Theorem sn-addlt0d 43265

Description: The sum of negative numbers is negative. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addlt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-addlt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-addlt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
sn-addlt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-addlt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 0)

Proof of Theorem sn-addlt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addlt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-addlt0d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		0red 11222	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		sn-addlt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
6		sn-ltaddneg 43261	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐴))
7	2, 1, 6	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐴))
8	5, 7	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 𝐴)
9		sn-addlt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
10	3, 1, 4, 8, 9	lttrd 11382	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111   + caddc 11114   < clt 11254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-2 12314  df-3 12315  df-resub 43160

This theorem is used by:  sn-nnne0  43267