Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-addgt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-addgt0d 40818
Description: The sum of positive numbers is positive. Proof of addgt0d 11688 without ax-mulcom 11073. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sn-addgt0d.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
sn-addgt0d.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
sn-addgt0d.1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
sn-addgt0d.2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sn-addgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem sn-addgt0d
StepHypRef Expression
1 0red 11116 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2 sn-addgt0d.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 sn-addgt0d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 11142 . 2 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5 sn-addgt0d.1 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
6 sn-addgt0d.2 . . 3 (𝜑 → 0 < 𝐵)
7 sn-ltaddpos 40812 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
83, 2, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (0 < 𝐵𝐴 < (𝐴 + 𝐵)))
96, 8mpbid 231 . 2 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
101, 2, 4, 5, 9lttrd 11274 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009   + caddc 11012   < clt 11147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-2 12174  df-3 12175  df-resub 40737
This theorem is referenced by:  sn-nnne0  40819
  Copyright terms: Public domain W3C validator