Theorem norm1exi 31336

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑦,𝐻

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2995	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
2	1	cbvrexvw 3217	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	3	sheli 31300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ℋ)
5		normcl 31211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
8		normne0 31216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
10	9	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ≠ 0)
11	7, 10	rereccld 11973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ)
13		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → 𝑧 ∈ 𝐻)
14		shmulcl 31304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
15	3, 14	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
16	12, 13, 15	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
17		norm1 31335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
18	4, 17	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
19		fveqeq2 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) → ((normℎ‘𝑦) = 1 ↔ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1))
20	19	rspcev 3565	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
21	16, 18, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
22	21	rexlimiva 3131	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
23		ax-1ne0 11098	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
24	23	neii 2935	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 0
25		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 1 = 0))
26	24, 25	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ¬ (normℎ‘𝑦) = 0)
27	3	sheli 31300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
28		norm-i 31215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
30	29	necon3bbid 2970	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (¬ (normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ≠ 0ℎ))
31	26, 30	imbitrid 244	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 1 → 𝑦 ≠ 0ℎ))
32	31	reximia 3073	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
33		neeq1 2995	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
34	33	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
35	32, 34	sylib 218	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
36	22, 35	impbii 209	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
37	2, 36	bitri 275	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798   ℋchba 31005   ·_ℎ csm 31007  norm_ℎcno 31009  0_ℎc0v 31010   S_ℋ csh 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hv0cl 31089  ax-hfvmul 31091  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his3 31170  ax-his4 31171

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-hnorm 31054  df-sh 31293

This theorem is referenced by:  norm1hex  31337  pjnmopi  32234