Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqn5i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqn5i 39494
 Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sqn5i.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
sqn5i (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i
StepHypRef Expression
1 sqn5i.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 0nn0 11902 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12103 . . . 4 𝐴0 ∈ ℕ0
43nn0cni 11899 . . 3 𝐴0 ∈ ℂ
5 5cn 11715 . . 3 5 ∈ ℂ
6 5nn0 11907 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7 eqid 2798 . . . 4 𝐴0 = 𝐴0
85addid2i 10819 . . . 4 (0 + 5) = 5
91, 2, 6, 7, 8decaddi 12148 . . 3 (𝐴0 + 5) = 𝐴5
10 eqid 2798 . . . 4 𝐴5 = 𝐴5
11 eqid 2798 . . . 4 (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12 5p5e10 12159 . . . 4 (5 + 5) = 10
131, 6, 6, 10, 11, 12decaddci2 12150 . . 3 (𝐴5 + 5) = (𝐴 + 1)0
144, 5, 9, 13sqmid3api 39492 . 2 (𝐴5 · 𝐴5) = ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15 2nn0 11904 . . 3 2 ∈ ℕ0
16 5t5e25 12191 . . 3 (5 · 5) = 25
17 peano2nn0 11927 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
181, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
1918, 2deccl 12103 . . 3 (𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
201, 18nn0mulcli 11925 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
211, 18, 2decmulnc 12155 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
221nn0cni 11899 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
2322mul01i 10821 . . . . . 6 (𝐴 · 0) = 0
2423deceq2i 12096 . . . . 5 (𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
2521, 24eqtri 2821 . . . 4 (𝐴 · (𝐴 + 1)0) = (𝐴 · (𝐴 + 1))0
26 2cn 11702 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2726addid2i 10819 . . . 4 (0 + 2) = 2
2820, 2, 15, 25, 27decaddi 12148 . . 3 ((𝐴 · (𝐴 + 1)0) + 2) = (𝐴 · (𝐴 + 1))2
2919nn0cni 11899 . . . . . 6 (𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
3029mul02i 10820 . . . . 5 (0 · (𝐴 + 1)0) = 0
3130oveq1i 7145 . . . 4 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
3231, 8eqtri 2821 . . 3 ((0 · (𝐴 + 1)0) + 5) = 5
331, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32decma 12139 . 2 ((𝐴0 · (𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
3414, 33eqtri 2821 1 (𝐴5 · 𝐴5) = (𝐴 · (𝐴 + 1))25
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  0cc0 10528  1c1 10529   + caddc 10531   · cmul 10533  2c2 11682  5c5 11685  ℕ0cn0 11887  ;cdc 12088 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-ltxr 10671  df-sub 10863  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-dec 12089 This theorem is referenced by:  sqn5ii  39495
 Copyright terms: Public domain W3C validator