Theorem sqn5i 42274

Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqn5i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
sqn5i	⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqn5i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12565	. . 3 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℂ
5		5cn 12381	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		5nn0 12573	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 = ;𝐴0
8	5	addlidi 11478	. . . 4 ⊢ (0 + 5) = 5
9	1, 2, 6, 7, 8	decaddi 12818	. . 3 ⊢ (;𝐴0 + 5) = ;𝐴5
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;𝐴5 = ;𝐴5
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12		5p5e10 12829	. . . 4 ⊢ (5 + 5) = ;10
13	1, 6, 6, 10, 11, 12	decaddci2 12820	. . 3 ⊢ (;𝐴5 + 5) = ;(𝐴 + 1)0
14	4, 5, 9, 13	sqmid3api 42272	. 2 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15		2nn0 12570	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5t5e25 12861	. . 3 ⊢ (5 · 5) = ;25
17		peano2nn0 12593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
19	18, 2	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
20	1, 18	nn0mulcli 12591	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
21	1, 18, 2	decmulnc 12825	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
22	1	nn0cni 12565	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	22	mul01i 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
24	23	deceq2i 12766	. . . . 5 ⊢ ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
25	21, 24	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
26		2cn 12368	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	addlidi 11478	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
28	20, 2, 15, 25, 27	decaddi 12818	. . 3 ⊢ ((𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) + 2) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))2
29	19	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
30	29	mul02i 11479	. . . . 5 ⊢ (0 · ;(𝐴 + 1)0) = 0
31	30	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
32	31, 8	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = 5
33	1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32	decma 12809	. 2 ⊢ ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25
34	14, 33	eqtri 2768	1 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  5c5 12351  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-dec 12759

This theorem is referenced by:  sqn5ii  42275