Theorem iunmbl2 25933

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9047	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2		nnenom 14163	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
3		sdomentr 9168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
4	2, 3	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5		isfinite 9690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6		finiunmbl 25920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
7	6	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10		bren 9021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ)
11		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ
12		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
14	13	nfcri 2918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
15	12, 14	nfrexw 3314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
16		f1of 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
17	16	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
18	17	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
19		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		f1ocnvfv1 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
21	20	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
23		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
25	19, 24	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
26		fveq2 6916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (◡𝑓‘𝑘) = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
27	26	csbeq1d 3855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
28	27	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵))
29	28	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
30	18, 25, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
31	30	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (𝑛 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)))
32	11, 15, 31	rexlimd 3273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
33		f1ocnvdm 7324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
34		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
35	34	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
36	14, 35	rspce 3569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
37	36	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
38	33, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
39	38	rexlimdva 3167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
40	32, 39	impbid 215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
41		eliun 4960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
42		eliun 4960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
43	40, 41, 42	3bitr4g 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
44	43	eqrdv 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
45	44	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
46		rspcsbela 4399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
47	33, 46	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
48	47	an32s 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
49	48	ralrimiva 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
50		iunmbl 25929	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
52	45, 51	eqeltrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
53	52	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
54	53	exlimiv 1965	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1ontoℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
55	10, 54	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
56	9, 55	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
57	1, 56	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
58	57	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ⦋csb 3851  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  ωcom 7911   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009   ≺ csdm 9010  Fincfn 9011  ℕcn 12375  volcvol 25839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xadd 13282  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-xmet 21722  df-met 21723  df-ovol 25840  df-vol 25841

This theorem is used by:  opnmblALT  25979  mbfimaopnlem  26031  mbfaddlem  26036  mbfsup  26040  dmvlsiga  34872