Theorem infdif2 9966

Description: Cardinality ordering for an infinite class difference. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem infdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 8886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
2		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
3		infdif 9965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 8791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
5		sdomentr 8898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
7	1, 6	nsyl3 138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
8	7	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
9	8	3adant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
10	9	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domtri2 9747	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
12	11	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	10, 12	sylibrd 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
14		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15		difss 4066	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
16		ssdomg 8786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
18		domtr 8793	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
19	18	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
20	17, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
21	13, 20	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ωcom 7712   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  cardccrd 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697

This theorem is referenced by:  axgroth3  10587