Theorem numthcor 9910

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
numthcor	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5062	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≺ 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝑥))
2	1	rexbidv 3297	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥))
3		vpwex 5271	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑦 ∈ V
4	3	numth2 9887	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5		vex 3498	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	canth2 8664	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7		ensym 8552	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥)
8		sdomentr 8645	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥) → 𝑦 ≺ 𝑥)
9	6, 7, 8	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	reximi 3243	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥)
11	4, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥
12	2, 11	vtoclg 3568	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5059  Oncon0 6186   ≈ cen 8500   ≺ csdm 8502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-ac2 9879

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-card 9362  df-ac 9536

This theorem is referenced by:  cardmin  9980