MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexuz3 15383
Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
rexuz3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3
StepHypRef Expression
1 ralel 3061 . . . 4 𝑘𝑍 𝑘𝑍
2 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑀))
3 rexuz3.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eqtr4di 2792 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → (ℤ𝑗) = 𝑍)
54raleqdv 3323 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ↔ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍))
65rspcev 3621 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘𝑍 𝑘𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
71, 6mpan2 691 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
87biantrurd 532 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)))
93uztrn2 12894 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
109a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑘𝑍))
1110ancrd 551 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑 → (𝑘𝑍𝜑)))
1211ralimdva 3164 . . . . . . 7 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
13 eluzelz 12885 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1413, 3eleq2s 2856 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
1512, 14jctild 525 . . . . . 6 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))))
1615imp 406 . . . . 5 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
17 uzid 12890 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
18 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝑘𝑍)
1918ralimi 3080 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍)
20 eleq1w 2821 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2120rspcva 3619 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍) → 𝑗𝑍)
2217, 19, 21syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → 𝑗𝑍)
23 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝜑) → 𝜑)
2423ralimi 3080 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
2622, 25jca 511 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)) → (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
2716, 26impbii 209 . . . 4 ((𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑)))
2827rexbii2 3087 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑))
29 rexanuz 15380 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘𝑍𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
3028, 29bitr2i 276 . 2 ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑘𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑)
318, 30bitr2di 288 1 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cfv 6562  cz 12610  cuz 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876
This theorem is referenced by:  rexanuz2  15384  cau4  15391  clim2  15536  isercoll  15700  lmbr2  23282  lmff  23324  lmmbr3  25307  iscau3  25325  uniioombllem6  25636  ulmres  26445  rrncmslem  37818  clim2f  45591  clim2f2  45625  climuzlem  45698  lmbr3v  45700  climisp  45701  climrescn  45703  climxrrelem  45704  climxrre  45705  xlimbr  45782  xlimmnfvlem1  45787  xlimmnfvlem2  45788  xlimpnfvlem1  45791  xlimpnfvlem2  45792
  Copyright terms: Public domain W3C validator