Theorem iunmbl2 25611

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9042	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2		nnenom 14031	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
3		sdomentr 9177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
4	2, 3	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5		isfinite 9721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6		finiunmbl 25598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
7	6	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10		bren 9013	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ)
11		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ
12		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13		nfcsb1v 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
14	13	nfcri 2900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
15	12, 14	nfrexw 3319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
16		f1of 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
17	16	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
19		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		f1ocnvfv1 7312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
22	21	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
23		csbeq1a 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
25	19, 24	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
26		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (◡𝑓‘𝑘) = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
27	26	csbeq1d 3925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
28	27	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵))
29	28	rspcev 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
30	18, 25, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
31	30	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑛 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)))
32	11, 15, 31	rexlimd 3272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
33		f1ocnvdm 7321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
34		csbeq1a 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
35	34	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
36	14, 35	rspce 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
39	38	rexlimdva 3161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
40	32, 39	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
41		eliun 5019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
42		eliun 5019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
43	40, 41, 42	3bitr4g 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
44	43	eqrdv 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
46		rspcsbela 4461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
47	33, 46	sylan 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
48	47	an32s 651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
49	48	ralrimiva 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
50		iunmbl 25607	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
52	45, 51	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
54	53	exlimiv 1929	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
55	10, 54	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
56	9, 55	jaoi 856	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
57	1, 56	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
58	57	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ⦋csb 3921  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001   ≺ csdm 9002  Fincfn 9003  ℕcn 12293  volcvol 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519

This theorem is referenced by:  opnmblALT  25657  mbfimaopnlem  25709  mbfaddlem  25714  mbfsup  25718  dmvlsiga  34093