Theorem numthcor 10407

Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
numthcor	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5098	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≺ 𝑥 ↔ 𝐴 ≺ 𝑥))
2	1	rexbidv 3153	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥))
3		vpwex 5319	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑦 ∈ V
4	3	numth2 10384	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	canth2 9054	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7		ensym 8935	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥)
8		sdomentr 9035	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦 ≈ 𝑥) → 𝑦 ≺ 𝑥)
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	reximi 3067	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥)
11	4, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ On 𝑦 ≺ 𝑥
12	2, 11	vtoclg 3511	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ≺ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  𝒫 cpw 4553   class class class wbr 5095  Oncon0 6311   ≈ cen 8876   ≺ csdm 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-card 9854  df-ac 10029

This theorem is referenced by:  cardmin  10477