Theorem infdif2 10167

Description: Cardinality ordering for an infinite class difference. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem infdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
2		simp3 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
3		infdif 10166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 8988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
5		sdomentr 9085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
7	1, 6	nsyl3 138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
8	7	3expia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
9	8	3adant2 1145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
10	9	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domtri2 9949	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
12	11	3adant3 1146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	10, 12	sylibrd 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
14		simp1 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15		difss 4091	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
16		ssdomg 8983	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
17	14, 15, 16	mpisyl 21	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
18		domtr 8990	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
19	18	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
20	17, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
21	13, 20	impbid 214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1099   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  dom cdm 5649  ωcom 7848   ≈ cen 8926   ≼ cdom 8927   ≺ csdm 8928  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899

This theorem is referenced by:  axgroth3  10791