MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssneg 28060
Description: Surreal absolute value of the negative. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
abssneg (ðī ∈ No → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))

Proof of Theorem abssneg
StepHypRef Expression
1 negnegs 27875 . . . 4 (ðī ∈ No → ( -us ‘( -us ‘ðī)) = ðī)
21adantr 480 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → ( -us ‘( -us ‘ðī)) = ðī)
3 negscl 27867 . . . 4 (ðī ∈ No → ( -us ‘ðī) ∈ No )
4 0sno 27678 . . . . . . . 8 0s ∈ No
54a1i 11 . . . . . . 7 (ðī ∈ No → 0s ∈ No )
6 id 22 . . . . . . 7 (ðī ∈ No → ðī ∈ No )
75, 6slenegd 27879 . . . . . 6 (ðī ∈ No → ( 0s â‰Īs ðī ↔ ( -us ‘ðī) â‰Īs ( -us ‘ 0s )))
8 negs0s 27858 . . . . . . 7 ( -us ‘ 0s ) = 0s
98breq2i 5147 . . . . . 6 (( -us ‘ðī) â‰Īs ( -us ‘ 0s ) ↔ ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s )
107, 9bitrdi 287 . . . . 5 (ðī ∈ No → ( 0s â‰Īs ðī ↔ ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s ))
1110biimpa 476 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s )
12 abssnid 28056 . . . 4 ((( -us ‘ðī) ∈ No ∧ ( -us ‘ðī) â‰Īs 0s ) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘( -us ‘ðī)))
133, 11, 12syl2an2r 682 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘( -us ‘ðī)))
14 abssid 28054 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → (abss‘ðī) = ðī)
152, 13, 143eqtr4d 2774 . 2 ((ðī ∈ No ∧ 0s â‰Īs ðī) → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))
166, 5slenegd 27879 . . . . . 6 (ðī ∈ No → (ðī â‰Īs 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) â‰Īs ( -us ‘ðī)))
178breq1i 5146 . . . . . 6 (( -us ‘ 0s ) â‰Īs ( -us ‘ðī) ↔ 0s â‰Īs ( -us ‘ðī))
1816, 17bitrdi 287 . . . . 5 (ðī ∈ No → (ðī â‰Īs 0s ↔ 0s â‰Īs ( -us ‘ðī)))
1918biimpa 476 . . . 4 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → 0s â‰Īs ( -us ‘ðī))
20 abssid 28054 . . . 4 ((( -us ‘ðī) ∈ No ∧ 0s â‰Īs ( -us ‘ðī)) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘ðī))
213, 19, 20syl2an2r 682 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → (abss‘( -us ‘ðī)) = ( -us ‘ðī))
22 abssnid 28056 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → (abss‘ðī) = ( -us ‘ðī))
2321, 22eqtr4d 2767 . 2 ((ðī ∈ No ∧ ðī â‰Īs 0s ) → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))
24 sletric 27616 . . 3 (( 0s ∈ No ∧ ðī ∈ No ) → ( 0s â‰Īs ðī âˆĻ ðī â‰Īs 0s ))
254, 24mpan 687 . 2 (ðī ∈ No → ( 0s â‰Īs ðī âˆĻ ðī â‰Īs 0s ))
2615, 23, 25mpjaodan 955 1 (ðī ∈ No → (abss‘( -us ‘ðī)) = (abss‘ðī))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   âˆĻ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  â€˜cfv 6534   No csur 27492   â‰Īs csle 27596   0s c0s 27674   -us cnegs 27851  absscabss 28050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8662  df-no 27495  df-slt 27496  df-bday 27497  df-sle 27597  df-sslt 27633  df-scut 27635  df-0s 27676  df-made 27693  df-old 27694  df-left 27696  df-right 27697  df-norec 27774  df-norec2 27785  df-adds 27796  df-negs 27853  df-abss 28051
This theorem is referenced by:  absslt  28062
  Copyright terms: Public domain W3C validator