Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem10 33794
Description: Lemma for erdsze 33796. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
erdszelem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdszelem.m (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdszelem10 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑛,𝐼,𝑥,𝑦   𝑛,𝐽,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑚,𝑥,𝑦   𝑇,𝑚
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐼(𝑚)   𝐽(𝑚)

Proof of Theorem erdszelem10
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13877 . . . . . . . 8 (1...(𝑅 − 1)) ∈ Fin
2 fzfi 13877 . . . . . . . 8 (1...(𝑆 − 1)) ∈ Fin
3 xpfi 9261 . . . . . . . 8 (((1...(𝑅 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...(𝑆 − 1)) ∈ Fin) → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . . 7 ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin
5 ssdomg 8940 . . . . . . 7 (((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin → (ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ran 𝑇 ≼ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ran 𝑇 ≼ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
7 domnsym 9043 . . . . . 6 (ran 𝑇 ≼ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ¬ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . 5 (ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ¬ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
9 erdszelem.m . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
10 hashxp 14334 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑅 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...(𝑆 − 1)) ∈ Fin) → (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) = ((♯‘(1...(𝑅 − 1))) · (♯‘(1...(𝑆 − 1)))))
111, 2, 10mp2an 690 . . . . . . . . 9 (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) = ((♯‘(1...(𝑅 − 1))) · (♯‘(1...(𝑆 − 1))))
12 erdszelem.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
13 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
14 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑅 − 1))) = (𝑅 − 1))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑅 − 1))) = (𝑅 − 1))
16 erdszelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
18 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑆 − 1))) = (𝑆 − 1))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑆 − 1))) = (𝑆 − 1))
2015, 19oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘(1...(𝑅 − 1))) · (♯‘(1...(𝑆 − 1)))) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)))
2111, 20eqtrid 2788 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)))
22 erdsze.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 12473 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
24 hashfz1 14246 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
269, 21, 253brtr4d 5137 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) < (♯‘(1...𝑁)))
27 fzfid 13878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
28 hashsdom 14281 . . . . . . . 8 ((((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) < (♯‘(1...𝑁)) ↔ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁)))
294, 27, 28sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) < (♯‘(1...𝑁)) ↔ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁)))
3026, 29mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁))
31 erdsze.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
32 erdszelem.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
33 erdszelem.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
34 erdszelem.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
3522, 31, 32, 33, 34erdszelem9 33793 . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(1...𝑁)–1-1→(ℕ × ℕ))
36 f1f1orn 6795 . . . . . . 7 (𝑇:(1...𝑁)–1-1→(ℕ × ℕ) → 𝑇:(1...𝑁)–1-1-onto→ran 𝑇)
37 ovex 7390 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ V
3837f1oen 8913 . . . . . . 7 (𝑇:(1...𝑁)–1-1-onto→ran 𝑇 → (1...𝑁) ≈ ran 𝑇)
3935, 36, 383syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑁) ≈ ran 𝑇)
40 sdomentr 9055 . . . . . 6 ((((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁) ∧ (1...𝑁) ≈ ran 𝑇) → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
4130, 39, 40syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
428, 41nsyl3 138 . . . 4 (𝜑 → ¬ ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
43 nss 4006 . . . . 5 (¬ ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ ran 𝑇 ∧ ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
44 df-rex 3074 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ ran 𝑇 ∧ ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
4543, 44bitr4i 277 . . . 4 (¬ ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
4642, 45sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
47 f1fn 6739 . . . 4 (𝑇:(1...𝑁)–1-1→(ℕ × ℕ) → 𝑇 Fn (1...𝑁))
48 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑇𝑚) → (𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
4948notbid 317 . . . . 5 (𝑠 = (𝑇𝑚) → (¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
5049rexrn 7037 . . . 4 (𝑇 Fn (1...𝑁) → (∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
5135, 47, 503syl 18 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
5246, 51mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
53 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐼𝑛) = (𝐼𝑚))
54 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐽𝑛) = (𝐽𝑚))
5553, 54opeq12d 4838 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩ = ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩)
56 opex 5421 . . . . . . . . 9 ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩ ∈ V
5755, 34, 56fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → (𝑇𝑚) = ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑚) = ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩)
5958eleq1d 2822 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩ ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
60 opelxp 5669 . . . . . 6 (⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩ ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
6159, 60bitrdi 286 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
6261notbid 317 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ¬ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
63 ianor 980 . . . 4 (¬ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) ↔ (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
6462, 63bitrdi 286 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
6564rexbidva 3173 . 2 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
6652, 65mpbid 231 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636   Fn wfn 6491  1-1wf1 6493  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cen 8880  cdom 8881  csdm 8882  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  ...cfz 13424  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  erdszelem11  33795
  Copyright terms: Public domain W3C validator