Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqmid3api Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqmid3api 41992
Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqmid3api.a 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
sqmid3api (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api
StepHypRef Expression
1 sqmid3api.a . . 3 𝐴 ∈ ℂ
2 sqmid3api.n . . 3 𝑁 ∈ ℂ
31, 2, 1, 2muladdi 11697 . 2 ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4 sqmid3api.b . . 3 (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
54, 4oveq12i 7431 . 2 ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
61, 1mulcli 11253 . . . 4 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
72, 2mulcli 11253 . . . 4 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
81, 2mulcli 11253 . . . . 5 (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
98, 8addcli 11252 . . . 4 ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
106, 7, 9add32i 11469 . . 3 (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
111, 2addcli 11252 . . . . . 6 (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
121, 11, 2adddii 11258 . . . . 5 (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
134oveq1i 7429 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14 sqmid3api.c . . . . . . 7 (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
1513, 14eqtri 2753 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
1615oveq2i 7430 . . . . 5 (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
171, 1, 2adddii 11258 . . . . . . 7 (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
1817oveq1i 7429 . . . . . 6 ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
196, 8, 8addassi 11256 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
2018, 19eqtri 2753 . . . . 5 ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
2112, 16, 203eqtr3ri 2762 . . . 4 ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
2221oveq1i 7429 . . 3 (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
2310, 22eqtri 2753 . 2 (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
243, 5, 233eqtr3i 2761 1 (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7419  cc 11138   + caddc 11143   · cmul 11145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285
This theorem is referenced by:  sqn5i  41994
  Copyright terms: Public domain W3C validator