Theorem rexuz3 15272

Description: Restrict the base of the upper integers set to another upper integers set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
rexuz3	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗   𝑗,𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralel 3054	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍
2		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑀))
3		rexuz3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (ℤ≥‘𝑗) = 𝑍)
5	4	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍))
6	5	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 𝑘 ∈ 𝑍) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
7	1, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
8	7	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)))
9	3	uztrn2 12770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
10	9	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → 𝑘 ∈ 𝑍))
11	10	ancrd 551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
12	11	ralimdva 3148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
13		eluzelz 12761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
14	13, 3	eleq2s 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ ℤ)
15	12, 14	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))))
16	15	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) → (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
17		uzid 12766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
18		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	18	ralimi 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍)
20		eleq1w 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
21	20	rspcva 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
22	17, 19, 21	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
23		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → 𝜑)
24	23	ralimi 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
26	22, 25	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)) → (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
27	16, 26	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑)))
28	27	rexbii2 3079	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑))
29		rexanuz 15269	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝜑) ↔ (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))
30	28, 29	bitr2i 276	. 2 ⊢ ((∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑘 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑)
31	8, 30	bitr2di 288	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑 ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ‘cfv 6492  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  rexanuz2  15273  cau4  15280  clim2  15427  isercoll  15591  lmbr2  23203  lmff  23245  lmmbr3  25216  iscau3  25234  uniioombllem6  25545  ulmres  26353  rrncmslem  38029  clim2f  45876  clim2f2  45910  climuzlem  45983  lmbr3v  45985  climisp  45986  climrescn  45988  climxrrelem  45989  climxrre  45990  xlimbr  46067  xlimmnfvlem1  46072  xlimmnfvlem2  46073  xlimpnfvlem1  46076  xlimpnfvlem2  46077