Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqmid3api Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqmid3api 37986
Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqmid3api.a 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
sqmid3api (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api
StepHypRef Expression
1 sqmid3api.a . . 3 𝐴 ∈ ℂ
2 sqmid3api.n . . 3 𝑁 ∈ ℂ
31, 2, 1, 2muladdi 10772 . 2 ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4 sqmid3api.b . . 3 (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
54, 4oveq12i 6889 . 2 ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
61, 1mulcli 10335 . . . 4 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
72, 2mulcli 10335 . . . 4 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
81, 2mulcli 10335 . . . . 5 (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
98, 8addcli 10334 . . . 4 ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
106, 7, 9add32i 10548 . . 3 (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
111, 2addcli 10334 . . . . . 6 (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
121, 11, 2adddii 10340 . . . . 5 (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
134oveq1i 6887 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14 sqmid3api.c . . . . . . 7 (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
1513, 14eqtri 2820 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
1615oveq2i 6888 . . . . 5 (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
171, 1, 2adddii 10340 . . . . . . 7 (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
1817oveq1i 6887 . . . . . 6 ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
196, 8, 8addassi 10338 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
2018, 19eqtri 2820 . . . . 5 ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
2112, 16, 203eqtr3ri 2829 . . . 4 ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
2221oveq1i 6887 . . 3 (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
2310, 22eqtri 2820 . 2 (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
243, 5, 233eqtr3i 2828 1 (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6877  cc 10221   + caddc 10226   · cmul 10228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4628  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-ov 6880  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-ltxr 10367
This theorem is referenced by:  sqn5i  37987
  Copyright terms: Public domain W3C validator