Theorem sqmid3api 42333

Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqmid3api.a	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n	⊢ 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b	⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sqmid3api	⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqmid3api.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqmid3api.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11688	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4		sqmid3api.b	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
5	4, 4	oveq12i 7417	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
6	1, 1	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
7	2, 2	mulcli 11242	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
8	1, 2	mulcli 11242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
9	8, 8	addcli 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
10	6, 7, 9	add32i 11459	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
11	1, 2	addcli 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
12	1, 11, 2	adddii 11247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
13	4	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14		sqmid3api.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
16	15	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
17	1, 1, 2	adddii 11247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq1i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
19	6, 8, 8	addassi 11245	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
20	18, 19	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
21	12, 16, 20	3eqtr3ri 2767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
22	21	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
23	10, 22	eqtri 2758	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
24	3, 5, 23	3eqtr3i 2766	1 ⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127   + caddc 11132   · cmul 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  sqn5i  42335