Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-addgt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-addgt0d 42066
Description: The sum of positive numbers is positive. Proof of addgt0d 11817 without ax-mulcom 11200. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-addgt0d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
sn-addgt0d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
sn-addgt0d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
sn-addgt0d.2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sn-addgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem sn-addgt0d
StepHypRef Expression
1 0red 11245 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 sn-addgt0d.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 sn-addgt0d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 11271 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5 sn-addgt0d.1 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
6 sn-addgt0d.2 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐵)
7 sn-ltaddpos 42060 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
83, 2, 7syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
96, 8mpbid 231 . 2 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
101, 2, 4, 5, 9lttrd 11403 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  cr 11135  0cc0 11136   + caddc 11139   < clt 11276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-ltxr 11281  df-2 12303  df-3 12304  df-resub 41985
This theorem is referenced by:  sn-nnne0  42067
  Copyright terms: Public domain W3C validator