MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl2 23544
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 8142 . . 3 (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2 nnenom 12986 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
3 sdomentr 8253 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
42, 3mpan2 671 . . . . 5 (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5 isfinite 8716 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6 finiunmbl 23531 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
76ex 397 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
85, 7sylbir 225 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10 bren 8121 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ)
11 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ
12 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛
13 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
1413nfcri 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
1512, 14nfrex 3155 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
16 f1of 6279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
1716ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ℕ)
18173adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑛) ∈ ℕ)
19 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
20 f1ocnvfv1 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑛)) = 𝑛)
21203adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → (𝑓‘(𝑓𝑛)) = 𝑛)
2221eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑛 = (𝑓‘(𝑓𝑛)))
23 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) → 𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2519, 24eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
26 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑓𝑘) = (𝑓‘(𝑓𝑛)))
2726csbeq1d 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2827eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵))
2928rspcev 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
3018, 25, 29syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
31303exp 1112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (𝑛𝐴 → (𝑥𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)))
3211, 15, 31rexlimd 3174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑛𝐴 𝑥𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
33 f1ocnvdm 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
34 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑓𝑘) → 𝐵 = (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
3534eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑓𝑘) → (𝑥𝐵𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
3614, 35rspce 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑘) ∈ 𝐴𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵) → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵)
3736ex 397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
3938rexlimdva 3179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
4032, 39impbid 202 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑛𝐴 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
41 eliun 4659 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵)
42 eliun 4659 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
4340, 41, 423bitr4g 303 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (𝑥 𝑛𝐴 𝐵𝑥 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
4443eqrdv 2769 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → 𝑛𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
4544adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
46 rspcsbela 4151 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4733, 46sylan 569 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4847an32s 631 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3115 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
50 iunmbl 23540 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5245, 51eqeltrd 2850 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
5352ex 397 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5453exlimiv 2010 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5510, 54sylbi 207 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
569, 55jaoi 846 . . 3 ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
571, 56sylbi 207 . 2 (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5857imp 393 1 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  csb 3682   ciun 4655   class class class wbr 4787  ccnv 5249  dom cdm 5250  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  ωcom 7215  cen 8109  cdom 8110  csdm 8111  Fincfn 8112  cn 11225  volcvol 23450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cc 9462  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xadd 12151  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-xmet 19953  df-met 19954  df-ovol 23451  df-vol 23452
This theorem is referenced by:  opnmblALT  23590  mbfimaopnlem  23641  mbfaddlem  23646  mbfsup  23650  dmvlsiga  30531
  Copyright terms: Public domain W3C validator