Theorem numthcor 10508

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
numthcor	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5122	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≺ 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝑥))
2	1	rexbidv 3164	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥))
3		vpwex 5347	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑦 ∈ V
4	3	numth2 10485	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	canth2 9144	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7		ensym 9017	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥)
8		sdomentr 9125	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥) → 𝑦 ≺ 𝑥)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	reximi 3074	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥)
11	4, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥
12	2, 11	vtoclg 3533	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  Oncon0 6352   ≈ cen 8956   ≺ csdm 8958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-ac2 10477

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-card 9953  df-ac 10130

This theorem is referenced by:  cardmin  10578