Theorem sqn5i 40581

Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqn5i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
sqn5i	⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqn5i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0nn0 12349	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12553	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12346	. . 3 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℂ
5		5cn 12162	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		5nn0 12354	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 = ;𝐴0
8	5	addid2i 11264	. . . 4 ⊢ (0 + 5) = 5
9	1, 2, 6, 7, 8	decaddi 12598	. . 3 ⊢ (;𝐴0 + 5) = ;𝐴5
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;𝐴5 = ;𝐴5
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12		5p5e10 12609	. . . 4 ⊢ (5 + 5) = ;10
13	1, 6, 6, 10, 11, 12	decaddci2 12600	. . 3 ⊢ (;𝐴5 + 5) = ;(𝐴 + 1)0
14	4, 5, 9, 13	sqmid3api 40579	. 2 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15		2nn0 12351	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5t5e25 12641	. . 3 ⊢ (5 · 5) = ;25
17		peano2nn0 12374	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
19	18, 2	deccl 12553	. . 3 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
20	1, 18	nn0mulcli 12372	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
21	1, 18, 2	decmulnc 12605	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
22	1	nn0cni 12346	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	22	mul01i 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
24	23	deceq2i 12546	. . . . 5 ⊢ ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
25	21, 24	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
26		2cn 12149	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	addid2i 11264	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
28	20, 2, 15, 25, 27	decaddi 12598	. . 3 ⊢ ((𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) + 2) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))2
29	19	nn0cni 12346	. . . . . 6 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
30	29	mul02i 11265	. . . . 5 ⊢ (0 · ;(𝐴 + 1)0) = 0
31	30	oveq1i 7347	. . . 4 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
32	31, 8	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = 5
33	1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32	decma 12589	. 2 ⊢ ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25
34	14, 33	eqtri 2764	1 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7337  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  2c2 12129  5c5 12132  ℕ₀cn0 12334  ;cdc 12538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-sub 11308  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-dec 12539

This theorem is referenced by:  sqn5ii  40582