Theorem spansnmul 32145

Description: A scalar product with a vector belongs to the span of its singleton. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spansnmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansnmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsh 32142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ )
2		spansnid 32144	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
3	1, 2	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})))
4		shmulcl 31799	. . . . 5 ⊢ (((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
5	4	3com12 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
6	5	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
7	3, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))
8	7	ancoms 464	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 ·ℎ 𝐴) ∈ (span‘{𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11176   ℋchba 31500   ·_ℎ csm 31502   S_ℋ csh 31509  spancspn 31513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10491  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-pre-sup 11256  ax-addf 11257  ax-mulf 11258  ax-hilex 31580  ax-hfvadd 31581  ax-hvcom 31582  ax-hvass 31583  ax-hv0cl 31584  ax-hvaddid 31585  ax-hfvmul 31586  ax-hvmulid 31587  ax-hvmulass 31588  ax-hvdistr1 31589  ax-hvdistr2 31590  ax-hvmul0 31591  ax-hfi 31660  ax-his1 31663  ax-his2 31664  ax-his3 31665  ax-his4 31666  ax-hcompl 31783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 9998  df-acn 10001  df-pnf 11323  df-mnf 11324  df-xr 11325  df-ltxr 11326  df-le 11327  df-sub 11521  df-neg 11522  df-div 11952  df-nn 12314  df-2 12383  df-3 12384  df-4 12385  df-5 12386  df-6 12387  df-7 12388  df-8 12389  df-9 12390  df-n0 12585  df-z 12672  df-dec 12793  df-uz 12944  df-q 13054  df-rp 13099  df-xneg 13219  df-xadd 13220  df-xmul 13221  df-ioo 13458  df-ico 13460  df-icc 13461  df-fz 13618  df-fzo 13766  df-fl 13909  df-seq 14122  df-exp 14182  df-hash 14452  df-cj 15243  df-re 15244  df-im 15245  df-sqrt 15379  df-abs 15380  df-clim 15632  df-rlim 15633  df-sum 15831  df-struct 17302  df-sets 17319  df-slot 17337  df-ndx 17349  df-base 17365  df-ress 17386  df-plusg 17418  df-mulr 17419  df-starv 17420  df-sca 17421  df-vsca 17422  df-ip 17423  df-tset 17424  df-ple 17425  df-ds 17427  df-unif 17428  df-hom 17429  df-cco 17430  df-rest 17570  df-topn 17571  df-0g 17589  df-gsum 17590  df-topgen 17591  df-pt 17592  df-prds 17595  df-xrs 17651  df-qtop 17656  df-imas 17657  df-xps 17659  df-mre 17733  df-mrc 17734  df-acs 17736  df-mgm 18793  df-sgrp 18885  df-mnd 18901  df-submnd 18956  df-mulg 19255  df-cntz 19508  df-cmn 19973  df-psmet 21647  df-xmet 21648  df-met 21649  df-bl 21650  df-mopn 21651  df-fbas 21652  df-fg 21653  df-cnfld 21656  df-top 23189  df-topon 23206  df-topsp 23228  df-bases 23241  df-cld 23314  df-ntr 23315  df-cls 23316  df-nei 23393  df-cn 23522  df-cnp 23523  df-lm 23524  df-haus 23610  df-tx 23858  df-hmeo 24051  df-fil 24142  df-fm 24234  df-flim 24235  df-flf 24236  df-xms 24616  df-ms 24617  df-tms 24618  df-cfil 25553  df-cau 25554  df-cmet 25555  df-grpo 31074  df-gid 31075  df-ginv 31076  df-gdiv 31077  df-ablo 31126  df-vc 31140  df-nv 31173  df-va 31176  df-ba 31177  df-sm 31178  df-0v 31179  df-vs 31180  df-nmcv 31181  df-ims 31182  df-dip 31282  df-ssp 31303  df-ph 31394  df-cbn 31444  df-hnorm 31549  df-hba 31550  df-hvsub 31552  df-hlim 31553  df-hcau 31554  df-sh 31788  df-ch 31802  df-oc 31833  df-ch0 31834  df-span 31890

This theorem is used by:  spanunsni  32160