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
96		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
97	95, 96	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	sincld 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
99	93, 98	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
100	92, 99	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ
101		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
102		2cn 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℂ
103	102, 94	mulcli 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
105	97	coscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
106	104, 105	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
107	106	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
108	101, 107	dmmptd 6465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⊤ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ)
109	108	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ
110	12, 109	sseqtrri 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℝ ⊆ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
111		dvasinbx 42562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
112	102, 94, 111	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
113	112	dmeqi 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
114	110, 113	sseqtrri 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
115		dvcnre 42558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))) → (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ))
116	100, 114, 115	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ)
117	112	reseq1i 5814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
118		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
119	12, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
120	102, 81	recidi 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (1 / 2)) = 1)
122	83	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑥) = (𝑥 / 2))
123	122	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) = (cos‘(𝑥 / 2)))
124	121, 123	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑥 / 2))))
125	52	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
126	125	coscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
127	126	mulid2d 10648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 · (cos‘(𝑥 / 2))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
128	124, 127	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
129	128	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
130	117, 119, 129	3eqtri 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
131	91, 116, 130	3eqtri 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
132	87, 131	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
134	51, 78, 79, 133, 20, 57, 56, 64	dvmptres 24566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
135	134	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
136	135	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
137	136	dmeqi 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
138	74, 137	eqtr3i 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
139	138	eqimssi 3973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))))
141	17	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℂ)
142	141	ssriv 3919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℂ
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (-π(,)π) ⊆ ℂ)
144		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
146	143, 145	idcncfg 42515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
147	146	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
148		cnlimc 24491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦))))
149	142, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦)))
150	147, 149	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦))
151	150	simpri 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦)
152		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0))
153		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0))
154	152, 153	eleq12d 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0)))
155	154	rspccva 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0))
156	151, 44, 155	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0)
157		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
158		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)
159		c0ex 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ V
160	157, 158, 159	fvmpt 6745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0)
161	44, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0
162		elioore 12756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
163	162	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
164	158, 163	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ)
166	165	limcdif 24479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
167	166	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
168		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
169	16, 168	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
170	169	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0)
171	167, 170	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0)
172	156, 161, 171	3eltr3i 2902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0)
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0))
174		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2)
175	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
176		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
177	175, 176, 175	constcncfg 42514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
178	102, 177	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
179		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 2 ∈ ℂ)
180	174, 178, 143, 145, 179	cncfmptssg 42513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 2) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
181		sincn 25039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
183		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2))
184	183	divccncf 23511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185	102, 81, 184	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
187	163	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
188	187	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
189	183, 186, 143, 145, 188	cncfmptssg 42513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
190	182, 189	cncfmpt1f 23519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
191	180, 190	mulcncf 24050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
192	191	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
193		cnlimc 24491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦))))
194	142, 193	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦)))
195	192, 194	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦))
196	195	simpri 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦)
197		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0))
198		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0))
199	197, 198	eleq12d 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)))
200	199	rspccva 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0))
201	196, 44, 200	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
202		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = (0 / 2))
203	102, 81	div0i 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 / 2) = 0
204	202, 203	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = 0)
205	204	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘0))
206		sin0 15494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (sin‘0) = 0
207	205, 206	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = 0)
208	207	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · 0))
209		2t0e0 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 0) = 0
210	208, 209	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = 0)
211		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
212	210, 211, 159	fvmpt 6745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0)
213	44, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0
214		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 2 ∈ ℂ)
215	163	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
216	215	sincld 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
217	214, 216	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
218	211, 217	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ)
220	219	limcdif 24479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
221	220	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
222		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
223	16, 222	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
224	223	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
225	221, 224	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
226	201, 213, 225	3eltr3i 2902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0))
228		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
229		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
230	229	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
231	230	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
232	231	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
234	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
235	19	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
236	235	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
237	236	resincld 15488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
238	234, 237	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
239	228, 232, 233, 238	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
240		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
241	237	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
242	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
243		ioossicc 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
244		eldifi 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π(,)π))
245	243, 244	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
246		eldifsni 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
247		fourierdlem44 42793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
248	245, 246, 247	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
249	240, 241, 242, 248	mulne0d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
250	239, 249	eqnetrd 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ≠ 0)
251	250	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
252	251	nrex 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0
253	25	fnmpt 6460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})(2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}))
254	253, 30	mprg 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
255		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})
256		fvelimab 6712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0))
257	254, 255, 256	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
258	252, 257	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
260		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
261	229	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
262	261	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
263	235	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
264	263	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
265	264	coscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
266	260, 262, 233, 265	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = (cos‘(𝑦 / 2)))
267	236	rered 14575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
268		halfpire 25057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
269	268	renegcli 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
270	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
271	270	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
272	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
273	272	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
274		picn 25052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℂ
275		divneg 11321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
276	274, 102, 81, 275	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
277	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
278		2rp 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ+
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
280	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
281	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
282		ioogtlb 42132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑦)
283	280, 281, 244, 282	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑦)
284	277, 235, 279, 283	ltdiv1dd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑦 / 2))
285	276, 284	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑦 / 2))
286	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
287		iooltub 42147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (-π(,)π)) → 𝑦 < π)
288	280, 281, 244, 287	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 < π)
289	235, 286, 279, 288	ltdiv1dd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) < (π / 2))
290	271, 273, 236, 285, 289	eliood 42135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
291	267, 290	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
292		cosne0 25121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
293	264, 291, 292	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
294	266, 293	eqnetrd 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) ≠ 0)
295	294	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
296	295	nrex 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0
297	72, 73	fnmpti 6463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
298		fvelimab 6712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0))
299	297, 255, 298	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
300	296, 299	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
301	135	imaeq1i 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
302	301	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
303	300, 302	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
304	303	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
305		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
306		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2))))
307	19	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
308	307	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
309	308	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
310	309	coscld 15476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
311	307	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
312	311	rered 14575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) = (𝑠 / 2))
313	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
314	313	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
315	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
316	315	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
317	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
318	317	renegcld 11056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
319	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
320	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
321	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
322		eldifi 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π(,)π))
323		ioogtlb 42132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑠)
324	320, 321, 322, 323	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑠)
325	318, 307, 319, 324	ltdiv1dd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑠 / 2))
326	276, 325	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑠 / 2))
327		iooltub 42147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 < π)
328	320, 321, 322, 327	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 < π)
329	307, 317, 319, 328	ltdiv1dd 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) < (π / 2))
330	314, 316, 311, 326, 329	eliood 42135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
331	312, 330	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
332		cosne0 25121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑠 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
333	309, 331, 332	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
334	333	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0)
335	311	recoscld 15489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
336		elsng 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
337	335, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
338	334, 337	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
339	310, 338	eldifd 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
340	339	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
341	309	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) ≠ 0)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
342		cosf 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
343	342	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
344	343	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
345		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2))
346	345	divccncf 23511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
347	102, 81, 346	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
348	347	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
349	141	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
350	349	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351	345, 348, 143, 145, 350	cncfmptssg 42513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
352		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
353	352, 203	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
354	351, 45, 353	cnmptlimc 24493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0))
355		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2))
356	141	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
357	355, 356	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ
358	357	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ)
359	358	limcdif 24479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
360	359	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
361		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)))
362	16, 361	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2))
363	362	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0)
364	360, 363	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0)
365	354, 364	eleqtrdi 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0))
366		ffn 6487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
367	342, 366	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ cos Fn ℂ
368		dffn5 6699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
369	367, 368	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
370		coscn 25040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
371	369, 370	eqeltrri 2887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
373		0cnd 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
374		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = (cos‘0))
375		cos0 15495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (cos‘0) = 1
376	374, 375	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = 1)
377	372, 373, 376	cnmptlimc 24493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) limℂ 0))
378		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
379		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = (cos‘0))
380	379, 375	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
381	380	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) = 0)) → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
382	341, 344, 365, 377, 378, 381	limcco 24496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) limℂ 0))
383		ax-1ne0 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 0
384	383	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
385	305, 306, 340, 382, 384	reclimc 42295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (1 / 1) ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) limℂ 0))
386		1div1e1 11319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 1) = 1
387	66	fveq1i 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠)
388		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
389		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 1 = 1)
390		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
391		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 ∈ ℝ)
392	388, 389, 390, 391	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
393	387, 392	syl5req 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠))
394	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
395		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
396	395	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
397	396	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
398	394, 397, 390, 335	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠) = (cos‘(𝑠 / 2)))
399	398	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))
400	393, 399	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (1 / (cos‘(𝑠 / 2))) = (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
401	400	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
402	401	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) limℂ 0)
403	385, 386, 402	3eltr3g 2906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) limℂ 0))
404	20, 24, 32, 34, 45, 46, 71, 140, 173, 227, 259, 304, 403	lhop 24619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) limℂ 0))
405	404	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) limℂ 0)
406		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
407		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑠)
408	406, 407, 390, 307	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) = 𝑠)
409		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
410	407	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
411	410	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
412	411	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
413	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
414	311	resincld 15488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
415	413, 414	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
416	409, 412, 390, 415	fvmptd 6752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
417	408, 416	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
418	417	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419	418	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0)
420	405, 419	eleqtri 2888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0)
421	10	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
422	10	feq1i 6478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
423	14, 422	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ
424	423	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
425	243	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
426		iccssre 12807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
427	39, 38, 426	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
428	427	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
429	428, 12	sstrdi 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
430		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))
431	39, 35, 36	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ -π ≤ 0
432	35, 38, 37	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ π
433	39, 38	elicc2i 12791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
434	35, 431, 432, 433	mpbir3an 1338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
435	159	snss 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ {0} ⊆ (-π[,]π))
436	434, 435	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ {0} ⊆ (-π[,]π)
437		ssequn2 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({0} ⊆ (-π[,]π) ↔ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π))
438	436, 437	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π)
439	438	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
440		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
441	56, 440	rerest 23409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
442	427, 441	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
443	439, 442	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
444	443	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
445	159	snss 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) ↔ {0} ⊆ (-π(,)π))
446	44, 445	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {0} ⊆ (-π(,)π)
447		ssequn2 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({0} ⊆ (-π(,)π) ↔ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π))
448	446, 447	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π)
449	444, 448	fveq12i 6651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π))
450		resttopon 21766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)))
451	60, 427, 450	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π))
452	451	topontopi 21520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top
453		retop 23367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
454		ovex 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π[,]π) ∈ V
455	453, 454	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V)
456		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π)
457	33, 243, 456	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))
458		restopnb 21780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V) ∧ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))) → ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))))
459	455, 457, 458	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
460	33, 459	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
461		isopn3i 21687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π))
462	452, 460, 461	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π)
463		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
464	449, 462, 463	3eqtrri 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-π(,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
465	44, 464	eleqtri 2888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
466	465	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})))
467	424, 425, 429, 56, 430, 466	limcres 24489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0))
468	467	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
469	468	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0)
470		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
471	243, 470	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
472	471	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
473	421, 469, 472	3eqtri 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
474		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
475		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = 1)
476		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 0 → 1 ∈ ℂ)
477	475, 476	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
478	477	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
479		iffalse 4434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
480	479	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
481	141	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
482		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
483	481	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
484	483	sincld 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
485	482, 484	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
486	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
487	243	sseli 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
488		neqne 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
489		fourierdlem44 42793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
490	487, 488, 489	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
491	482, 484, 486, 490	mulne0d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
492	481, 485, 491	divcld 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
493	480, 492	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
494	478, 493	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
495	474, 494	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ
496	495	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ)
497	496	limcdif 24479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
498	497	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
499		resmpt 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
500	16, 499	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
501		eldifn 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
502		velsn 4541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
503	501, 502	sylnib 331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
504	503, 479	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
505	504	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
506	500, 505	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
507	506	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0)
508	473, 498, 507	3eqtrri 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0) = (𝐾 limℂ 0)
509	420, 508	eleqtri 2888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (𝐾 limℂ 0)
510	509	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → 1 ∈ (𝐾 limℂ 0))
511		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾‘𝑠) = (𝐾‘0))
512	475, 10, 47	fvmpt 6745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) → (𝐾‘0) = 1)
513	434, 512	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾‘0) = 1
514	511, 513	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾‘𝑠) = 1)
515		oveq2 7143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾 limℂ 𝑠) = (𝐾 limℂ 0))
516	510, 514, 515	3eltr4d 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾‘𝑠) ∈ (𝐾 limℂ 𝑠))
517	427, 12	sstri 3924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℂ
518	517	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
519	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → π ∈ ℝ)
520	519	renegcld 11056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → -π ∈ ℝ)
521		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 = 0)
522	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 ∈ ℝ)
523	521, 522	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ ℝ)
524	431, 521	breqtrrid 5068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → -π ≤ 𝑠)
525	521, 432	eqbrtrdi 5069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 ≤ π)
526	520, 519, 523, 524, 525	eliccd 42141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
527	57	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π))
528	56	cnfldtop 23389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
529		reex 10617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
530		restabs 21770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)))
531	528, 427, 529, 530	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
532	527, 531	eqtri 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
533	56, 532	cnplimc 24490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾‘𝑠) ∈ (𝐾 limℂ 𝑠))))
534	518, 526, 533	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾‘𝑠) ∈ (𝐾 limℂ 𝑠))))
535	15, 516, 534	mpbir2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
536	535	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
537		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
538	502	notbii 323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑠 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑠 = 0)
539	538	biimpri 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → ¬ 𝑠 ∈ {0})
540	539	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
541	537, 540	eldifd 3892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
542		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
543	542	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
544	429	ssdifssd 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ)
545	544, 145	idcncfg 42515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 𝑠) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
546		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
547		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
548		eldifi 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
549	517, 548	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
550	549	halfcld 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
551	550	sincld 15475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
552	547, 551	mulcld 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
553	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
554		eldifsni 4683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
555	548, 554, 489	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
556	547, 551, 553, 555	mulne0d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
557	556	neneqd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
558		elsng 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
559	552, 558	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
560	557, 559	mtbird 328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
561	552, 560	eldifd 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
562	546, 561	fmpti 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})
563		difss 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
564		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2)
565	175, 176, 175	constcncfg 42514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
566	102, 565	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
567		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → 2 ∈ ℂ)
568	564, 566, 544, 145, 567	cncfmptssg 42513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 2) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
569	549, 547, 553	divrecd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) = (𝑠 · (1 / 2)))
570	569	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2)))
571		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2))
572	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
573		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
574	572, 573, 572	constcncfg 42514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
575	94, 574	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
576	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
577	571, 575, 544, 145, 576	cncfmptssg 42513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (1 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
578	545, 577	mulcncf 24050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
579	570, 578	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
580	182, 579	cncfmpt1f 23519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
581	568, 580	mulcncf 24050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
582	581	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
583		cncffvrn 23503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})))
584	563, 582, 583	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0}))
585	562, 584	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0}))
586	585	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})))
587	545, 586	divcncf 24051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
588	587	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
589	428	ssdifssd 4070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
590	589	mptru 1545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
591	590, 12	sstri 3924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ
592	57	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
593		restabs 21770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
594	528, 590, 529, 593	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
595	592, 594	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
596		unicntop 23391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
597	596	restid 16699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
598	528, 597	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
599	598	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
600	56, 595, 599	cncfcn 23515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
601	591, 144, 600	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
602	588, 601	eleqtri 2888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
603		resttopon 21766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})))
604	60, 590, 603	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0}))
605	56	cnfldtopon 23388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
606		cncnp 21885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
607	604, 605, 606	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
608	602, 607	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
609	608	simpri 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)
610	543, 609	vtoclri 3533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
611	541, 610	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
612	10	reseq1i 5814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0}))
613		difss 4059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
614		resmpt 5872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615	613, 614	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
616		eldifn 4055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
617	616, 502	sylnib 331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
618	617, 479	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
619	618	mpteq2ia 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620	612, 615, 619	3eqtri 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
621		restabs 21770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π[,]π) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
622	453, 613, 454, 621	mp3an 1458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
623	622	oveq1i 7145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))
624	623	fveq1i 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
625	611, 620, 624	3eltr4g 2907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
626	452, 613	pm3.2i 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π))
627	626	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)))
628		ssdif 4067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
629	427, 628	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0})
630	629, 541	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}))
631		sscon 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({0} ⊆ (-π[,]π) → (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
632	436, 631	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0})
633	629, 632	unssi 4112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) ⊆ (ℝ ∖ {0})
634		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
635		eldifn 4055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
636	635	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
637	634, 636	eldifd 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
638		elun1 4103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
639	637, 638	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
640		eldifi 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
641	640	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
642		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π))
643	641, 642	eldifd 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
644		elun2 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
645	643, 644	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
646	639, 645	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
647	646	ssriv 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
648	633, 647	eqssi 3931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) = (ℝ ∖ {0})
649	648	fveq2i 6648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0}))
650	61	cldopn 21636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
651	59, 650	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
652		isopn3i 21687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0}))
653	453, 651, 652	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0})
654	649, 653	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = (ℝ ∖ {0})
655	630, 654	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))))
656	655, 537	elind 4121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
657		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
658	61, 657	restntr 21787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
659	453, 427, 613, 658	mp3an 1458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π))
660	656, 659	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})))
661	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
662	451	toponunii 21521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π[,]π) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
663	662, 596	cnprest 21894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) ∧ (𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
664	627, 660, 661, 663	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
665	625, 664	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
666	536, 665	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
667	666	rgen 3116	. . . . 5 ⊢ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
668		cncnp 21885	. . . . . 6 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
669	451, 605, 668	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
670	14, 667, 669	mpbir2an 710	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
671	56, 532, 599	cncfcn 23515	. . . . . 6 ⊢ (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
672	517, 144, 671	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
673	672	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((-π[,]π)–cn→ℂ)
674	670, 673	eleqtri 2888	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
675		cncffvrn 23503	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ))
676	12, 674, 675	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
677	11, 676	mpbir 234	1 ⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  ℜcre 14448  sincsin 15409  cosccos 15410  πcpi 15412   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂ_fldccnfld 20091  Topctop 21498  TopOnctopon 21515  Clsdccld 21621  intcnt 21622   Cn ccn 21829   CnP ccnp 21830  –cn→ccncf 23481   lim_ℂ climc 24465   D cdv 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-t1 21919  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  fourierdlem77  42825  fourierdlem78  42826  fourierdlem85  42833  fourierdlem88  42836