Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 41727
Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (๐ด5 ยท ๐ด5) = (๐ด ยท (๐ด + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 0nn0 12486 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
31, 2deccl 12691 . . . 4 ๐ด0 โˆˆ โ„•0
43nn0cni 12483 . . 3 ๐ด0 โˆˆ โ„‚
5 5cn 12299 . . 3 5 โˆˆ โ„‚
6 5nn0 12491 . . . 4 5 โˆˆ โ„•0
7 eqid 2724 . . . 4 ๐ด0 = ๐ด0
85addlidi 11401 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 12736 . . 3 (๐ด0 + 5) = ๐ด5
10 eqid 2724 . . . 4 ๐ด5 = ๐ด5
11 eqid 2724 . . . 4 (๐ด + 1) = (๐ด + 1)
12 5p5e10 12747 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 12738 . . 3 (๐ด5 + 5) = (๐ด + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 41725 . 2 (๐ด5 ยท ๐ด5) = ((๐ด0 ยท (๐ด + 1)0) + (5 ยท 5))
15 2nn0 12488 . . 3 2 โˆˆ โ„•0
16 5t5e25 12779 . . 3 (5 ยท 5) = 25
17 peano2nn0 12511 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (๐ด + 1) โˆˆ โ„•0
1918, 2deccl 12691 . . 3 (๐ด + 1)0 โˆˆ โ„•0
201, 18nn0mulcli 12509 . . . 4 (๐ด ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„•0
211, 18, 2decmulnc 12743 . . . . 5 (๐ด ยท (๐ด + 1)0) = (๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0)
221nn0cni 12483 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
2322mul01i 11403 . . . . . 6 (๐ด ยท 0) = 0
2423deceq2i 12684 . . . . 5 (๐ด ยท (๐ด + 1))(๐ด ยท 0) = (๐ด ยท (๐ด + 1))0
2521, 24eqtri 2752 . . . 4 (๐ด ยท (๐ด + 1)0) = (๐ด ยท (๐ด + 1))0
26 2cn 12286 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
2726addlidi 11401 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 12736 . . 3 ((๐ด ยท (๐ด + 1)0) + 2) = (๐ด ยท (๐ด + 1))2
2919nn0cni 12483 . . . . . 6 (๐ด + 1)0 โˆˆ โ„‚
3029mul02i 11402 . . . . 5 (0 ยท (๐ด + 1)0) = 0
3130oveq1i 7412 . . . 4 ((0 ยท (๐ด + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2752 . . 3 ((0 ยท (๐ด + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 12727 . 2 ((๐ด0 ยท (๐ด + 1)0) + (5 ยท 5)) = (๐ด ยท (๐ด + 1))25
3414, 33eqtri 2752 1 (๐ด5 ยท ๐ด5) = (๐ด ยท (๐ด + 1))25
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  2c2 12266  5c5 12269  โ„•0cn0 12471  cdc 12676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677
This theorem is referenced by:  sqn5ii  41728
  Copyright terms: Public domain W3C validator