Theorem iunmbl2 24161

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8522	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2		nnenom 13343	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
3		sdomentr 8635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
4	2, 3	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5		isfinite 9099	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6		finiunmbl 24148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
7	6	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10		bren 8501	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ)
11		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ
12		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13		nfcsb1v 3852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
14	13	nfcri 2943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
15	12, 14	nfrex 3268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
16		f1of 6590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
17	16	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
18	17	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
19		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		f1ocnvfv1 7011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
21	20	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
22	21	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
23		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
25	19, 24	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
26		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (◡𝑓‘𝑘) = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
27	26	csbeq1d 3832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
28	27	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵))
29	28	rspcev 3571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
30	18, 25, 29	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
31	30	3exp 1116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑛 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)))
32	11, 15, 31	rexlimd 3276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
33		f1ocnvdm 7019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
34		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
35	34	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
36	14, 35	rspce 3560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
37	36	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
39	38	rexlimdva 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
40	32, 39	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
41		eliun 4885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
42		eliun 4885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
43	40, 41, 42	3bitr4g 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
44	43	eqrdv 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
45	44	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
46		rspcsbela 4343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
47	33, 46	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
48	47	an32s 651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
49	48	ralrimiva 3149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
50		iunmbl 24157	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
52	45, 51	eqeltrd 2890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
53	52	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
54	53	exlimiv 1931	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
55	10, 54	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
56	9, 55	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
57	1, 56	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
58	57	imp 410	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ⦋csb 3828  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490   ≺ csdm 8491  Fincfn 8492  ℕcn 11625  volcvol 24067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-xmet 20084  df-met 20085  df-ovol 24068  df-vol 24069

This theorem is referenced by:  opnmblALT  24207  mbfimaopnlem  24259  mbfaddlem  24264  mbfsup  24268  dmvlsiga  31498