Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 42320
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12748 . . . 4 𝐴0 ∈ ℕ0
43nn0cni 12538 . . 3 𝐴0 ∈ ℂ
5 5cn 12354 . . 3 5 ∈ ℂ
6 5nn0 12546 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7 eqid 2737 . . . 4 𝐴0 = 𝐴0
85addlidi 11449 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 12793 . . 3 (𝐴0 + 5) = 𝐴5
10 eqid 2737 . . . 4 𝐴5 = 𝐴5
11 eqid 2737 . . . 4 (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12 5p5e10 12804 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 12795 . . 3 (𝐴5 + 5) = (𝐴 + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 42318 . 2 (𝐴5 · 𝐴5) = ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15 2nn0 12543 . . 3 2 ∈ ℕ0
16 5t5e25 12836 . . 3 (5 · 5) = 25
17 peano2nn0 12566 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
1918, 2deccl 12748 . . 3 (𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
201, 18nn0mulcli 12564 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
211, 18, 2decmulnc 12800 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
221nn0cni 12538 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
2322mul01i 11451 . . . . . 6 (𝐴 · 0) = 0
2423deceq2i 12741 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
2521, 24eqtri 2765 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
26 2cn 12341 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2726addlidi 11449 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 12793 . . 3 ((𝐴 · (𝐴 + 1)0) + 2) = (𝐴 · (𝐴 + 1))2
2919nn0cni 12538 . . . . . 6 (𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
3029mul02i 11450 . . . . 5 (0 · (𝐴 + 1)0) = 0
3130oveq1i 7441 . . . 4 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2765 . . 3 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 12784 . 2 ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
3414, 33eqtri 2765 1 (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  5c5 12324  0cn0 12526  cdc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734
This theorem is referenced by:  sqn5ii  42321
  Copyright terms: Public domain W3C validator