HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm1exi 31104
Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1 ๐ป โˆˆ Sโ„‹
Assertion
Ref Expression
norm1exi (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ป ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2993 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
21cbvrexvw 3226 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ป ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž)
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11 ๐ป โˆˆ Sโ„‹
43sheli 31068 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
5 normcl 30979 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ป โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
8 normne0 30984 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
94, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ป โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
109biimpar 476 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)
117, 10rereccld 12071 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
1211recnd 11272 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
13 simpl 481 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ป)
14 shmulcl 31072 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ป) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป)
153, 14mp3an1 1444 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ป) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป)
1612, 13, 15syl2anc 582 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป)
17 norm1 31103 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1)
184, 17sylan 578 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1)
19 fveqeq2 6901 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1))
2019rspcev 3601 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
2116, 18, 20syl2anc 582 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
2221rexlimiva 3137 . . 3 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
23 ax-1ne0 11207 . . . . . . . 8 1 โ‰  0
2423neii 2932 . . . . . . 7 ยฌ 1 = 0
25 eqeq1 2729 . . . . . . 7 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” 1 = 0))
2624, 25mtbiri 326 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ยฌ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0)
273sheli 31068 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
28 norm-i 30983 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฆ = 0โ„Ž))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฆ = 0โ„Ž))
3029necon3bbid 2968 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ (ยฌ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž))
3126, 30imbitrid 243 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž))
3231reximia 3071 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž)
33 neeq1 2993 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
3433cbvrexvw 3226 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž)
3532, 34sylib 217 . . 3 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž)
3622, 35impbii 208 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
372, 36bitri 274 1 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ป ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   / cdiv 11901   โ„‹chba 30773   ยทโ„Ž csm 30775  normโ„Žcno 30777  0โ„Žc0v 30778   Sโ„‹ csh 30782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hv0cl 30857  ax-hfvmul 30859  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his3 30938  ax-his4 30939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-hnorm 30822  df-sh 31061
This theorem is referenced by:  norm1hex  31105  pjnmopi  32002
  Copyright terms: Public domain W3C validator