MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssneg 28134
Description: Surreal absolute value of the negative. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
abssneg (ðī ∈ No → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))

Proof of Theorem abssneg
StepHypRef Expression
1 negnegs 27949 . . . 4 (ðī ∈ No → ( -us ‘( -us ‘ðī)) = ðī)
21adantr 480 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → ( -us ‘( -us ‘ðī)) = ðī)
3 negscl 27941 . . . 4 (ðī ∈ No → ( -us ‘ðī) ∈ No )
4 0sno 27752 . . . . . . . 8 0s ∈ No
54a1i 11 . . . . . . 7 (ðī ∈ No → 0s ∈ No )
6 id 22 . . . . . . 7 (ðī ∈ No → ðī ∈ No )
75, 6slenegd 27953 . . . . . 6 (ðī ∈ No → ( 0s â‰Īs ðī ↔ ( -us ‘ðī) â‰Īs ( -us ‘ 0s )))
8 negs0s 27932 . . . . . . 7 ( -us ‘ 0s ) = 0s
98breq2i 5150 . . . . . 6 (( -us ‘ðī) â‰Īs ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s )
107, 9bitrdi 287 . . . . 5 (ðī ∈ No → ( 0s â‰Īs ðī ↔ ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s ))
1110biimpa 476 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s )
12 abssnid 28130 . . . 4 ((( -us ‘ðī) ∈ No ∧ ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s ) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘( -us ‘ðī)))
133, 11, 12syl2an2r 684 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘( -us ‘ðī)))
14 abssid 28128 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → (abss‘ðī) = ðī)
152, 13, 143eqtr4d 2778 . 2 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))
166, 5slenegd 27953 . . . . . 6 (ðī ∈ No → (ðī â‰Īs 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) â‰Īs ( -us ‘ðī)))
178breq1i 5149 . . . . . 6 (( -us ‘ 0s ) â‰Īs ( -us ‘ðī) ↔ 0s â‰Īs ( -us ‘ðī))
1816, 17bitrdi 287 . . . . 5 (ðī ∈ No → (ðī â‰Īs 0s ↔ 0s â‰Īs ( -us ‘ðī)))
1918biimpa 476 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → 0s â‰Īs ( -us ‘ðī))
20 abssid 28128 . . . 4 ((( -us ‘ðī) ∈ No ∧ 0s â‰Īs ( -us ‘ðī)) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘ðī))
213, 19, 20syl2an2r 684 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘ðī))
22 abssnid 28130 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → (abss‘ðī) = ( -us ‘ðī))
2321, 22eqtr4d 2771 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))
24 sletric 27690 . . 3 (( 0s ∈ No ∧ ðī ∈ No ) → ( 0s â‰Īs ðī âˆĻ ðī â‰Īs 0s ))
254, 24mpan 689 . 2 (ðī ∈ No → ( 0s â‰Īs ðī âˆĻ ðī â‰Īs 0s ))
2615, 23, 25mpjaodan 957 1 (ðī ∈ No → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   âˆĻ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  â€˜cfv 6542   No csur 27566   â‰Īs csle 27670   0s c0s 27748   -us cnegs 27925  absscabss 28124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sle 27671  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750  df-made 27767  df-old 27768  df-left 27770  df-right 27771  df-norec 27848  df-norec2 27859  df-adds 27870  df-negs 27927  df-abss 28125
This theorem is referenced by:  absslt  28136
  Copyright terms: Public domain W3C validator