Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm1exi 29022
 Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1 𝐻S
Assertion
Ref Expression
norm1exi (∃𝑥𝐻 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑦,𝐻

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3075 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0𝑧 ≠ 0))
21cbvrexvw 3435 . 2 (∃𝑥𝐻 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑧𝐻 𝑧 ≠ 0)
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11 𝐻S
43sheli 28986 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐻𝑧 ∈ ℋ)
5 normcl 28897 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐻 → (norm𝑧) ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → (norm𝑧) ∈ ℝ)
8 normne0 28902 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → ((norm𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0))
94, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐻 → ((norm𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0))
109biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → (norm𝑧) ≠ 0)
117, 10rereccld 11452 . . . . . . 7 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → (1 / (norm𝑧)) ∈ ℝ)
1211recnd 10654 . . . . . 6 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → (1 / (norm𝑧)) ∈ ℂ)
13 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → 𝑧𝐻)
14 shmulcl 28990 . . . . . . 7 ((𝐻S ∧ (1 / (norm𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → ((1 / (norm𝑧)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
153, 14mp3an1 1445 . . . . . 6 (((1 / (norm𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧𝐻) → ((1 / (norm𝑧)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
1612, 13, 15syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → ((1 / (norm𝑧)) · 𝑧) ∈ 𝐻)
17 norm1 29021 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑧)) · 𝑧)) = 1)
184, 17sylan 583 . . . . 5 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑧)) · 𝑧)) = 1)
19 fveqeq2 6660 . . . . . 6 (𝑦 = ((1 / (norm𝑧)) · 𝑧) → ((norm𝑦) = 1 ↔ (norm‘((1 / (norm𝑧)) · 𝑧)) = 1))
2019rspcev 3608 . . . . 5 ((((1 / (norm𝑧)) · 𝑧) ∈ 𝐻 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑧)) · 𝑧)) = 1) → ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
2116, 18, 20syl2anc 587 . . . 4 ((𝑧𝐻𝑧 ≠ 0) → ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
2221rexlimiva 3273 . . 3 (∃𝑧𝐻 𝑧 ≠ 0 → ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
23 ax-1ne0 10591 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
2423neii 3015 . . . . . . 7 ¬ 1 = 0
25 eqeq1 2828 . . . . . . 7 ((norm𝑦) = 1 → ((norm𝑦) = 0 ↔ 1 = 0))
2624, 25mtbiri 330 . . . . . 6 ((norm𝑦) = 1 → ¬ (norm𝑦) = 0)
273sheli 28986 . . . . . . . 8 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
28 norm-i 28901 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑦𝐻 → ((norm𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0))
3029necon3bbid 3050 . . . . . 6 (𝑦𝐻 → (¬ (norm𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
3126, 30syl5ib 247 . . . . 5 (𝑦𝐻 → ((norm𝑦) = 1 → 𝑦 ≠ 0))
3231reximia 3236 . . . 4 (∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1 → ∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0)
33 neeq1 3075 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0))
3433cbvrexvw 3435 . . . 4 (∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0 ↔ ∃𝑧𝐻 𝑧 ≠ 0)
3532, 34sylib 221 . . 3 (∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1 → ∃𝑧𝐻 𝑧 ≠ 0)
3622, 35impbii 212 . 2 (∃𝑧𝐻 𝑧 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
372, 36bitri 278 1 (∃𝑥𝐻 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  ∃wrex 3133  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℂcc 10520  ℝcr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   / cdiv 11282   ℋchba 28691   ·ℎ csm 28693  normℎcno 28695  0ℎc0v 28696   Sℋ csh 28700 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600  ax-hilex 28771  ax-hfvadd 28772  ax-hv0cl 28775  ax-hfvmul 28777  ax-hvmul0 28782  ax-hfi 28851  ax-his1 28854  ax-his3 28856  ax-his4 28857 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-hnorm 28740  df-sh 28979 This theorem is referenced by:  norm1hex  29023  pjnmopi  29920
 Copyright terms: Public domain W3C validator