Theorem spansni 31439

Description: The span of a singleton in Hilbert space equals its closure. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
spansn.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansni	⊢ (span‘{𝐴}) = (⊥‘(⊥‘{𝐴}))

Proof of Theorem spansni

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		snssi 4813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
3		spanssoc 31231	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → (span‘{𝐴}) ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴})))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ (span‘{𝐴}) ⊆ (⊥‘(⊥‘{𝐴}))
5	1	elexi 3482	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5	snss 4791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦)
7		shmulcl 31100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑦) → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦)
8	7	3expia 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
9	8	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
10	6, 9	biimtrrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
11		eleq1 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦))
12	11	imbi2d 339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → (({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦) ↔ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → (𝑧 ·ℎ 𝐴) ∈ 𝑦)))
13	10, 12	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ Sℋ ) → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	ralrimdva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
15	14	rexlimiv 3137	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
16	1	h1de2ci 31438	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ↔ ∃𝑧 ∈ ℂ 𝑥 = (𝑧 ·ℎ 𝐴))
17		vex 3465	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	elspani 31425	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ⊆ ℋ → (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
19	1, 2, 18	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (span‘{𝐴}) ↔ ∀𝑦 ∈ Sℋ ({𝐴} ⊆ 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
20	15, 16, 19	3imtr4i 291	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) → 𝑥 ∈ (span‘{𝐴}))
21	20	ssriv 3980	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘{𝐴})) ⊆ (span‘{𝐴})
22	4, 21	eqssi 3993	1 ⊢ (span‘{𝐴}) = (⊥‘(⊥‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944  {csn 4630  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138   ℋchba 30801   ·_ℎ csm 30803   S_ℋ csh 30810  ⊥cort 30812  spancspn 30814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967  ax-hcompl 31084

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cfil 25227  df-cau 25228  df-cmet 25229  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-dip 30583  df-ssp 30604  df-ph 30695  df-cbn 30745  df-hnorm 30850  df-hba 30851  df-hvsub 30853  df-hlim 30854  df-hcau 30855  df-sh 31089  df-ch 31103  df-oc 31134  df-ch0 31135  df-span 31191

This theorem is referenced by:  elspansni  31440  spansn  31441