Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 38643
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 0nn0 11749 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11951 . . . 4 𝐴0 ∈ ℕ0
43nn0cni 11746 . . 3 𝐴0 ∈ ℂ
5 5cn 11562 . . 3 5 ∈ ℂ
6 5nn0 11754 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7 eqid 2793 . . . 4 𝐴0 = 𝐴0
85addid2i 10664 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 11996 . . 3 (𝐴0 + 5) = 𝐴5
10 eqid 2793 . . . 4 𝐴5 = 𝐴5
11 eqid 2793 . . . 4 (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12 5p5e10 12008 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 11998 . . 3 (𝐴5 + 5) = (𝐴 + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 38641 . 2 (𝐴5 · 𝐴5) = ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15 2nn0 11751 . . 3 2 ∈ ℕ0
16 5t5e25 12040 . . 3 (5 · 5) = 25
17 peano2nn0 11774 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
1918, 2deccl 11951 . . 3 (𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
201, 18nn0mulcli 11772 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
211, 18, 2decmulnc 12004 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
221nn0cni 11746 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
2322mul01i 10666 . . . . . 6 (𝐴 · 0) = 0
2423deceq2i 11944 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
2521, 24eqtri 2817 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
26 2cn 11549 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2726addid2i 10664 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 11996 . . 3 ((𝐴 · (𝐴 + 1)0) + 2) = (𝐴 · (𝐴 + 1))2
2919nn0cni 11746 . . . . . 6 (𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
3029mul02i 10665 . . . . 5 (0 · (𝐴 + 1)0) = 0
3130oveq1i 7017 . . . 4 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2817 . . 3 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 11987 . 2 ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
3414, 33eqtri 2817 1 (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1520  wcel 2079  (class class class)co 7007  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  2c2 11529  5c5 11532  0cn0 11734  cdc 11936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-ltxr 10515  df-sub 10708  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-dec 11937
This theorem is referenced by:  sqn5ii  38644
  Copyright terms: Public domain W3C validator