![]() |
Mathbox for Steven Nguyen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sqn5i | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqn5i.1 | โข ๐ด โ โ0 |
Ref | Expression |
---|---|
sqn5i | โข (;๐ด5 ยท ;๐ด5) = ;;(๐ด ยท (๐ด + 1))25 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sqn5i.1 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
2 | 0nn0 12435 | . . . . 5 โข 0 โ โ0 | |
3 | 1, 2 | deccl 12640 | . . . 4 โข ;๐ด0 โ โ0 |
4 | 3 | nn0cni 12432 | . . 3 โข ;๐ด0 โ โ |
5 | 5cn 12248 | . . 3 โข 5 โ โ | |
6 | 5nn0 12440 | . . . 4 โข 5 โ โ0 | |
7 | eqid 2737 | . . . 4 โข ;๐ด0 = ;๐ด0 | |
8 | 5 | addid2i 11350 | . . . 4 โข (0 + 5) = 5 |
9 | 1, 2, 6, 7, 8 | decaddi 12685 | . . 3 โข (;๐ด0 + 5) = ;๐ด5 |
10 | eqid 2737 | . . . 4 โข ;๐ด5 = ;๐ด5 | |
11 | eqid 2737 | . . . 4 โข (๐ด + 1) = (๐ด + 1) | |
12 | 5p5e10 12696 | . . . 4 โข (5 + 5) = ;10 | |
13 | 1, 6, 6, 10, 11, 12 | decaddci2 12687 | . . 3 โข (;๐ด5 + 5) = ;(๐ด + 1)0 |
14 | 4, 5, 9, 13 | sqmid3api 40826 | . 2 โข (;๐ด5 ยท ;๐ด5) = ((;๐ด0 ยท ;(๐ด + 1)0) + (5 ยท 5)) |
15 | 2nn0 12437 | . . 3 โข 2 โ โ0 | |
16 | 5t5e25 12728 | . . 3 โข (5 ยท 5) = ;25 | |
17 | peano2nn0 12460 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ0 โ (๐ด + 1) โ โ0) | |
18 | 1, 17 | ax-mp 5 | . . . 4 โข (๐ด + 1) โ โ0 |
19 | 18, 2 | deccl 12640 | . . 3 โข ;(๐ด + 1)0 โ โ0 |
20 | 1, 18 | nn0mulcli 12458 | . . . 4 โข (๐ด ยท (๐ด + 1)) โ โ0 |
21 | 1, 18, 2 | decmulnc 12692 | . . . . 5 โข (๐ด ยท ;(๐ด + 1)0) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0) |
22 | 1 | nn0cni 12432 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ |
23 | 22 | mul01i 11352 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท 0) = 0 |
24 | 23 | deceq2i 12633 | . . . . 5 โข ;(๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))0 |
25 | 21, 24 | eqtri 2765 | . . . 4 โข (๐ด ยท ;(๐ด + 1)0) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))0 |
26 | 2cn 12235 | . . . . 5 โข 2 โ โ | |
27 | 26 | addid2i 11350 | . . . 4 โข (0 + 2) = 2 |
28 | 20, 2, 15, 25, 27 | decaddi 12685 | . . 3 โข ((๐ด ยท ;(๐ด + 1)0) + 2) = ;(๐ด ยท (๐ด + 1))2 |
29 | 19 | nn0cni 12432 | . . . . . 6 โข ;(๐ด + 1)0 โ โ |
30 | 29 | mul02i 11351 | . . . . 5 โข (0 ยท ;(๐ด + 1)0) = 0 |
31 | 30 | oveq1i 7372 | . . . 4 โข ((0 ยท ;(๐ด + 1)0) + 5) = (0 + 5) |
32 | 31, 8 | eqtri 2765 | . . 3 โข ((0 ยท ;(๐ด + 1)0) + 5) = 5 |
33 | 1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32 | decma 12676 | . 2 โข ((;๐ด0 ยท ;(๐ด + 1)0) + (5 ยท 5)) = ;;(๐ด ยท (๐ด + 1))25 |
34 | 14, 33 | eqtri 2765 | 1 โข (;๐ด5 ยท ;๐ด5) = ;;(๐ด ยท (๐ด + 1))25 |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7362 0cc0 11058 1c1 11059 + caddc 11061 ยท cmul 11063 2c2 12215 5c5 12218 โ0cn0 12420 ;cdc 12625 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-ltxr 11201 df-sub 11394 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-4 12225 df-5 12226 df-6 12227 df-7 12228 df-8 12229 df-9 12230 df-n0 12421 df-dec 12626 |
This theorem is referenced by: sqn5ii 40829 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |