MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numthcor 10431
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5109 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
21rexbidv 3176 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥))
3 vpwex 5333 . . . 4 𝒫 𝑦 ∈ V
43numth2 10408 . . 3 𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5 vex 3450 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
65canth2 9075 . . . . 5 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7 ensym 8944 . . . . 5 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦𝑥)
8 sdomentr 9056 . . . . 5 ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
96, 7, 8sylancr 588 . . . 4 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦𝑦𝑥)
109reximi 3088 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥)
114, 10ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ On 𝑦𝑥
122, 11vtoclg 3526 1 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3074  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  Oncon0 6318  cen 8881  csdm 8883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-ac2 10400
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-card 9876  df-ac 10053
This theorem is referenced by:  cardmin  10501
  Copyright terms: Public domain W3C validator