Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 40020
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 0nn0 12105 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12308 . . . 4 𝐴0 ∈ ℕ0
43nn0cni 12102 . . 3 𝐴0 ∈ ℂ
5 5cn 11918 . . 3 5 ∈ ℂ
6 5nn0 12110 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7 eqid 2737 . . . 4 𝐴0 = 𝐴0
85addid2i 11020 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 12353 . . 3 (𝐴0 + 5) = 𝐴5
10 eqid 2737 . . . 4 𝐴5 = 𝐴5
11 eqid 2737 . . . 4 (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12 5p5e10 12364 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 12355 . . 3 (𝐴5 + 5) = (𝐴 + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 40018 . 2 (𝐴5 · 𝐴5) = ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15 2nn0 12107 . . 3 2 ∈ ℕ0
16 5t5e25 12396 . . 3 (5 · 5) = 25
17 peano2nn0 12130 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
1918, 2deccl 12308 . . 3 (𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
201, 18nn0mulcli 12128 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
211, 18, 2decmulnc 12360 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
221nn0cni 12102 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
2322mul01i 11022 . . . . . 6 (𝐴 · 0) = 0
2423deceq2i 12301 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
2521, 24eqtri 2765 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
26 2cn 11905 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2726addid2i 11020 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 12353 . . 3 ((𝐴 · (𝐴 + 1)0) + 2) = (𝐴 · (𝐴 + 1))2
2919nn0cni 12102 . . . . . 6 (𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
3029mul02i 11021 . . . . 5 (0 · (𝐴 + 1)0) = 0
3130oveq1i 7223 . . . 4 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2765 . . 3 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 12344 . 2 ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
3414, 33eqtri 2765 1 (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  2c2 11885  5c5 11888  0cn0 12090  cdc 12293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-dec 12294
This theorem is referenced by:  sqn5ii  40021
  Copyright terms: Public domain W3C validator