Theorem norm1exi 29612

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑦,𝐻

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3006	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
2	1	cbvrexvw 3384	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	3	sheli 29576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ℋ)
5		normcl 29487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
8		normne0 29492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
10	9	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ≠ 0)
11	7, 10	rereccld 11802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ)
13		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → 𝑧 ∈ 𝐻)
14		shmulcl 29580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
15	3, 14	mp3an1 1447	. . . . . 6 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
16	12, 13, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
17		norm1 29611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
18	4, 17	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
19		fveqeq2 6783	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) → ((normℎ‘𝑦) = 1 ↔ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1))
20	19	rspcev 3561	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
21	16, 18, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
22	21	rexlimiva 3210	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
23		ax-1ne0 10940	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
24	23	neii 2945	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 0
25		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 1 = 0))
26	24, 25	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ¬ (normℎ‘𝑦) = 0)
27	3	sheli 29576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
28		norm-i 29491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
30	29	necon3bbid 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (¬ (normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ≠ 0ℎ))
31	26, 30	syl5ib 243	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 1 → 𝑦 ≠ 0ℎ))
32	31	reximia 3176	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
33		neeq1 3006	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
34	33	cbvrexvw 3384	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
35	32, 34	sylib 217	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
36	22, 35	impbii 208	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
37	2, 36	bitri 274	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   / cdiv 11632   ℋchba 29281   ·_ℎ csm 29283  norm_ℎcno 29285  0_ℎc0v 29286   S_ℋ csh 29290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hv0cl 29365  ax-hfvmul 29367  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-hnorm 29330  df-sh 29569

This theorem is referenced by:  norm1hex  29613  pjnmopi  30510