Theorem spansni 28756

Description: The span of a singleton in Hilbert space equals its closure. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
spansn.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansni	⊢ (span‘{𝐴}) = (⊥‘(⊥‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		snssi 4475	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
3		spanssoc 28548	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → (span‘{𝐴}) ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (span‘{𝐴}) ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴}))
5	1	elexi 3365	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5	snss 4452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦)
7		shmulcl 28415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦)
8	7	3expia 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
9	8	ancoms 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
10	6, 9	syl5bir 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
11		eleq1 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
12	11	imbi2d 329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → (({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦)))
13	10, 12	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	ralrimdva 3118	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
15	14	rexlimiv 3175	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
16	1	h1de2ci 28755	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴))
17		vex 3354	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	elspani 28742	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
19	1, 2, 18	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
20	15, 16, 19	3imtr4i 281	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) → 𝑥 ∈ (span‘{𝐴}))
21	20	ssriv 3756	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ⊆ (span‘{𝐴})
22	4, 21	eqssi 3768	1 ⊢ (span‘{𝐴}) = (⊥‘(⊥‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723  {csn 4317  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140   ℋchil 28116   ·_ℎ csm 28118   S_ℋ csh 28125  ⊥cort 28127  spancspn 28129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-span 28508

This theorem is referenced by:  elspansni  28757  spansn  28758