Theorem spansni 29907

Description: The span of a singleton in Hilbert space equals its closure. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
spansn.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansni	⊢ (span‘{𝐴}) = (⊥‘(⊥‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		snssi 4747	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
3		spanssoc 29699	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → (span‘{𝐴}) ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (span‘{𝐴}) ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴}))
5	1	elexi 3450	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5	snss 4725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦)
7		shmulcl 29568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦)
8	7	3expia 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
9	8	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
10	6, 9	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
11		eleq1 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
12	11	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → (({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦)))
13	10, 12	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	ralrimdva 3115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
15	14	rexlimiv 3211	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
16	1	h1de2ci 29906	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴))
17		vex 3435	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	elspani 29893	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
19	1, 2, 18	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
20	15, 16, 19	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) → 𝑥 ∈ (span‘{𝐴}))
21	20	ssriv 3930	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ⊆ (span‘{𝐴})
22	4, 21	eqssi 3942	1 ⊢ (span‘{𝐴}) = (⊥‘(⊥‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3892  {csn 4567  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℂcc 10862   ℋchba 29269   ·_ℎ csm 29271   S_ℋ csh 29278  ⊥cort 29280  spancspn 29282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369  ax-cc 10184  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941  ax-pre-sup 10942  ax-addf 10943  ax-mulf 10944  ax-hilex 29349  ax-hfvadd 29350  ax-hvcom 29351  ax-hvass 29352  ax-hv0cl 29353  ax-hvaddid 29354  ax-hfvmul 29355  ax-hvmulid 29356  ax-hvmulass 29357  ax-hvdistr1 29358  ax-hvdistr2 29359  ax-hvmul0 29360  ax-hfi 29429  ax-his1 29432  ax-his2 29433  ax-his3 29434  ax-his4 29435  ax-hcompl 29552

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-supp 7963  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-2o 8283  df-oadd 8286  df-omul 8287  df-er 8473  df-map 8592  df-pm 8593  df-ixp 8661  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-fsupp 9099  df-fi 9140  df-sup 9171  df-inf 9172  df-oi 9239  df-card 9690  df-acn 9693  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-div 11625  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-uz 12574  df-q 12680  df-rp 12722  df-xneg 12839  df-xadd 12840  df-xmul 12841  df-ioo 13074  df-ico 13076  df-icc 13077  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-fl 13502  df-seq 13712  df-exp 13773  df-hash 14035  df-cj 14800  df-re 14801  df-im 14802  df-sqrt 14936  df-abs 14937  df-clim 15187  df-rlim 15188  df-sum 15388  df-struct 16838  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-starv 16967  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-tset 16971  df-ple 16972  df-ds 16974  df-unif 16975  df-hom 16976  df-cco 16977  df-rest 17123  df-topn 17124  df-0g 17142  df-gsum 17143  df-topgen 17144  df-pt 17145  df-prds 17148  df-xrs 17203  df-qtop 17208  df-imas 17209  df-xps 17211  df-mre 17285  df-mrc 17286  df-acs 17288  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-submnd 18421  df-mulg 18691  df-cntz 18913  df-cmn 19378  df-psmet 20579  df-xmet 20580  df-met 20581  df-bl 20582  df-mopn 20583  df-fbas 20584  df-fg 20585  df-cnfld 20588  df-top 22033  df-topon 22050  df-topsp 22072  df-bases 22086  df-cld 22160  df-ntr 22161  df-cls 22162  df-nei 22239  df-cn 22368  df-cnp 22369  df-lm 22370  df-haus 22456  df-tx 22703  df-hmeo 22896  df-fil 22987  df-fm 23079  df-flim 23080  df-flf 23081  df-xms 23463  df-ms 23464  df-tms 23465  df-cfil 24409  df-cau 24410  df-cmet 24411  df-grpo 28843  df-gid 28844  df-ginv 28845  df-gdiv 28846  df-ablo 28895  df-vc 28909  df-nv 28942  df-va 28945  df-ba 28946  df-sm 28947  df-0v 28948  df-vs 28949  df-nmcv 28950  df-ims 28951  df-dip 29051  df-ssp 29072  df-ph 29163  df-cbn 29213  df-hnorm 29318  df-hba 29319  df-hvsub 29321  df-hlim 29322  df-hcau 29323  df-sh 29557  df-ch 29571  df-oc 29602  df-ch0 29603  df-span 29659

This theorem is referenced by:  elspansni  29908  spansn  29909