MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numthcor 9910
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5056 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
21rexbidv 3290 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥))
3 vpwex 5266 . . . 4 𝒫 𝑦 ∈ V
43numth2 9887 . . 3 𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5 vex 3483 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
65canth2 8663 . . . . 5 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7 ensym 8550 . . . . 5 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦𝑥)
8 sdomentr 8644 . . . . 5 ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
96, 7, 8sylancr 590 . . . 4 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦𝑦𝑥)
109reximi 3238 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥)
114, 10ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ On 𝑦𝑥
122, 11vtoclg 3553 1 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  𝒫 cpw 4522   class class class wbr 5053  Oncon0 6179  cen 8498  csdm 8500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-ac2 9879
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-card 9361  df-ac 9536
This theorem is referenced by:  cardmin  9980
  Copyright terms: Public domain W3C validator