Theorem rexuz3 15328

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3061	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍
2		fveq2 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
3		rexuz3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eqtr4di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
5	4	raleqdv 3322	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍))
6	5	rspcev 3609	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
7	1, 6	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
8	7	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)))
9	3	uztrn2 12872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	ancrd 551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	ralimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
13		eluzelz 12863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
14	13, 3	eleq2s 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
15	12, 14	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))))
16	15	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
17		uzid 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	18	ralimi 3080	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
20		eleq1w 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
21	20	rspcva 3607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
22	17, 19, 21	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝜑)
24	23	ralimi 3080	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
26	22, 25	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
27	16, 26	impbii 208	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
28	27	rexbii2 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))
29		rexanuz 15325	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
30	28, 29	bitr2i 276	. 2 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
31	8, 30	bitr2di 288	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ‘cfv 6548  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-neg 11478  df-z 12590  df-uz 12854

This theorem is referenced by:  rexanuz2  15329  cau4  15336  clim2  15481  isercoll  15647  lmbr2  23176  lmff  23218  lmmbr3  25201  iscau3  25219  uniioombllem6  25530  ulmres  26337  rrncmslem  37305  clim2f  45024  clim2f2  45058  climuzlem  45131  lmbr3v  45133  climisp  45134  climrescn  45136  climxrrelem  45137  climxrre  45138  xlimbr  45215  xlimmnfvlem1  45220  xlimmnfvlem2  45221  xlimpnfvlem1  45224  xlimpnfvlem2  45225