Theorem sqmid3api 43085

Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqmid3api.a	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n	⊢ 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b	⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sqmid3api	⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqmid3api.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqmid3api.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11683	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4		sqmid3api.b	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
5	4, 4	oveq12i 7435	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
6	1, 1	mulcli 11234	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
7	2, 2	mulcli 11234	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
8	1, 2	mulcli 11234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
9	8, 8	addcli 11233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
10	6, 7, 9	add32i 11452	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
11	1, 2	addcli 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
12	1, 11, 2	adddii 11239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
13	4	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14		sqmid3api.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
16	15	oveq2i 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
17	1, 1, 2	adddii 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq1i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
19	6, 8, 8	addassi 11237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
20	18, 19	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
21	12, 16, 20	3eqtr3ri 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
22	21	oveq1i 7433	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
23	10, 22	eqtri 2789	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
24	3, 5, 23	3eqtr3i 2797	1 ⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   · cmul 11123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  sqn5i  43087