MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl2 25592
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl2 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdom2 9022 . . 3 (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2 nnenom 14021 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
3 sdomentr 9151 . . . . . 6 ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
42, 3mpan2 691 . . . . 5 (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5 isfinite 9692 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6 finiunmbl 25579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
76ex 412 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
85, 7sylbir 235 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
94, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10 bren 8995 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ)
11 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ
12 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛
13 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
1413nfcri 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
1512, 14nfrexw 3313 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵
16 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
1716ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ℕ)
18173adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → (𝑓𝑛) ∈ ℕ)
19 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
20 f1ocnvfv1 7296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓‘(𝑓𝑛)) = 𝑛)
21203adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → (𝑓‘(𝑓𝑛)) = 𝑛)
2221eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑛 = (𝑓‘(𝑓𝑛)))
23 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) → 𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2519, 24eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → 𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
26 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑓𝑘) = (𝑓‘(𝑓𝑛)))
2726csbeq1d 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 = (𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵)
2827eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑛) → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵))
2928rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥(𝑓‘(𝑓𝑛)) / 𝑛𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
3018, 25, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛𝐴𝑥𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
31303exp 1120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (𝑛𝐴 → (𝑥𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)))
3211, 15, 31rexlimd 3266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑛𝐴 𝑥𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
33 f1ocnvdm 7305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
34 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑓𝑘) → 𝐵 = (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
3534eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑓𝑘) → (𝑥𝐵𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
3614, 35rspce 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓𝑘) ∈ 𝐴𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵) → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵)
3736ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
3938rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 → ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵))
4032, 39impbid 212 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∃𝑛𝐴 𝑥𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
41 eliun 4995 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛𝐴 𝑥𝐵)
42 eliun 4995 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥(𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
4340, 41, 423bitr4g 314 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (𝑥 𝑛𝐴 𝐵𝑥 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵))
4443eqrdv 2735 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → 𝑛𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵)
46 rspcsbela 4438 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4733, 46sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4847an32s 652 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
4948ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
50 iunmbl 25588 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘 ∈ ℕ (𝑓𝑘) / 𝑛𝐵 ∈ dom vol)
5245, 51eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
5352ex 412 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5453exlimiv 1930 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5510, 54sylbi 217 . . . 4 (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
569, 55jaoi 858 . . 3 ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
571, 56sylbi 217 . 2 (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5857imp 406 1 ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑛𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  csb 3899   ciun 4991   class class class wbr 5143  ccnv 5684  dom cdm 5685  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985  cn 12266  volcvol 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500
This theorem is referenced by:  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  mbfaddlem  25695  mbfsup  25699  dmvlsiga  34130
  Copyright terms: Public domain W3C validator