Theorem iunmbl2 25605

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9020	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2		nnenom 14017	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
3		sdomentr 9149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
4	2, 3	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5		isfinite 9689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6		finiunmbl 25592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
7	6	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10		bren 8993	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ)
11		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ
12		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13		nfcsb1v 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
14	13	nfcri 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
15	12, 14	nfrexw 3310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
16		f1of 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
17	16	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
18	17	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
19		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		f1ocnvfv1 7295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
21	20	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
22	21	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
23		csbeq1a 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
25	19, 24	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
26		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (◡𝑓‘𝑘) = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
27	26	csbeq1d 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
28	27	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵))
29	28	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
30	18, 25, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
31	30	3exp 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑛 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)))
32	11, 15, 31	rexlimd 3263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
33		f1ocnvdm 7304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
34		csbeq1a 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
35	34	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
36	14, 35	rspce 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
39	38	rexlimdva 3152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
40	32, 39	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
41		eliun 4999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
42		eliun 4999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
43	40, 41, 42	3bitr4g 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
44	43	eqrdv 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
46		rspcsbela 4443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
47	33, 46	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
48	47	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
49	48	ralrimiva 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
50		iunmbl 25601	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
52	45, 51	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
54	53	exlimiv 1927	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
55	10, 54	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
56	9, 55	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
57	1, 56	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
58	57	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ⦋csb 3907  ∪ ciun 4995   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  ωcom 7886   ≈ cen 8980   ≼ cdom 8981   ≺ csdm 8982  Fincfn 8983  ℕcn 12263  volcvol 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-xmet 21374  df-met 21375  df-ovol 25512  df-vol 25513

This theorem is referenced by:  opnmblALT  25651  mbfimaopnlem  25703  mbfaddlem  25708  mbfsup  25712  dmvlsiga  34109