Theorem infdif2 10192

Description: Cardinality ordering for an infinite class difference. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdif2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem infdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 9091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
2		simp3 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
3		infdif 10191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≈ 𝐴)
4	3	ensymd 9002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵))
5		sdomentr 9099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
6	2, 4, 5	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → 𝐵 ≺ (𝐴 ∖ 𝐵))
7	1, 6	nsyl3 139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
8	7	3expia 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
9	8	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
10	9	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domtri2 9975	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
12	11	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≺ 𝐴))
13	10, 12	sylibrd 262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
14		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15		difss 4096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
16		ssdomg 8997	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴))
17	14, 15, 16	mpisyl 22	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴)
18		domtr 9004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵)
19	18	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐴 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
20	17, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵))
21	13, 20	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝐵) ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5111  dom cdm 5662  ωcom 7862   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942  cardccrd 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925

This theorem is referenced by:  axgroth3  10816