Theorem sqmid3api 43434

Description: Value of the square of the middle term of a 3-term arithmetic progression. (Contributed by Steven Nguyen, 20-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqmid3api.a	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
sqmid3api.n	⊢ 𝑁 ∈ ℂ
sqmid3api.b	⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
sqmid3api.c	⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sqmid3api	⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem sqmid3api

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqmid3api.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqmid3api.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
3	1, 2, 1, 2	muladdi 11771	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
4		sqmid3api.b	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝑁) = 𝐵
5	4, 4	oveq12i 7433	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (𝐵 · 𝐵)
6	1, 1	mulcli 11320	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℂ
7	2, 2	mulcli 11320	. . . 4 ⊢ (𝑁 · 𝑁) ∈ ℂ
8	1, 2	mulcli 11320	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑁) ∈ ℂ
9	8, 8	addcli 11319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)) ∈ ℂ
10	6, 7, 9	add32i 11538	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁))
11	1, 2	addcli 11319	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 𝑁) ∈ ℂ
12	1, 11, 2	adddii 11325	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
13	4	oveq1i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = (𝐵 + 𝑁)
14		sqmid3api.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 + 𝑁) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁) = 𝐶
16	15	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ((𝐴 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴 · 𝐶)
17	1, 1, 2	adddii 11325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁))
18	17	oveq1i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁))
19	6, 8, 8	addassi 11323	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐴 · 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
20	18, 19	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · (𝐴 + 𝑁)) + (𝐴 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁)))
21	12, 16, 20	3eqtr3ri 2792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = (𝐴 · 𝐶)
22	21	oveq1i 7431	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) + (𝑁 · 𝑁)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
23	10, 22	eqtri 2783	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑁)) + ((𝐴 · 𝑁) + (𝐴 · 𝑁))) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))
24	3, 5, 23	3eqtr3i 2791	1 ⊢ (𝐵 · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝑁 · 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   + caddc 11207   · cmul 11209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352

This theorem is used by:  sqn5i  43436