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Theorem fourierdlem62 46183
Description: The function 𝐾 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fourierdlem62.k 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem62 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Proof of Theorem fourierdlem62
Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem62.k . . . 4 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
2 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
3 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑠𝑦 = 𝑠)
4 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
54fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
65oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
73, 6oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
82, 7ifbieq2d 4552 . . . . 5 (𝑦 = 𝑠 → if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98cbvmptv 5255 . . . 4 (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
101, 9eqtri 2765 . . 3 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1110fourierdlem43 46165 . 2 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
12 ax-resscn 11212 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
13 fss 6752 . . . . . 6 ((𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
1411, 12, 13mp2an 692 . . . . 5 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
16 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π)
17 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
1817ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π(,)π) ⊆ ℝ
1916, 18sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
2219sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
2321, 22fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
26 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
2822rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
2928resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
3027, 29remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
3125, 30fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
33 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
35 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
36 negpilt0 45292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -π < 0
37 pipos 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < π
38 pire 26500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
3938renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -π ∈ ℝ
4039rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -π ∈ ℝ*
4138rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π ∈ ℝ*
42 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π)))
4340, 41, 42mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π))
4435, 36, 37, 43mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ (-π(,)π)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ (-π(,)π))
46 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π(,)π) ∖ {0}) = ((-π(,)π) ∖ {0})
47 1ex 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ V
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
4947, 48dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = ((-π(,)π) ∖ {0})
50 reelprrecn 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
5212sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
54 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5551dvmptid 25995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
56 tgioo4 24826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
58 sncldre 45049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
5935, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
60 retopon 24784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
6160toponunii 22922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ = (topGen‘ran (,))
6261difopn 23042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6333, 59, 62mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
6551, 53, 54, 55, 20, 56, 57, 64dvmptres 26001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
6665mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
6766eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
6867dmeqi 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
6949, 68eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
7069eqimssi 4044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)))
72 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ V
73 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
7472, 73dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = ((-π(,)π) ∖ {0})
75 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
7653halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
7776sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
7875, 77mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
7976coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
80 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
81 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 ≠ 0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
8352, 80, 82divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) = ((1 / 2) · 𝑥))
8483fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))
8584oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
8685mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
8786oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
88 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
8912, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
9089eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
9190oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ))
92 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
93 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
94 halfcn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 / 2) ∈ ℂ
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9795, 96mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑥) ∈ ℂ)
9897sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
9993, 98mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
10092, 99fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ
101 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
102 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ∈ ℂ
103102, 94mulcli 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
10597coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
106104, 105mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
108101, 107dmmptd 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (⊤ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ)
109108mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ
11012, 109sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ⊆ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
111 dvasinbx 45935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
112102, 94, 111mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
113112dmeqi 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
114110, 113sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
115 dvcnre 45931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))) → (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ))
116100, 114, 115mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ)
117112reseq1i 5993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
118 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
11912, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
120102, 81recidi 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · (1 / 2)) = 1
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (1 / 2)) = 1)
12283eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑥) = (𝑥 / 2))
123122fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) = (cos‘(𝑥 / 2)))
124121, 123oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑥 / 2))))
12552halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
126125coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
127126mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · (cos‘(𝑥 / 2))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
128124, 127eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
129128mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
130117, 119, 1293eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
13191, 116, 1303eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
13287, 131eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
13451, 78, 79, 133, 20, 56, 57, 64dvmptres 26001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
135134mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
136135eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
137136dmeqi 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
13874, 137eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
139138eqimssi 4044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))))
14117recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℂ)
142141ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ ℂ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (-π(,)π) ⊆ ℂ)
144 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℂ ⊆ ℂ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
146143, 145idcncfg 45888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
147146mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
148 cnlimc 25923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦))))
149142, 148ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦)))
150147, 149mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦))
151150simpri 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦)
152 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0))
153 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0))
154152, 153eleq12d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0)))
155154rspccva 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0))
156151, 44, 155mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0)
157 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
158 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)
159 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ V
160157, 158, 159fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0)
16144, 160ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0
162 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
163162recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
164158, 163fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ)
166165limcdif 25911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
167166mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
168 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
16916, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
170169oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
171167, 170eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
172156, 161, 1713eltr3i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0)
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) lim 0))
174 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2)
175144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
176 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
177175, 176, 175constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
178102, 177mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
179 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 2 ∈ ℂ)
180174, 178, 143, 145, 179cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 2) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
181 sincn 26488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
183 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2))
184183divccncf 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185102, 81, 184mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
187163adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
188187halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
189183, 186, 143, 145, 188cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
190182, 189cncfmpt1f 24940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
191180, 190mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
192191mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
193 cnlimc 25923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦))))
194142, 193ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦)))
195192, 194mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦))
196195simpri 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦)
197 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0))
198 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
199197, 198eleq12d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)))
200199rspccva 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
201196, 44, 200mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
202 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = (0 / 2))
203102, 81div0i 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 / 2) = 0
204202, 203eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = 0)
205204fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘0))
206 sin0 16185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (sin‘0) = 0
207205, 206eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = 0)
208207oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · 0))
209 2t0e0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 0) = 0
210208, 209eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = 0)
211 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
212210, 211, 159fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0)
21344, 212ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0
214 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 2 ∈ ℂ)
215163halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
216215sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
217214, 216mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
218211, 217fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ)
220219limcdif 25911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
221220mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
222 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
22316, 222ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
224223oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
225221, 224eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
226201, 213, 2253eltr3i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0)
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) lim 0))
228 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
229 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
230229fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
231230oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
232231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
233 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
23426a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
23519sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
236235rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
237236resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
238234, 237remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
239228, 232, 233, 238fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
240 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
241237recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
24281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
243 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
244 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π(,)π))
245243, 244sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
246 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
247 fourierdlem44 46166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
248245, 246, 247syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
249240, 241, 242, 248mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
250239, 249eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ≠ 0)
251250neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
252251nrex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0
25325fnmpt 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})(2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}))
254253, 30mprg 3067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
255 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})
256 fvelimab 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0))
257254, 255, 256mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
258252, 257mtbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
260 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
261229fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
262261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
263235recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
264263halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
265264coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
266260, 262, 233, 265fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = (cos‘(𝑦 / 2)))
267236rered 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
268 halfpire 26506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π / 2) ∈ ℝ
269268renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -(π / 2) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
271270rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
272268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
273272rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
274 picn 26501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π ∈ ℂ
275 divneg 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
276274, 102, 81, 275mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -(π / 2) = (-π / 2)
27739a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
278 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
279278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
28040a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
28141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
282 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑦)
283280, 281, 244, 282syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑦)
284277, 235, 279, 283ltdiv1dd 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑦 / 2))
285276, 284eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑦 / 2))
28638a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
287 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑦 ∈ (-π(,)π)) → 𝑦 < π)
288280, 281, 244, 287syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 < π)
289235, 286, 279, 288ltdiv1dd 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) < (π / 2))
290271, 273, 236, 285, 289eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
291267, 290eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
292 cosne0 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
293264, 291, 292syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
294266, 293eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) ≠ 0)
295294neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
296295nrex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0
29772, 73fnmpti 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
298 fvelimab 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0))
299297, 255, 298mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
300296, 299mtbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
301135imaeq1i 6075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
302301eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
303300, 302mtbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
304303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
305 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
306 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2))))
30719sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
308307recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
309308halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
310309coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
311307rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
312311rered 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) = (𝑠 / 2))
313269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
314313rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
315268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
316315rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
31738a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
318317renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
319278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
32040a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
32141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
322 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π(,)π))
323 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑠)
324320, 321, 322, 323syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑠)
325318, 307, 319, 324ltdiv1dd 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑠 / 2))
326276, 325eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑠 / 2))
327 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 < π)
328320, 321, 322, 327syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 < π)
329307, 317, 319, 328ltdiv1dd 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) < (π / 2))
330314, 316, 311, 326, 329eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
331312, 330eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
332 cosne0 26571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑠 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
333309, 331, 332syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
334333neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0)
335311recoscld 16180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
336 elsng 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
337335, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
338334, 337mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
339310, 338eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
340339adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
341309ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) ≠ 0)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
342 cosf 16161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 cos:ℂ⟶ℂ
343342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
344343ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
345 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2))
346345divccncf 24932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
347102, 81, 346mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
348347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
349141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
350349halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351345, 348, 143, 145, 350cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
352 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
353352, 203eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
354351, 45, 353cnmptlimc 25925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0))
355 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2))
356141halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
357355, 356fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ
358357a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ)
359358limcdif 25911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
360359mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
361 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)))
36216, 361ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2))
363362oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0)
364360, 363eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0)
365354, 364eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) lim 0))
366 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
367342, 366ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 cos Fn ℂ
368 dffn5 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
369367, 368mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
370 coscn 26489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
371369, 370eqeltrri 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
373 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
374 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = (cos‘0))
375 cos0 16186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (cos‘0) = 1
376374, 375eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = 1)
377372, 373, 376cnmptlimc 25925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) lim 0))
378 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
379 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = (cos‘0))
380379, 375eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
381380ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) = 0)) → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
382341, 344, 365, 377, 378, 381limcco 25928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) lim 0))
383 ax-1ne0 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≠ 0
384383a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ≠ 0)
385305, 306, 340, 382, 384reclimc 45668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (1 / 1) ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) lim 0))
386 1div1e1 11958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 1) = 1
38766fveq1i 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠)
388 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
389 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 1 = 1)
390 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
391 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 ∈ ℝ)
392388, 389, 390, 391fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
393387, 392eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠))
394135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
395 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
396395fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑠 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
397396adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
398394, 397, 390, 335fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠) = (cos‘(𝑠 / 2)))
399398eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))
400393, 399oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (1 / (cos‘(𝑠 / 2))) = (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
401400mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
402401oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) lim 0)
403385, 386, 4023eltr3g 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) lim 0))
40420, 24, 32, 34, 45, 46, 71, 140, 173, 227, 259, 304, 403lhop 26055 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0))
405404mptru 1547 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0)
406 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
407 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑠)
408406, 407, 390, 307fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) = 𝑠)
409 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
410407oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
411410fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
412411oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
41326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
414311resincld 16179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
415413, 414remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
416409, 412, 390, 415fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
417408, 416oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
418417mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419418oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
420405, 419eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
42110oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
42210feq1i 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
42314, 422mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ
424423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
425243a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
426 iccssre 13469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
42739, 38, 426mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π[,]π) ⊆ ℝ
428427a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
429428, 12sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
430 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))
43139, 35, 36ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 -π ≤ 0
43235, 38, 37ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ π
43339, 38elicc2i 13453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
43435, 431, 432, 433mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ (-π[,]π)
435159snss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ (-π[,]π) ↔ {0} ⊆ (-π[,]π))
436434, 435mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 {0} ⊆ (-π[,]π)
437 ssequn2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({0} ⊆ (-π[,]π) ↔ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π))
438436, 437mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π)
439438oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
440 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
44157, 440rerest 24825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
442427, 441ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
443439, 442eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
444443fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
445159snss 4785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 ∈ (-π(,)π) ↔ {0} ⊆ (-π(,)π))
44644, 445mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {0} ⊆ (-π(,)π)
447 ssequn2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({0} ⊆ (-π(,)π) ↔ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π))
448446, 447mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π)
449444, 448fveq12i 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π))
450 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)))
45160, 427, 450mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π))
452451topontopi 22921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top
453 retop 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
454 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,]π) ∈ V
455453, 454pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V)
456 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π)
45733, 243, 4563pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))
458 restopnb 23183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V) ∧ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))) → ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))))
459455, 457, 458mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
46033, 459mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
461 isopn3i 23090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π))
462452, 460, 461mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π)
463 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-π(,)π) = (-π(,)π)
464449, 462, 4633eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-π(,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
46544, 464eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
466465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})))
467424, 425, 429, 57, 430, 466limcres 25921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0))
468467mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
469468eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0)
470 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
471243, 470ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
472471oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
473421, 469, 4723eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 lim 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0)
474 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
475 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = 1)
476 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = 0 → 1 ∈ ℂ)
477475, 476eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
478477adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
479 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
480479adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
481141adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
482 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
483481halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
484483sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
485482, 484mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
48681a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
487243sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
488 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
489 fourierdlem44 46166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
490487, 488, 489syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
491482, 484, 486, 490mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
492481, 485, 491divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
493480, 492eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
494478, 493pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
495474, 494fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ)
497496limcdif 25911 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0))
498497mptru 1547 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) lim 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0)
499 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
50016, 499ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
501 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
502 velsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
503501, 502sylnib 328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
504503, 479syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
505504mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
506500, 505eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
507506oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0)
508473, 498, 5073eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) lim 0) = (𝐾 lim 0)
509420, 508eleqtri 2839 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (𝐾 lim 0)
510509a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → 1 ∈ (𝐾 lim 0))
511 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) = (𝐾‘0))
512475, 10, 47fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (-π[,]π) → (𝐾‘0) = 1)
513434, 512ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐾‘0) = 1
514511, 513eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) = 1)
515 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (𝐾 lim 𝑠) = (𝐾 lim 0))
516510, 514, 5153eltr4d 2856 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))
517427, 12sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ⊆ ℂ
518517a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
51938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → π ∈ ℝ)
520519renegcld 11690 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → -π ∈ ℝ)
521 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → 𝑠 = 0)
52235a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 → 0 ∈ ℝ)
523521, 522eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ ℝ)
524431, 521breqtrrid 5181 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → -π ≤ 𝑠)
525521, 432eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 𝑠 ≤ π)
526520, 519, 523, 524, 525eliccd 45517 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
52756oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π))
52857cnfldtop 24804 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
529 reex 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
530 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)))
531528, 427, 529, 530mp3an 1463 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
532527, 531eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
53357, 532cnplimc 25922 . . . . . . . . . 10 (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))))
534518, 526, 533syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾𝑠) ∈ (𝐾 lim 𝑠))))
53515, 516, 534mpbir2and 713 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
536535adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
537 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
538502notbii 320 . . . . . . . . . . . . 13 𝑠 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑠 = 0)
539538biimpri 228 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 = 0 → ¬ 𝑠 ∈ {0})
540539adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
541537, 540eldifd 3962 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
542 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
543542eleq2d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
544429ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ)
545544, 145idcncfg 45888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 𝑠) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
546 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
547 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
548 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
549517, 548sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
550549halfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
551550sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
552547, 551mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
55381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
554 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
555548, 554, 489syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
556547, 551, 553, 555mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
557556neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
558 elsng 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
559552, 558syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
560557, 559mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
561552, 560eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
562546, 561fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})
563 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
564 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2)
565175, 176, 175constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
566102, 565mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
567 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → 2 ∈ ℂ)
568564, 566, 544, 145, 567cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 2) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
569549, 547, 553divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) = (𝑠 · (1 / 2)))
570569mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2)))
571 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2))
572144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
573 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
574572, 573, 572constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57594, 574mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
57694a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
577571, 575, 544, 145, 576cncfmptssg 45886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (1 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
578545, 577mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
579570, 578eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
580182, 579cncfmpt1f 24940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
581568, 580mulcncf 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
582581mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
583 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})))
584563, 582, 583mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0}))
585562, 584mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0}))
586585a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})))
587545, 586divcncf 25482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
588587mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
589428ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
590589mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
591590, 12sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ
59256oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
593 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
594528, 590, 529, 593mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
595592, 594eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
596 unicntop 24806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
597596restid 17478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
598528, 597ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
599598eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
60057, 595, 599cncfcn 24936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
601591, 144, 600mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
602588, 601eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
603 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})))
60460, 590, 603mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0}))
60557cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
606 cncnp 23288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
607604, 605, 606mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
608602, 607mpbi 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
609608simpri 485 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)
610543, 609vtoclri 3590 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
611541, 610syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
61210reseq1i 5993 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0}))
613 difss 4136 . . . . . . . . . . 11 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
614 resmpt 6055 . . . . . . . . . . 11 (((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615613, 614ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
616 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
617616, 502sylnib 328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
618617, 479syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
619618mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620612, 615, 6193eqtri 2769 . . . . . . . . 9 (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
621 restabs 23173 . . . . . . . . . . . 12 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π[,]π) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
622453, 613, 454, 621mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
623622oveq1i 7441 . . . . . . . . . 10 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))
624623fveq1i 6907 . . . . . . . . 9 (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
625611, 620, 6243eltr4g 2858 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
626452, 613pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π))
627626a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)))
628 ssdif 4144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
629427, 628ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0})
630629, 541sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}))
631 sscon 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({0} ⊆ (-π[,]π) → (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
632436, 631ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0})
633629, 632unssi 4191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) ⊆ (ℝ ∖ {0})
634 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
635 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
636635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
637634, 636eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
638 elun1 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
639637, 638syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
640 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
641640adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
642 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π))
643641, 642eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
644 elun2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
645643, 644syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
646639, 645pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
647646ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ∖ {0}) ⊆ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
648633, 647eqssi 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) = (ℝ ∖ {0})
649648fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0}))
65061cldopn 23039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
65159, 650ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
652 isopn3i 23090 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0}))
653453, 651, 652mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0})
654649, 653eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = (ℝ ∖ {0})
655630, 654eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))))
656655, 537elind 4200 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
657 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
65861, 657restntr 23190 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
659453, 427, 613, 658mp3an 1463 . . . . . . . . . 10 ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π))
660656, 659eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})))
66114a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
662451toponunii 22922 . . . . . . . . . 10 (-π[,]π) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
663662, 596cnprest 23297 . . . . . . . . 9 (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) ∧ (𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
664627, 660, 661, 663syl12anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
665625, 664mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
666536, 665pm2.61dan 813 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
667666rgen 3063 . . . . 5 𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
668 cncnp 23288 . . . . . 6 ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
669451, 605, 668mp2an 692 . . . . 5 (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
67014, 667, 669mpbir2an 711 . . . 4 𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
67157, 532, 599cncfcn 24936 . . . . . 6 (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
672517, 144, 671mp2an 692 . . . . 5 ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
673672eqcomi 2746 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((-π[,]π)–cn→ℂ)
674670, 673eleqtri 2839 . . 3 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
675 cncfcdm 24924 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ))
67612, 674, 675mp2an 692 . 2 (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
67711, 676mpbir 231 1 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cre 15136  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  Clsdccld 23024  intcnt 23025   Cn ccn 23232   CnP ccnp 23233  cnccncf 24902   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  fourierdlem77  46198  fourierdlem78  46199  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209
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