HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1exi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm1exi 29991
Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
norm1ex.1 ๐ป โˆˆ Sโ„‹
Assertion
Ref Expression
norm1exi (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ป ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฆ,๐ป

Proof of Theorem norm1exi
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3005 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
21cbvrexvw 3225 . 2 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ป ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž)
3 norm1ex.1 . . . . . . . . . . 11 ๐ป โˆˆ Sโ„‹
43sheli 29955 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‹)
5 normcl 29866 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ป โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
76adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
8 normne0 29871 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
94, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ป โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0 โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
109biimpar 479 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜๐‘ง) โ‰  0)
117, 10rereccld 11916 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„)
1211recnd 11117 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚)
13 simpl 484 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ป)
14 shmulcl 29959 . . . . . . 7 ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง (1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ป) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป)
153, 14mp3an1 1449 . . . . . 6 (((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ป) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป)
1612, 13, 15syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป)
17 norm1 29990 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1)
184, 17sylan 581 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1)
19 fveqeq2 6847 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†” (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1))
2019rspcev 3580 . . . . 5 ((((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง) โˆˆ ๐ป โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normโ„Žโ€˜๐‘ง)) ยทโ„Ž ๐‘ง)) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
2116, 18, 20syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ ๐ป โˆง ๐‘ง โ‰  0โ„Ž) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
2221rexlimiva 3143 . . 3 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
23 ax-1ne0 11054 . . . . . . . 8 1 โ‰  0
2423neii 2944 . . . . . . 7 ยฌ 1 = 0
25 eqeq1 2742 . . . . . . 7 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” 1 = 0))
2624, 25mtbiri 327 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ยฌ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0)
273sheli 29955 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
28 norm-i 29870 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฆ = 0โ„Ž))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฆ = 0โ„Ž))
3029necon3bbid 2980 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ (ยฌ (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž))
3126, 30syl5ib 244 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ป โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž))
3231reximia 3083 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž)
33 neeq1 3005 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž โ†” ๐‘ง โ‰  0โ„Ž))
3433cbvrexvw 3225 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป ๐‘ฆ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž)
3532, 34sylib 217 . . 3 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž)
3622, 35impbii 208 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ป ๐‘ง โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
372, 36bitri 275 1 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ป ๐‘ฅ โ‰  0โ„Ž โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜๐‘ฆ) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   / cdiv 11746   โ„‹chba 29660   ยทโ„Ž csm 29662  normโ„Žcno 29664  0โ„Žc0v 29665   Sโ„‹ csh 29669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-hilex 29740  ax-hfvadd 29741  ax-hv0cl 29744  ax-hfvmul 29746  ax-hvmul0 29751  ax-hfi 29820  ax-his1 29823  ax-his3 29825  ax-his4 29826
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-hnorm 29709  df-sh 29948
This theorem is referenced by:  norm1hex  29992  pjnmopi  30889
  Copyright terms: Public domain W3C validator