Theorem infdif2 10199

Description: Cardinality ordering for an infinite class difference. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem infdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
2		simp3 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
3		infdif 10198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 9000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
5		sdomentr 9097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
7	1, 6	nsyl3 139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
8	7	3expia 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
9	8	3adant2 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
10	9	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domtri2 9982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
12	11	3adant3 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	10, 12	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
14		simp1 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15		difss 4089	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
16		ssdomg 8995	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
17	14, 15, 16	mpisyl 22	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
18		domtr 9002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
19	18	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
21	13, 20	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  dom cdm 5660  ωcom 7860   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  cardccrd 9928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932

This theorem is used by:  axgroth3  10822