Theorem norm1exi 29026

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑦,𝐻

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3078	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
2	1	cbvrexvw 3450	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	3	sheli 28990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ℋ)
5		normcl 28901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
7	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
8		normne0 28906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
10	9	biimpar 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ≠ 0)
11	7, 10	rereccld 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ)
13		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → 𝑧 ∈ 𝐻)
14		shmulcl 28994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
15	3, 14	mp3an1 1444	. . . . . 6 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
16	12, 13, 15	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
17		norm1 29025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
18	4, 17	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
19		fveqeq2 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) → ((normℎ‘𝑦) = 1 ↔ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1))
20	19	rspcev 3622	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
21	16, 18, 20	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
22	21	rexlimiva 3281	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
23		ax-1ne0 10605	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
24	23	neii 3018	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 0
25		eqeq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 1 = 0))
26	24, 25	mtbiri 329	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ¬ (normℎ‘𝑦) = 0)
27	3	sheli 28990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
28		norm-i 28905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
30	29	necon3bbid 3053	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (¬ (normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ≠ 0ℎ))
31	26, 30	syl5ib 246	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 1 → 𝑦 ≠ 0ℎ))
32	31	reximia 3242	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
33		neeq1 3078	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
34	33	cbvrexvw 3450	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
35	32, 34	sylib 220	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
36	22, 35	impbii 211	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
37	2, 36	bitri 277	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   / cdiv 11296   ℋchba 28695   ·_ℎ csm 28697  norm_ℎcno 28699  0_ℎc0v 28700   S_ℋ csh 28704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hv0cl 28779  ax-hfvmul 28781  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his3 28860  ax-his4 28861

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-hnorm 28744  df-sh 28983

This theorem is referenced by:  norm1hex  29027  pjnmopi  29924