Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqmid3api Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqmid3api 39047
Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqmid3api.a 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
sqmid3api (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api
StepHypRef Expression
1 sqmid3api.a . . 3 𝐴 ∈ ℂ
2 sqmid3api.n . . 3 𝑁 ∈ ℂ
31, 2, 1, 2muladdi 11079 . 2 ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4 sqmid3api.b . . 3 (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
54, 4oveq12i 7157 . 2 ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
61, 1mulcli 10636 . . . 4 (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
72, 2mulcli 10636 . . . 4 (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
81, 2mulcli 10636 . . . . 5 (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
98, 8addcli 10635 . . . 4 ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
106, 7, 9add32i 10851 . . 3 (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
111, 2addcli 10635 . . . . . 6 (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
121, 11, 2adddii 10641 . . . . 5 (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
134oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14 sqmid3api.c . . . . . . 7 (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
1513, 14eqtri 2841 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
1615oveq2i 7156 . . . . 5 (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
171, 1, 2adddii 10641 . . . . . . 7 (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
1817oveq1i 7155 . . . . . 6 ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
196, 8, 8addassi 10639 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
2018, 19eqtri 2841 . . . . 5 ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
2112, 16, 203eqtr3ri 2850 . . . 4 ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
2221oveq1i 7155 . . 3 (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
2310, 22eqtri 2841 . 2 (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
243, 5, 233eqtr3i 2849 1 (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523   + caddc 10528   · cmul 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668
This theorem is referenced by:  sqn5i  39049
  Copyright terms: Public domain W3C validator