![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sqn5i | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqn5i.1 | โข ๐ด โ โ0 |
Ref | Expression |
---|---|
sqn5i | โข (;๐ด5 ยท ;๐ด5) = ;;(๐ด ยท (๐ด + 1))25 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sqn5i.1 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
2 | 0nn0 12486 | . . . . 5 โข 0 โ โ0 | |
3 | 1, 2 | deccl 12691 | . . . 4 โข ;๐ด0 โ โ0 |
4 | 3 | nn0cni 12483 | . . 3 โข ;๐ด0 โ โ |
5 | 5cn 12299 | . . 3 โข 5 โ โ | |
6 | 5nn0 12491 | . . . 4 โข 5 โ โ0 | |
7 | eqid 2724 | . . . 4 โข ;๐ด0 = ;๐ด0 | |
8 | 5 | addlidi 11401 | . . . 4 โข (0 + 5) = 5 |
9 | 1, 2, 6, 7, 8 | decaddi 12736 | . . 3 โข (;๐ด0 + 5) = ;๐ด5 |
10 | eqid 2724 | . . . 4 โข ;๐ด5 = ;๐ด5 | |
11 | eqid 2724 | . . . 4 โข (๐ด + 1) = (๐ด + 1) | |
12 | 5p5e10 12747 | . . . 4 โข (5 + 5) = ;10 | |
13 | 1, 6, 6, 10, 11, 12 | decaddci2 12738 | . . 3 โข (;๐ด5 + 5) = ;(๐ด + 1)0 |
14 | 4, 5, 9, 13 | sqmid3api 41725 | . 2 โข (;๐ด5 ยท ;๐ด5) = ((;๐ด0 ยท ;(๐ด + 1)0) + (5 ยท 5)) |
15 | 2nn0 12488 | . . 3 โข 2 โ โ0 | |
16 | 5t5e25 12779 | . . 3 โข (5 ยท 5) = ;25 | |
17 | peano2nn0 12511 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ0 โ (๐ด + 1) โ โ0) | |
18 | 1, 17 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (๐ด + 1) โ โ0 |
19 | 18, 2 | deccl 12691 | . . 3 โข ;(๐ด + 1)0 โ โ0 |
20 | 1, 18 | nn0mulcli 12509 | . . . 4 โข (๐ด ยท (๐ด + 1)) โ โ0 |
21 | 1, 18, 2 | decmulnc 12743 | . . . . 5 โข (๐ด ยท ;(๐ด + 1)0) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0) |
22 | 1 | nn0cni 12483 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ |
23 | 22 | mul01i 11403 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท 0) = 0 |
24 | 23 | deceq2i 12684 | . . . . 5 โข ;(๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))0 |
25 | 21, 24 | eqtri 2752 | . . . 4 โข (๐ด ยท ;(๐ด + 1)0) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))0 |
26 | 2cn 12286 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
27 | 26 | addlidi 11401 | . . . 4 โข (0 + 2) = 2 |
28 | 20, 2, 15, 25, 27 | decaddi 12736 | . . 3 โข ((๐ด ยท ;(๐ด + 1)0) + 2) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))2 |
29 | 19 | nn0cni 12483 | . . . . . 6 โข ;(๐ด + 1)0 โ โ |
30 | 29 | mul02i 11402 | . . . . 5 โข (0 ยท ;(๐ด + 1)0) = 0 |
31 | 30 | oveq1i 7412 | . . . 4 โข ((0 ยท ;(๐ด + 1)0) + 5) = (0 + 5) |
32 | 31, 8 | eqtri 2752 | . . 3 โข ((0 ยท ;(๐ด + 1)0) + 5) = 5 |
33 | 1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32 | decma 12727 | . 2 โข ((;๐ด0 ยท ;(๐ด + 1)0) + (5 ยท 5)) = ;;(๐ด ยท (๐ด + 1))25 |
34 | 14, 33 | eqtri 2752 | 1 โข (;๐ด5 ยท ;๐ด5) = ;;(๐ด ยท (๐ด + 1))25 |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7402 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 2c2 12266 5c5 12269 โ0cn0 12471 ;cdc 12676 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-ltxr 11252 df-sub 11445 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-dec 12677 |
This theorem is referenced by: sqn5ii 41728 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |