Theorem numthcor 10453

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
numthcor	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5112	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≺ 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝑥))
2	1	rexbidv 3158	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥))
3		vpwex 5334	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑦 ∈ V
4	3	numth2 10430	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	canth2 9099	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7		ensym 8976	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥)
8		sdomentr 9080	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥) → 𝑦 ≺ 𝑥)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	reximi 3068	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥)
11	4, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥
12	2, 11	vtoclg 3523	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5109  Oncon0 6334   ≈ cen 8917   ≺ csdm 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-ac2 10422

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-card 9898  df-ac 10075

This theorem is referenced by:  cardmin  10523