Theorem spansnmul 31599

Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansnmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsh 31596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ )
2		spansnid 31598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})))
4		shmulcl 31253	. . . . 5 ⊢ (((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
5	4	3com12 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
6	5	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
7	3, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
8	7	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2103  {csn 4654  ‘cfv 6579  (class class class)co 7454  ℂcc 11187   ℋchba 30954   ·_ℎ csm 30956   S_ℋ csh 30963  spancspn 30967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5313  ax-sep 5327  ax-nul 5334  ax-pow 5393  ax-pr 5457  ax-un 7775  ax-inf2 9715  ax-cc 10509  ax-cnex 11245  ax-resscn 11246  ax-1cn 11247  ax-icn 11248  ax-addcl 11249  ax-addrcl 11250  ax-mulcl 11251  ax-mulrcl 11252  ax-mulcom 11253  ax-addass 11254  ax-mulass 11255  ax-distr 11256  ax-i2m1 11257  ax-1ne0 11258  ax-1rid 11259  ax-rnegex 11260  ax-rrecex 11261  ax-cnre 11262  ax-pre-lttri 11263  ax-pre-lttrn 11264  ax-pre-ltadd 11265  ax-pre-mulgt0 11266  ax-pre-sup 11267  ax-addf 11268  ax-mulf 11269  ax-hilex 31034  ax-hfvadd 31035  ax-hvcom 31036  ax-hvass 31037  ax-hv0cl 31038  ax-hvaddid 31039  ax-hfvmul 31040  ax-hvmulid 31041  ax-hvmulass 31042  ax-hvdistr1 31043  ax-hvdistr2 31044  ax-hvmul0 31045  ax-hfi 31114  ax-his1 31117  ax-his2 31118  ax-his3 31119  ax-his4 31120  ax-hcompl 31237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3384  df-reu 3385  df-rab 3440  df-v 3486  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4354  df-if 4555  df-pw 4630  df-sn 4655  df-pr 4657  df-tp 4659  df-op 4661  df-uni 4938  df-int 4979  df-iun 5027  df-iin 5028  df-br 5177  df-opab 5239  df-mpt 5260  df-tr 5294  df-id 5604  df-eprel 5610  df-po 5618  df-so 5619  df-fr 5661  df-se 5662  df-we 5663  df-xp 5712  df-rel 5713  df-cnv 5714  df-co 5715  df-dm 5716  df-rn 5717  df-res 5718  df-ima 5719  df-pred 6338  df-ord 6404  df-on 6405  df-lim 6406  df-suc 6407  df-iota 6531  df-fun 6581  df-fn 6582  df-f 6583  df-f1 6584  df-fo 6585  df-f1o 6586  df-fv 6587  df-isom 6588  df-riota 7410  df-ov 7457  df-oprab 7458  df-mpo 7459  df-of 7719  df-om 7909  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8207  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8432  df-rdg 8471  df-1o 8527  df-2o 8528  df-oadd 8531  df-omul 8532  df-er 8768  df-map 8891  df-pm 8892  df-ixp 8961  df-en 9009  df-dom 9010  df-sdom 9011  df-fin 9012  df-fsupp 9437  df-fi 9485  df-sup 9516  df-inf 9517  df-oi 9584  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11331  df-mnf 11332  df-xr 11333  df-ltxr 11334  df-le 11335  df-sub 11527  df-neg 11528  df-div 11953  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-7 12366  df-8 12367  df-9 12368  df-n0 12559  df-z 12645  df-dec 12764  df-uz 12909  df-q 13019  df-rp 13063  df-xneg 13180  df-xadd 13181  df-xmul 13182  df-ioo 13416  df-ico 13418  df-icc 13419  df-fz 13573  df-fzo 13717  df-fl 13848  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14385  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15740  df-struct 17200  df-sets 17217  df-slot 17235  df-ndx 17247  df-base 17265  df-ress 17294  df-plusg 17330  df-mulr 17331  df-starv 17332  df-sca 17333  df-vsca 17334  df-ip 17335  df-tset 17336  df-ple 17337  df-ds 17339  df-unif 17340  df-hom 17341  df-cco 17342  df-rest 17488  df-topn 17489  df-0g 17507  df-gsum 17508  df-topgen 17509  df-pt 17510  df-prds 17513  df-xrs 17568  df-qtop 17573  df-imas 17574  df-xps 17576  df-mre 17650  df-mrc 17651  df-acs 17653  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-submnd 18825  df-mulg 19114  df-cntz 19363  df-cmn 19830  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-cnfld 21394  df-top 22925  df-topon 22942  df-topsp 22964  df-bases 22978  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-lm 23262  df-haus 23348  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-xms 24355  df-ms 24356  df-tms 24357  df-cfil 25312  df-cau 25313  df-cmet 25314  df-grpo 30528  df-gid 30529  df-ginv 30530  df-gdiv 30531  df-ablo 30580  df-vc 30594  df-nv 30627  df-va 30630  df-ba 30631  df-sm 30632  df-0v 30633  df-vs 30634  df-nmcv 30635  df-ims 30636  df-dip 30736  df-ssp 30757  df-ph 30848  df-cbn 30898  df-hnorm 31003  df-hba 31004  df-hvsub 31006  df-hlim 31007  df-hcau 31008  df-sh 31242  df-ch 31256  df-oc 31287  df-ch0 31288  df-span 31344

This theorem is referenced by:  spanunsni  31614