Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 40828
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (๐ด5 ยท ๐ด5) = (๐ด ยท (๐ด + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 0nn0 12435 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
31, 2deccl 12640 . . . 4 ๐ด0 โˆˆ โ„•0
43nn0cni 12432 . . 3 ๐ด0 โˆˆ โ„‚
5 5cn 12248 . . 3 5 โˆˆ โ„‚
6 5nn0 12440 . . . 4 5 โˆˆ โ„•0
7 eqid 2737 . . . 4 ๐ด0 = ๐ด0
85addid2i 11350 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 12685 . . 3 (๐ด0 + 5) = ๐ด5
10 eqid 2737 . . . 4 ๐ด5 = ๐ด5
11 eqid 2737 . . . 4 (๐ด + 1) = (๐ด + 1)
12 5p5e10 12696 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 12687 . . 3 (๐ด5 + 5) = (๐ด + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 40826 . 2 (๐ด5 ยท ๐ด5) = ((๐ด0 ยท (๐ด + 1)0) + (5 ยท 5))
15 2nn0 12437 . . 3 2 โˆˆ โ„•0
16 5t5e25 12728 . . 3 (5 ยท 5) = 25
17 peano2nn0 12460 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0
1918, 2deccl 12640 . . 3 (๐ด + 1)0 โˆˆ โ„•0
201, 18nn0mulcli 12458 . . . 4 (๐ด ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„•0
211, 18, 2decmulnc 12692 . . . . 5 (๐ด ยท (๐ด + 1)0) = (๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0)
221nn0cni 12432 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
2322mul01i 11352 . . . . . 6 (๐ด ยท 0) = 0
2423deceq2i 12633 . . . . 5 (๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0) = (๐ด ยท (๐ด + 1))0
2521, 24eqtri 2765 . . . 4 (๐ด ยท (๐ด + 1)0) = (๐ด ยท (๐ด + 1))0
26 2cn 12235 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
2726addid2i 11350 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 12685 . . 3 ((๐ด ยท (๐ด + 1)0) + 2) = (๐ด ยท (๐ด + 1))2
2919nn0cni 12432 . . . . . 6 (๐ด + 1)0 โˆˆ โ„‚
3029mul02i 11351 . . . . 5 (0 ยท (๐ด + 1)0) = 0
3130oveq1i 7372 . . . 4 ((0 ยท (๐ด + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2765 . . 3 ((0 ยท (๐ด + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 12676 . 2 ((๐ด0 ยท (๐ด + 1)0) + (5 ยท 5)) = (๐ด ยท (๐ด + 1))25
3414, 33eqtri 2765 1 (๐ด5 ยท ๐ด5) = (๐ด ยท (๐ด + 1))25
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  2c2 12215  5c5 12218  โ„•0cn0 12420  cdc 12625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626
This theorem is referenced by:  sqn5ii  40829
  Copyright terms: Public domain W3C validator