Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 42299
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12746 . . . 4 𝐴0 ∈ ℕ0
43nn0cni 12536 . . 3 𝐴0 ∈ ℂ
5 5cn 12352 . . 3 5 ∈ ℂ
6 5nn0 12544 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7 eqid 2735 . . . 4 𝐴0 = 𝐴0
85addlidi 11447 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 12791 . . 3 (𝐴0 + 5) = 𝐴5
10 eqid 2735 . . . 4 𝐴5 = 𝐴5
11 eqid 2735 . . . 4 (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12 5p5e10 12802 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 12793 . . 3 (𝐴5 + 5) = (𝐴 + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 42297 . 2 (𝐴5 · 𝐴5) = ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15 2nn0 12541 . . 3 2 ∈ ℕ0
16 5t5e25 12834 . . 3 (5 · 5) = 25
17 peano2nn0 12564 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
1918, 2deccl 12746 . . 3 (𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
201, 18nn0mulcli 12562 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
211, 18, 2decmulnc 12798 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
221nn0cni 12536 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
2322mul01i 11449 . . . . . 6 (𝐴 · 0) = 0
2423deceq2i 12739 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
2521, 24eqtri 2763 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
26 2cn 12339 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2726addlidi 11447 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 12791 . . 3 ((𝐴 · (𝐴 + 1)0) + 2) = (𝐴 · (𝐴 + 1))2
2919nn0cni 12536 . . . . . 6 (𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
3029mul02i 11448 . . . . 5 (0 · (𝐴 + 1)0) = 0
3130oveq1i 7441 . . . 4 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2763 . . 3 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 12782 . 2 ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
3414, 33eqtri 2763 1 (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  5c5 12322  0cn0 12524  cdc 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732
This theorem is referenced by:  sqn5ii  42300
  Copyright terms: Public domain W3C validator