Theorem sqn5i 42655

Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqn5i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
sqn5i	⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqn5i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12425	. . 3 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℂ
5		5cn 12245	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		5nn0 12433	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 = ;𝐴0
8	5	addlidi 11333	. . . 4 ⊢ (0 + 5) = 5
9	1, 2, 6, 7, 8	decaddi 12679	. . 3 ⊢ (;𝐴0 + 5) = ;𝐴5
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;𝐴5 = ;𝐴5
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12		5p5e10 12690	. . . 4 ⊢ (5 + 5) = ;10
13	1, 6, 6, 10, 11, 12	decaddci2 12681	. . 3 ⊢ (;𝐴5 + 5) = ;(𝐴 + 1)0
14	4, 5, 9, 13	sqmid3api 42653	. 2 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15		2nn0 12430	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5t5e25 12722	. . 3 ⊢ (5 · 5) = ;25
17		peano2nn0 12453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
19	18, 2	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
20	1, 18	nn0mulcli 12451	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
21	1, 18, 2	decmulnc 12686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
22	1	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	22	mul01i 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
24	23	deceq2i 12627	. . . . 5 ⊢ ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
25	21, 24	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
26		2cn 12232	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	addlidi 11333	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
28	20, 2, 15, 25, 27	decaddi 12679	. . 3 ⊢ ((𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) + 2) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))2
29	19	nn0cni 12425	. . . . . 6 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
30	29	mul02i 11334	. . . . 5 ⊢ (0 · ;(𝐴 + 1)0) = 0
31	30	oveq1i 7378	. . . 4 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
32	31, 8	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = 5
33	1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32	decma 12670	. 2 ⊢ ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25
34	14, 33	eqtri 2760	1 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  5c5 12215  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-dec 12620

This theorem is referenced by:  sqn5ii  42656