Theorem sn-addlt0d 42439

Description: The sum of negative numbers is negative. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addlt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-addlt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-addlt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
sn-addlt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)

Assertion

Ref	Expression
sn-addlt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 0)

Proof of Theorem sn-addlt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn-addlt0d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		sn-addlt0d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		0red 11246	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5		sn-addlt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 0)
6		sn-ltaddneg 42435	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐴))
7	2, 1, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) < 𝐴))
8	5, 7	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 𝐴)
9		sn-addlt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
10	3, 1, 4, 8, 9	lttrd 11404	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℝcr 11136  0cc0 11137   + caddc 11140   < clt 11277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-2 12311  df-3 12312  df-resub 42359

This theorem is referenced by:  sn-nnne0  42441