Theorem sqmid3api 42297

Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqmid3api.a	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n	⊢ 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b	⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sqmid3api	⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqmid3api.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqmid3api.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11712	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4		sqmid3api.b	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
5	4, 4	oveq12i 7443	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
6	1, 1	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
7	2, 2	mulcli 11266	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
8	1, 2	mulcli 11266	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
9	8, 8	addcli 11265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
10	6, 7, 9	add32i 11483	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
11	1, 2	addcli 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
12	1, 11, 2	adddii 11271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
13	4	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14		sqmid3api.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
16	15	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
17	1, 1, 2	adddii 11271	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
19	6, 8, 8	addassi 11269	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
20	18, 19	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
21	12, 16, 20	3eqtr3ri 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
22	21	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
23	10, 22	eqtri 2763	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
24	3, 5, 23	3eqtr3i 2771	1 ⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151   + caddc 11156   · cmul 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  sqn5i  42299