Theorem fourierdlem62 41995

Description: The function 𝐾 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fourierdlem62.k	⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem62	⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Proof of Theorem fourierdlem62

Dummy variables 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem62.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))))
2		eqeq1 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑠 = 0))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → 𝑦 = 𝑠)
4		oveq1 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / 2) = (𝑠 / 2))
5	4	fveq2d 6542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (sin‘(𝑦 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
6	5	oveq2d 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
7	3, 6	oveq12d 7034	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8	2, 7	ifbieq2d 4406	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
9	8	cbvmptv 5061	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑦 = 0, 1, (𝑦 / (2 · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
10	1, 9	eqtri 2819	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
11	10	fourierdlem43 41977	. 2 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
12		ax-resscn 10440	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13		fss 6395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
16		difss 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π)
17		elioore 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
18	17	ssriv 3893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
19	16, 18	sstri 3898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
21		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
22	19	sseli 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ℝ)
23	21, 22	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
25		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
26		2re 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
28	22	rehalfcld 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
29	28	resincld 15329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
30	27, 29	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
31	25, 30	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):((-π(,)π) ∖ {0})⟶ℝ)
33		iooretop 23057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
35		0re 10489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		negpilt0 41087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -π < 0
37		pipos 24729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < π
38		pire 24727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ π ∈ ℝ
39	38	renegcli 10795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -π ∈ ℝ
40	39	rexri 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -π ∈ ℝ*
41	38	rexri 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π ∈ ℝ*
42		elioo2 12629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π)))
43	40, 41, 42	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < π))
44	35, 36, 37, 43	mpbir3an 1334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ (-π(,)π)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (-π(,)π))
46		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) = ((-π(,)π) ∖ {0})
47		1ex 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
48		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
49	47, 48	dmmpti 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = ((-π(,)π) ∖ {0})
50		reelprrecn 10475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
52	12	sseli 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
54		1red 10488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
55	51	dvmptid 24237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
56		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
57	56	tgioo2 23094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
58		sncldre 40843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
59	35, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
60		retopon 23055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
61	60	toponunii 21208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
62	61	difopn 21326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))) → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
63	33, 59, 62	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
65	51, 53, 54, 55, 20, 57, 56, 64	dvmptres 24243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
66	65	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)
67	66	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
68	67	dmeqi 5659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
69	49, 68	eqtr3i 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
70	69	eqimssi 3946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)))
72		fvex 6551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ V
73		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
74	72, 73	dmmpti 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = ((-π(,)π) ∖ {0})
75		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
76	53	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
77	76	sincld 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
78	75, 77	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
79	76	coscld 15317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
80		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
81		2ne0 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 2 ≠ 0
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
83	52, 80, 82	divrec2d 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) = ((1 / 2) · 𝑥))
84	83	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))
85	84	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
86	85	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
87	86	oveq2i 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
88		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
89	12, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
90	89	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
91	90	oveq2i 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ))
92		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))
93		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
94		halfcn 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
96		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
97	95, 96	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑥) ∈ ℂ)
98	97	sincld 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
99	93, 98	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
100	92, 99	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ
101		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
102		2cn 11560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 2 ∈ ℂ
103	102, 94	mulcli 10494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (1 / 2)) ∈ ℂ)
105	97	coscld 15317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) ∈ ℂ)
106	104, 105	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
107	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) ∈ ℂ)
108	101, 107	dmmptd 6361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⊤ → dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ)
109	108	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = ℂ
110	12, 109	sseqtr4i 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℝ ⊆ dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
111		dvasinbx 41746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
112	102, 94, 111	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
113	112	dmeqi 5659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
114	110, 113	sseqtr4i 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))
115		dvcnre 41741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))))) → (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ))
116	100, 114, 115	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (ℝ D ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ)
117	112	reseq1i 5730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ)
118		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))))
119	12, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))))
120	102, 81	recidi 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 · (1 / 2)) = 1
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · (1 / 2)) = 1)
122	83	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((1 / 2) · 𝑥) = (𝑥 / 2))
123	122	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘((1 / 2) · 𝑥)) = (cos‘(𝑥 / 2)))
124	121, 123	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (1 · (cos‘(𝑥 / 2))))
125	52	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
126	125	coscld 15317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
127	126	mulid2d 10505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 · (cos‘(𝑥 / 2))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
128	124, 127	eqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥))) = (cos‘(𝑥 / 2)))
129	128	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((2 · (1 / 2)) · (cos‘((1 / 2) · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
130	117, 119, 129	3eqtri 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) ↾ ℝ) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
131	91, 116, 130	3eqtri 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘((1 / 2) · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
132	87, 131	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
134	51, 78, 79, 133, 20, 57, 56, 64	dvmptres 24243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
135	134	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))
136	135	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
137	136	dmeqi 5659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
138	74, 137	eqtr3i 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) = dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
139	138	eqimssi 3946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ dom (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))))
141	17	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℂ)
142	141	ssriv 3893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℂ
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (-π(,)π) ⊆ ℂ)
144		ssid 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
146	143, 145	idcncfg 41696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
147	146	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
148		cnlimc 24169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦))))
149	142, 148	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦)))
150	147, 149	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦))
151	150	simpri 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦)
152		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0))
153		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0))
154	152, 153	eleq12d 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0)))
155	154	rspccva 3558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0))
156	151, 44, 155	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0)
157		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
158		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)
159		c0ex 10481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ V
160	157, 158, 159	fvmpt 6635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0)
161	44, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥)‘0) = 0
162		elioore 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
163	162	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
164	158, 163	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥):(-π(,)π)⟶ℂ)
166	165	limcdif 24157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
167	166	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
168		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
169	16, 168	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)
170	169	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0)
171	167, 170	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 𝑥) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0)
172	156, 161, 171	3eltr3i 2895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0)
173	172	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) limℂ 0))
174		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2)
175	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
176		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
177	175, 176, 175	constcncfg 41695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
178	102, 177	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
179		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 2 ∈ ℂ)
180	174, 178, 143, 145, 179	cncfmptssg 41694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ 2) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
181		sincn 24715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
182	181	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
183		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2))
184	183	divccncf 23197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
185	102, 81, 184	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
187	163	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
188	187	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
189	183, 186, 143, 145, 188	cncfmptssg 41694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑥 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
190	182, 189	cncfmpt1f 23204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
191	180, 190	mulcncf 23730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
192	191	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ)
193		cnlimc 24169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦))))
194	142, 193	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦)))
195	192, 194	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦))
196	195	simpri 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦)
197		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0))
198		oveq2 7024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦) = ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0))
199	197, 198	eleq12d 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)))
200	199	rspccva 3558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (-π(,)π)((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 𝑦) ∧ 0 ∈ (-π(,)π)) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0))
201	196, 44, 200	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
202		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = (0 / 2))
203	102, 81	div0i 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 / 2) = 0
204	202, 203	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 / 2) = 0)
205	204	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘0))
206		sin0 15335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (sin‘0) = 0
207	205, 206	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 0 → (sin‘(𝑥 / 2)) = 0)
208	207	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · 0))
209		2t0e0 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 0) = 0
210	208, 209	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = 0)
211		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
212	210, 211, 159	fvmpt 6635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0)
213	44, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘0) = 0
214		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 2 ∈ ℂ)
215	163	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
216	215	sincld 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
217	214, 216	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
218	211, 217	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))):(-π(,)π)⟶ℂ)
220	219	limcdif 24157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
221	220	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0) = (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
222		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
223	16, 222	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))
224	223	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
225	221, 224	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
226	201, 213, 225	3eltr3i 2895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0)
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) limℂ 0))
228		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
229		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 / 2) = (𝑦 / 2))
230	229	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
231	230	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
232	231	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
234	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
235	19	sseli 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
236	235	rehalfcld 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
237	236	resincld 15329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
238	234, 237	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
239	228, 232, 233, 238	fvmptd 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = (2 · (sin‘(𝑦 / 2))))
240		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
241	237	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
242	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
243		ioossicc 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
244		eldifi 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π(,)π))
245	243, 244	sseldi 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ (-π[,]π))
246		eldifsni 4629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
247		fourierdlem44 41978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
248	245, 246, 247	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
249	240, 241, 242, 248	mulne0d 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
250	239, 249	eqnetrd 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) ≠ 0)
251	250	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
252	251	nrex 3232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0
253	25	fnmpt 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})(2 · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}))
254	253, 30	mprg 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
255		ssid 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})
256		fvelimab 6605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0))
257	254, 255, 256	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑦) = 0)
258	252, 257	mtbir 324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
260		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
261	229	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
262	261	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
263	235	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
264	263	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
265	264	coscld 15317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
266	260, 262, 233, 265	fvmptd 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = (cos‘(𝑦 / 2)))
267	236	rered 14417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
268		halfpire 24733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
269	268	renegcli 10795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
270	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
271	270	rexrd 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
272	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
273	272	rexrd 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
274		picn 24728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℂ
275		divneg 11180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
276	274, 102, 81, 275	mp3an 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
277	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
278		2rp 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ+
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
280	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
281	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
282		ioogtlb 41312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑦)
283	280, 281, 244, 282	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑦)
284	277, 235, 279, 283	ltdiv1dd 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑦 / 2))
285	276, 284	eqbrtrid 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑦 / 2))
286	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
287		iooltub 41328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (-π(,)π)) → 𝑦 < π)
288	280, 281, 244, 287	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑦 < π)
289	235, 286, 279, 288	ltdiv1dd 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) < (π / 2))
290	271, 273, 236, 285, 289	eliood 41315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑦 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
291	267, 290	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
292		cosne0 24795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑦 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
293	264, 291, 292	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
294	266, 293	eqnetrd 3051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) ≠ 0)
295	294	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
296	295	nrex 3232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0
297	72, 73	fnmpti 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0})
298		fvelimab 6605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) Fn ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ ((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0))
299	297, 255, 298	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ ∃𝑦 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2)))‘𝑦) = 0)
300	296, 299	mtbir 324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
301	135	imaeq1i 5803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
302	301	eleq2i 2874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})) ↔ 0 ∈ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
303	300, 302	mtbir 324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0}))
304	303	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → ¬ 0 ∈ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) “ ((-π(,)π) ∖ {0})))
305		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
306		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2))))
307	19	sseli 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
308	307	recnd 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
309	308	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
310	309	coscld 15317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
311	307	rehalfcld 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
312	311	rered 14417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) = (𝑠 / 2))
313	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ)
314	313	rexrd 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
315	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ)
316	315	rexrd 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (π / 2) ∈ ℝ*)
317	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
318	317	renegcld 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ)
319	278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ+)
320	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
321	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
322		eldifi 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π(,)π))
323		ioogtlb 41312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑠)
324	320, 321, 322, 323	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -π < 𝑠)
325	318, 307, 319, 324	ltdiv1dd 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (-π / 2) < (𝑠 / 2))
326	276, 325	eqbrtrid 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → -(π / 2) < (𝑠 / 2))
327		iooltub 41328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 < π)
328	320, 321, 322, 327	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 < π)
329	307, 317, 319, 328	ltdiv1dd 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) < (π / 2))
330	314, 316, 311, 326, 329	eliood 41315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
331	312, 330	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
332		cosne0 24795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑠 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑠 / 2)) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
333	309, 331, 332	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
334	333	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0)
335	311	recoscld 15330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
336		elsng 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
337	335, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} ↔ (cos‘(𝑠 / 2)) = 0))
338	334, 337	mtbird 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
339	310, 338	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
340	339	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0})) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
341	309	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) ≠ 0)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
342		cosf 15311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
343	342	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → cos:ℂ⟶ℂ)
344	343	ffvelrnda 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
345		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2))
346	345	divccncf 23197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
347	102, 81, 346	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
348	347	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
349	141	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℂ)
350	349	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
351	345, 348, 143, 145, 350	cncfmptssg 41694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((-π(,)π)–cn→ℂ))
352		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = (0 / 2))
353	352, 203	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 / 2) = 0)
354	351, 45, 353	cnmptlimc 24171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0))
355		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2))
356	141	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
357	355, 356	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ
358	357	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)):(-π(,)π)⟶ℂ)
359	358	limcdif 24157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
360	359	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
361		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)))
362	16, 361	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2))
363	362	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0)
364	360, 363	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0)
365	354, 364	syl6eleq 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) limℂ 0))
366		ffn 6382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
367	342, 366	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ cos Fn ℂ
368		dffn5 6592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
369	367, 368	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
370		coscn 24716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
371	369, 370	eqeltrri 2880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
372	371	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
373		0cnd 10480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
374		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = (cos‘0))
375		cos0 15336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (cos‘0) = 1
376	374, 375	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (cos‘𝑥) = 1)
377	372, 373, 376	cnmptlimc 24171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)) limℂ 0))
378		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
379		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = (cos‘0))
380	379, 375	syl6eq 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 / 2) = 0 → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
381	380	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ (𝑠 / 2) = 0)) → (cos‘(𝑠 / 2)) = 1)
382	341, 344, 365, 377, 378, 381	limcco 24174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))) limℂ 0))
383		ax-1ne0 10452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≠ 0
384	383	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 1 ≠ 0)
385	305, 306, 340, 382, 384	reclimc 41476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (1 / 1) ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) limℂ 0))
386		1div1e1 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 1) = 1
387	66	fveq1i 6539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) = ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠)
388		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1))
389		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 1 = 1)
390		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}))
391		1red 10488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 ∈ ℝ)
392	388, 389, 390, 391	fvmptd 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
393	387, 392	syl5req 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 1 = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠))
394	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (cos‘(𝑥 / 2))))
395		oveq1 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
396	395	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
397	396	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (cos‘(𝑥 / 2)) = (cos‘(𝑠 / 2)))
398	394, 397, 390, 335	fvmptd 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠) = (cos‘(𝑠 / 2)))
399	398	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (cos‘(𝑠 / 2)) = ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))
400	393, 399	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (1 / (cos‘(𝑠 / 2))) = (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
401	400	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠)))
402	401	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (1 / (cos‘(𝑠 / 2)))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) limℂ 0)
403	385, 386, 402	3eltr3g 2899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))‘𝑠) / ((ℝ D (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))‘𝑠))) limℂ 0))
404	20, 24, 32, 34, 45, 46, 71, 140, 173, 227, 259, 304, 403	lhop 24296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) limℂ 0))
405	404	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) limℂ 0)
406		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥))
407		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → 𝑥 = 𝑠)
408	406, 407, 390, 307	fvmptd 6641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) = 𝑠)
409		eqidd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))) = (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2)))))
410	407	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
411	410	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
412	411	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (2 · (sin‘(𝑥 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
413	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℝ)
414	311	resincld 15329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
415	413, 414	remulcld 10517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
416	409, 412, 390, 415	fvmptd 6641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
417	408, 416	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
418	417	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
419	418	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ 𝑥)‘𝑠) / ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑥 / 2))))‘𝑠))) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0)
420	405, 419	eleqtri 2881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0)
421	10	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
422	10	feq1i 6373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ↔ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
423	14, 422	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ
424	423	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π[,]π)⟶ℂ)
425	243	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
426		iccssre 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
427	39, 38, 426	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
428	427	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
429	428, 12	syl6ss 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
430		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))
431	39, 35, 36	ltleii 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ -π ≤ 0
432	35, 38, 37	ltleii 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ π
433	39, 38	elicc2i 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 0 ∧ 0 ≤ π))
434	35, 431, 432, 433	mpbir3an 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ∈ (-π[,]π)
435	159	snss 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) ↔ {0} ⊆ (-π[,]π))
436	434, 435	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ {0} ⊆ (-π[,]π)
437		ssequn2 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({0} ⊆ (-π[,]π) ↔ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π))
438	436, 437	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-π[,]π) ∪ {0}) = (-π[,]π)
439	438	oveq2i 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
440		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
441	56, 440	rerest 23095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
442	427, 441	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
443	439, 442	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
444	443	fveq2i 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0}))) = (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
445	159	snss 4625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0 ∈ (-π(,)π) ↔ {0} ⊆ (-π(,)π))
446	44, 445	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {0} ⊆ (-π(,)π)
447		ssequn2 4080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ({0} ⊆ (-π(,)π) ↔ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π))
448	446, 447	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((-π(,)π) ∪ {0}) = (-π(,)π)
449	444, 448	fveq12i 6544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})) = ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π))
450		resttopon 21453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)))
451	60, 427, 450	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π))
452	451	topontopi 21207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top
453		retop 23053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
454		ovex 7048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π[,]π) ∈ V
455	453, 454	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V)
456		ssid 3910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π)
457	33, 243, 456	3pm3.2i 1332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))
458		restopnb 21467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ∈ V) ∧ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)π))) → ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))))
459	455, 457, 458	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((-π(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))
460	33, 459	mpbi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
461		isopn3i 21374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ (-π(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π))
462	452, 460, 461	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘(-π(,)π)) = (-π(,)π)
463		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-π(,)π) = (-π(,)π)
464	449, 462, 463	3eqtrri 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-π(,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
465	44, 464	eleqtri 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0}))
466	465	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∪ {0})))‘((-π(,)π) ∪ {0})))
467	424, 425, 429, 56, 430, 466	limcres 24167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0))
468	467	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
469	468	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0)
470		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
471	243, 470	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
472	471	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ (-π(,)π)) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
473	421, 469, 472	3eqtri 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 limℂ 0) = ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0)
474		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
475		iftrue 4387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = 1)
476		1cnd 10482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 0 → 1 ∈ ℂ)
477	475, 476	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
478	477	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
479		iffalse 4390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
480	479	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
481	141	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ℂ)
482		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ∈ ℂ)
483	481	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
484	483	sincld 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
485	482, 484	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
486	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 2 ≠ 0)
487	243	sseli 3885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
488		neqne 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → 𝑠 ≠ 0)
489		fourierdlem44 41978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
490	487, 488, 489	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
491	482, 484, 486, 490	mulne0d 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
492	481, 485, 491	divcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
493	480, 492	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
494	478, 493	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
495	474, 494	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ
496	495	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))):(-π(,)π)⟶ℂ)
497	496	limcdif 24157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0))
498	497	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) limℂ 0) = (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0)
499		resmpt 5786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((-π(,)π) ∖ {0}) ⊆ (-π(,)π) → ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
500	16, 499	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
501		eldifn 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
502		velsn 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
503	501, 502	sylnib 329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
504	503, 479	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
505	504	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
506	500, 505	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
507	506	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 ∈ (-π(,)π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π(,)π) ∖ {0})) limℂ 0) = ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0)
508	473, 498, 507	3eqtrri 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π(,)π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) limℂ 0) = (𝐾 limℂ 0)
509	420, 508	eleqtri 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (𝐾 limℂ 0)
510	509	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → 1 ∈ (𝐾 limℂ 0))
511		fveq2 6538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾‘𝑠) = (𝐾‘0))
512	475, 10, 47	fvmpt 6635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (-π[,]π) → (𝐾‘0) = 1)
513	434, 512	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾‘0) = 1
514	511, 513	syl6eq 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾‘𝑠) = 1)
515		oveq2 7024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾 limℂ 𝑠) = (𝐾 limℂ 0))
516	510, 514, 515	3eltr4d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾‘𝑠) ∈ (𝐾 limℂ 𝑠))
517	427, 12	sstri 3898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℂ
518	517	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
519	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → π ∈ ℝ)
520	519	renegcld 10915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → -π ∈ ℝ)
521		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 = 0)
522	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 0 → 0 ∈ ℝ)
523	521, 522	eqeltrd 2883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ ℝ)
524	431, 521	breqtrrid 5000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → -π ≤ 𝑠)
525	521, 432	syl6eqbr 5001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 ≤ π)
526	520, 519, 523, 524, 525	eliccd 41321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
527	57	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π))
528	56	cnfldtop 23075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
529		reex 10474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ V
530		restabs 21457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π)))
531	528, 427, 529, 530	mp3an 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
532	527, 531	eqtri 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-π[,]π))
533	56, 532	cnplimc 24168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾‘𝑠) ∈ (𝐾 limℂ 𝑠))))
534	518, 526, 533	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ (𝐾‘𝑠) ∈ (𝐾 limℂ 𝑠))))
535	15, 516, 534	mpbir2and 709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
536	535	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
537		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
538	502	notbii 321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑠 ∈ {0} ↔ ¬ 𝑠 = 0)
539	538	biimpri 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑠 = 0 → ¬ 𝑠 ∈ {0})
540	539	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
541	537, 540	eldifd 3870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
542		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
543	542	eleq2d 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
544	429	ssdifssd 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ)
545	544, 145	idcncfg 41696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 𝑠) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
546		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
547		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ∈ ℂ)
548		eldifi 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
549	517, 548	sseldi 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℂ)
550	549	halfcld 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
551	550	sincld 15316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
552	547, 551	mulcld 10507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
553	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 2 ≠ 0)
554		eldifsni 4629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
555	548, 554, 489	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
556	547, 551, 553, 555	mulne0d 11140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
557	556	neneqd 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0)
558		elsng 4486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
559	552, 558	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0} ↔ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) = 0))
560	557, 559	mtbird 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ {0})
561	552, 560	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
562	546, 561	fmpti 6739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})
563		difss 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
564		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2)
565	175, 176, 175	constcncfg 41695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
566	102, 565	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ 2) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
567		2cnd 11563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → 2 ∈ ℂ)
568	564, 566, 544, 145, 567	cncfmptssg 41694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ 2) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
569	549, 547, 553	divrecd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 / 2) = (𝑠 · (1 / 2)))
570	569	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2)))
571		eqid 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2))
572	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
573		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
574	572, 573, 572	constcncfg 41695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
575	94, 574	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (1 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
576	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (1 / 2) ∈ ℂ)
577	571, 575, 544, 145, 576	cncfmptssg 41694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (1 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
578	545, 577	mulcncf 23730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 · (1 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
579	570, 578	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
580	182, 579	cncfmpt1f 23204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
581	568, 580	mulcncf 23730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
582	581	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
583		cncffvrn 23189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0})))
584	563, 582, 583	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶(ℂ ∖ {0}))
585	562, 584	mpbir 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0}))
586	585	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→(ℂ ∖ {0})))
587	545, 586	divcncf 23731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⊤ → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ))
588	587	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ)
589	428	ssdifssd 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⊤ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
590	589	mptru 1529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
591	590, 12	sstri 3898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ
592	57	oveq1i 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
593		restabs 21457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
594	528, 590, 529, 593	mp3an 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
595	592, 594	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
596		unicntop 23077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
597	596	restid 16536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
598	528, 597	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
599	598	eqcomi 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
600	56, 595, 599	cncfcn 23200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
601	591, 144, 600	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0})–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
602	588, 601	eleqtri 2881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld))
603		resttopon 21453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})))
604	60, 590, 603	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0}))
605	56	cnfldtopon 23074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
606		cncnp 21572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (TopOn‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))))
607	604, 605, 606	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)))
608	602, 607	mpbi 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))):((-π[,]π) ∖ {0})⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥))
609	608	simpri 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})(𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑥)
610	543, 609	vtoclri 3528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
611	541, 610	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
612	10	reseq1i 5730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0}))
613		difss 4029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
614		resmpt 5786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
615	613, 614	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
616		eldifn 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
617	616, 502	sylnib 329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ 𝑠 = 0)
618	617, 479	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
619	618	mpteq2ia 5051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
620	612, 615, 619	3eqtri 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) = (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ↦ (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
621		restabs 21457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π) ∧ (-π[,]π) ∈ V) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})))
622	453, 613, 454, 621	mp3an 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) = ((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0}))
623	622	oveq1i 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = (((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))
624	623	fveq1i 6539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
625	611, 620, 624	3eltr4g 2900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
626	452, 613	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π))
627	626	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)))
628		ssdif 4037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π[,]π) ⊆ ℝ → ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
629	427, 628	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (ℝ ∖ {0})
630	629, 541	sseldi 3887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}))
631		sscon 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({0} ⊆ (-π[,]π) → (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0}))
632	436, 631	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℝ ∖ (-π[,]π)) ⊆ (ℝ ∖ {0})
633	629, 632	unssi 4082	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) ⊆ (ℝ ∖ {0})
634		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
635		eldifn 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
636	635	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
637	634, 636	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
638		elun1 4073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
639	637, 638	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
640		eldifi 4024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ ℝ)
641	640	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
642		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π))
643	641, 642	eldifd 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
644		elun2 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
645	643, 644	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) ∧ ¬ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
646	639, 645	pm2.61dan 809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑠 ∈ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))))
647	646	ssriv 3893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))
648	633, 647	eqssi 3905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π))) = (ℝ ∖ {0})
649	648	fveq2i 6541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0}))
650	61	cldopn 21323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
651	59, 650	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
652		isopn3i 21374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0}))
653	453, 651, 652	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∖ {0})) = (ℝ ∖ {0})
654	649, 653	eqtri 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) = (ℝ ∖ {0})
655	630, 654	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))))
656	655, 537	elind 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
657		eqid 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
658	61, 657	restntr 21474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-π[,]π) ⊆ ℝ ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π)))
659	453, 427, 613, 658	mp3an 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘(((-π[,]π) ∖ {0}) ∪ (ℝ ∖ (-π[,]π)))) ∩ (-π[,]π))
660	656, 659	syl6eleqr 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})))
661	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)
662	451	toponunii 21208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-π[,]π) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π))
663	662, 596	cnprest 21581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ Top ∧ ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)) ∧ (𝑠 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)))‘((-π[,]π) ∖ {0})) ∧ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ)) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
664	627, 660, 661, 663	syl12anc 833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → (𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠) ↔ (𝐾 ↾ ((-π[,]π) ∖ {0})) ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ↾t ((-π[,]π) ∖ {0})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
665	625, 664	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑠 = 0) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
666	536, 665	pm2.61dan 809	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))
667	666	rgen 3115	. . . . 5 ⊢ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)
668		cncnp 21572	. . . . . 6 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) ∈ (TopOn‘(-π[,]π)) ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠))))
669	451, 605, 668	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝐾:(-π[,]π)⟶ℂ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)𝐾 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑠)))
670	14, 667, 669	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
671	56, 532, 599	cncfcn 23200	. . . . . 6 ⊢ (((-π[,]π) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
672	517, 144, 671	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((-π[,]π)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
673	672	eqcomi 2804	. . . 4 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t (-π[,]π)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((-π[,]π)–cn→ℂ)
674	670, 673	eleqtri 2881	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
675		cncffvrn 23189	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ))
676	12, 674, 675	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ↔ 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
677	11, 676	mpbir 232	1 ⊢ 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522  ⊤wtru 1523   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ifcif 4381  {csn 4472  {cpr 4474   class class class wbr 4962   ↦ cmpt 5041  dom cdm 5443  ran crn 5444   ↾ cres 5445   “ cima 5446   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522  -cneg 10718   / cdiv 11145  2c2 11540  ℝ⁺crp 12239  (,)cioo 12588  [,]cicc 12591  ℜcre 14290  sincsin 15250  cosccos 15251  πcpi 15253   ↾_t crest 16523  TopOpenctopn 16524  topGenctg 16540  ℂ_fldccnfld 20227  Topctop 21185  TopOnctopon 21202  Clsdccld 21308  intcnt 21309   Cn ccn 21516   CnP ccnp 21517  –cn→ccncf 23167   lim_ℂ climc 24143   D cdv 24144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-t1 21606  df-haus 21607  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148

This theorem is referenced by:  fourierdlem77  42010  fourierdlem78  42011  fourierdlem85  42018  fourierdlem88  42021