Theorem sqmid3api 42266

Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqmid3api.a	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n	⊢ 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b	⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sqmid3api	⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqmid3api.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqmid3api.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11635	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4		sqmid3api.b	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
5	4, 4	oveq12i 7401	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
6	1, 1	mulcli 11187	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
7	2, 2	mulcli 11187	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
8	1, 2	mulcli 11187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
9	8, 8	addcli 11186	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
10	6, 7, 9	add32i 11404	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
11	1, 2	addcli 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
12	1, 11, 2	adddii 11192	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
13	4	oveq1i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14		sqmid3api.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
16	15	oveq2i 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
17	1, 1, 2	adddii 11192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq1i 7399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
19	6, 8, 8	addassi 11190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
20	18, 19	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
21	12, 16, 20	3eqtr3ri 2762	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
22	21	oveq1i 7399	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
23	10, 22	eqtri 2753	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
24	3, 5, 23	3eqtr3i 2761	1 ⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072   + caddc 11077   · cmul 11079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-ltxr 11219

This theorem is referenced by:  sqn5i  42268