Theorem rexuz3 15309

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3057	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍
2		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
3		rexuz3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eqtr4di 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
5	4	raleqdv 3298	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍))
6	5	rspcev 3567	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
7	1, 6	mpan2 697	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
8	7	biantrurd 537	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)))
9	3	uztrn2 12805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	ancrd 556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	ralimdva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
13		eluzelz 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
14	13, 3	eleq2s 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
15	12, 14	jctild 530	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))))
16	15	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
17		uzid 12801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	18	ralimi 3077	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
20		eleq1w 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
21	20	rspcva 3565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
22	17, 19, 21	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
23		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝜑)
24	23	ralimi 3077	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
26	22, 25	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
27	16, 26	impbii 210	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
28	27	rexbii2 3083	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))
29		rexanuz 15306	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
30	28, 29	bitr2i 277	. 2 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
31	8, 30	bitr2di 289	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  ‘cfv 6492  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-neg 11378  df-z 12523  df-uz 12787

This theorem is referenced by:  rexanuz2  15310  cau4  15317  clim2  15464  isercoll  15628  lmbr2  23249  lmff  23291  lmmbr3  25252  iscau3  25270  uniioombllem6  25580  ulmres  26378  rrncmslem  38206  clim2f  46086  clim2f2  46120  climuzlem  46193  lmbr3v  46195  climisp  46196  climrescn  46198  climxrrelem  46199  climxrre  46200  xlimbr  46277  xlimmnfvlem1  46282  xlimmnfvlem2  46283  xlimpnfvlem1  46286  xlimpnfvlem2  46287