Theorem sn-addgt0d 41903

Description: The sum of positive numbers is positive. Proof of addgt0d 11793 without ax-mulcom 11176. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sn-addgt0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
sn-addgt0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
sn-addgt0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
sn-addgt0d.2	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sn-addgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem sn-addgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11221	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		sn-addgt0d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		sn-addgt0d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	readdcld 11247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5		sn-addgt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
6		sn-addgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7		sn-ltaddpos 41897	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
8	3, 2, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
9	6, 8	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
10	1, 2, 4, 5, 9	lttrd 11379	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-2 12279  df-3 12280  df-resub 41822

This theorem is referenced by:  sn-nnne0  41904