Theorem iunmbl2 25592

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl2	⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem iunmbl2

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 9022	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ ↔ (𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ))
2		nnenom 14021	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≈ ω
3		sdomentr 9151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≺ ω)
4	2, 3	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → 𝐴 ≺ ω)
5		isfinite 9692	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
6		finiunmbl 25579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
7	6	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ ω → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
10		bren 8995	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ)
11		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ
12		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛ℕ
13		nfcsb1v 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑛⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
14	13	nfcri 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
15	12, 14	nfrexw 3313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵
16		f1of 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → 𝑓:𝐴⟶ℕ)
17	16	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
18	17	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝑛) ∈ ℕ)
19		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		f1ocnvfv1 7296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
21	20	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) = 𝑛)
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
23		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
25	19, 24	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
26		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (◡𝑓‘𝑘) = (◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)))
27	26	csbeq1d 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 = ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵)
28	27	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵))
29	28	rspcev 3622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑓‘𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘(𝑓‘𝑛)) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
30	18, 25, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑛 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
31	30	3exp 1120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑛 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)))
32	11, 15, 31	rexlimd 3266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
33		f1ocnvdm 7305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
34		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → 𝐵 = ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
35	34	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = (◡𝑓‘𝑘) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
36	14, 35	rspce 3611	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
39	38	rexlimdva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵))
40	32, 39	impbid 212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
41		eliun 4995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
42		eliun 4995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
43	40, 41, 42	3bitr4g 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵))
44	43	eqrdv 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵)
46		rspcsbela 4438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((◡𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
47	33, 46	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
48	47	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
49	48	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
50		iunmbl 25588	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋(◡𝑓‘𝑘) / 𝑛⦌𝐵 ∈ dom vol)
52	45, 51	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
53	52	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
54	53	exlimiv 1930	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
55	10, 54	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
56	9, 55	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ℕ ∨ 𝐴 ≈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
57	1, 56	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → (∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
58	57	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑛 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ⦋csb 3899  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985  ℕcn 12266  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by:  opnmblALT  25638  mbfimaopnlem  25690  mbfaddlem  25695  mbfsup  25699  dmvlsiga  34130