Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem10 34941
Description: Lemma for erdsze 34943. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
erdsze.f (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
erdszelem.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
erdszelem.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
erdszelem.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
erdszelem.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
erdszelem.m (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
erdszelem10 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐹   𝑛,𝐼,𝑥,𝑦   𝑛,𝐽,𝑥,𝑦   𝑅,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑆,𝑚,𝑥,𝑦   𝑇,𝑚
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐼(𝑚)   𝐽(𝑚)

Proof of Theorem erdszelem10
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13973 . . . . . . . 8 (1...(𝑅 − 1)) ∈ Fin
2 fzfi 13973 . . . . . . . 8 (1...(𝑆 − 1)) ∈ Fin
3 xpfi 9343 . . . . . . . 8 (((1...(𝑅 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...(𝑆 − 1)) ∈ Fin) → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 690 . . . . . . 7 ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin
5 ssdomg 9021 . . . . . . 7 (((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin → (ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ran 𝑇 ≼ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ran 𝑇 ≼ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
7 domnsym 9124 . . . . . 6 (ran 𝑇 ≼ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ¬ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . 5 (ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) → ¬ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
9 erdszelem.m . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)) < 𝑁)
10 hashxp 14429 . . . . . . . . . 10 (((1...(𝑅 − 1)) ∈ Fin ∧ (1...(𝑆 − 1)) ∈ Fin) → (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) = ((♯‘(1...(𝑅 − 1))) · (♯‘(1...(𝑆 − 1)))))
111, 2, 10mp2an 690 . . . . . . . . 9 (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) = ((♯‘(1...(𝑅 − 1))) · (♯‘(1...(𝑆 − 1))))
12 erdszelem.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
13 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ → (𝑅 − 1) ∈ ℕ0)
14 hashfz1 14341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑅 − 1))) = (𝑅 − 1))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑅 − 1))) = (𝑅 − 1))
16 erdszelem.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℕ → (𝑆 − 1) ∈ ℕ0)
18 hashfz1 14341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑆 − 1))) = (𝑆 − 1))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...(𝑆 − 1))) = (𝑆 − 1))
2015, 19oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘(1...(𝑅 − 1))) · (♯‘(1...(𝑆 − 1)))) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)))
2111, 20eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) = ((𝑅 − 1) · (𝑆 − 1)))
22 erdsze.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2322nnnn0d 12565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
24 hashfz1 14341 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
269, 21, 253brtr4d 5181 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) < (♯‘(1...𝑁)))
27 fzfid 13974 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
28 hashsdom 14376 . . . . . . . 8 ((((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) < (♯‘(1...𝑁)) ↔ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁)))
294, 27, 28sylancr 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))) < (♯‘(1...𝑁)) ↔ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁)))
3026, 29mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁))
31 erdsze.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(1...𝑁)–1-1→ℝ)
32 erdszelem.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
33 erdszelem.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↦ sup((♯ “ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝑥) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , < (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝑥𝑦)}), ℝ, < ))
34 erdszelem.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑁) ↦ ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩)
3522, 31, 32, 33, 34erdszelem9 34940 . . . . . . 7 (𝜑𝑇:(1...𝑁)–1-1→(ℕ × ℕ))
36 f1f1orn 6849 . . . . . . 7 (𝑇:(1...𝑁)–1-1→(ℕ × ℕ) → 𝑇:(1...𝑁)–1-1-onto→ran 𝑇)
37 ovex 7452 . . . . . . . 8 (1...𝑁) ∈ V
3837f1oen 8994 . . . . . . 7 (𝑇:(1...𝑁)–1-1-onto→ran 𝑇 → (1...𝑁) ≈ ran 𝑇)
3935, 36, 383syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝑁) ≈ ran 𝑇)
40 sdomentr 9136 . . . . . 6 ((((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ (1...𝑁) ∧ (1...𝑁) ≈ ran 𝑇) → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
4130, 39, 40syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ≺ ran 𝑇)
428, 41nsyl3 138 . . . 4 (𝜑 → ¬ ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
43 nss 4041 . . . . 5 (¬ ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ ran 𝑇 ∧ ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
44 df-rex 3060 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ ran 𝑇 ∧ ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
4543, 44bitr4i 277 . . . 4 (¬ ran 𝑇 ⊆ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
4642, 45sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
47 f1fn 6794 . . . 4 (𝑇:(1...𝑁)–1-1→(ℕ × ℕ) → 𝑇 Fn (1...𝑁))
48 eleq1 2813 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑇𝑚) → (𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
4948notbid 317 . . . . 5 (𝑠 = (𝑇𝑚) → (¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
5049rexrn 7096 . . . 4 (𝑇 Fn (1...𝑁) → (∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
5135, 47, 503syl 18 . . 3 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ran 𝑇 ¬ 𝑠 ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
5246, 51mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))))
53 fveq2 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐼𝑛) = (𝐼𝑚))
54 fveq2 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐽𝑛) = (𝐽𝑚))
5553, 54opeq12d 4883 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ⟨(𝐼𝑛), (𝐽𝑛)⟩ = ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩)
56 opex 5466 . . . . . . . . 9 ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩ ∈ V
5755, 34, 56fvmpt 7004 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → (𝑇𝑚) = ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩)
5857adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (𝑇𝑚) = ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩)
5958eleq1d 2810 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩ ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1)))))
60 opelxp 5714 . . . . . 6 (⟨(𝐼𝑚), (𝐽𝑚)⟩ ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
6159, 60bitrdi 286 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
6261notbid 317 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ¬ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
63 ianor 979 . . . 4 (¬ ((𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∧ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))) ↔ (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
6462, 63bitrdi 286 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ (¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
6564rexbidva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑇𝑚) ∈ ((1...(𝑅 − 1)) × (1...(𝑆 − 1))) ↔ ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1)))))
6652, 65mpbid 231 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ (1...𝑁)(¬ (𝐼𝑚) ∈ (1...(𝑅 − 1)) ∨ ¬ (𝐽𝑚) ∈ (1...(𝑆 − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wrex 3059  {crab 3418  wss 3944  𝒫 cpw 4604  cop 4636   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676  ccnv 5677  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681   Fn wfn 6544  1-1wf1 6546  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549   Isom wiso 6550  (class class class)co 7419  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963  Fincfn 8964  supcsup 9465  cr 11139  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280  cmin 11476  cn 12245  0cn0 12505  ...cfz 13519  chash 14325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326
This theorem is referenced by:  erdszelem11  34942
  Copyright terms: Public domain W3C validator