Theorem sqn5i 42388

Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqn5i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
sqn5i	⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqn5i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0nn0 12396	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12393	. . 3 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℂ
5		5cn 12213	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		5nn0 12401	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 = ;𝐴0
8	5	addlidi 11301	. . . 4 ⊢ (0 + 5) = 5
9	1, 2, 6, 7, 8	decaddi 12648	. . 3 ⊢ (;𝐴0 + 5) = ;𝐴5
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;𝐴5 = ;𝐴5
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12		5p5e10 12659	. . . 4 ⊢ (5 + 5) = ;10
13	1, 6, 6, 10, 11, 12	decaddci2 12650	. . 3 ⊢ (;𝐴5 + 5) = ;(𝐴 + 1)0
14	4, 5, 9, 13	sqmid3api 42386	. 2 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15		2nn0 12398	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5t5e25 12691	. . 3 ⊢ (5 · 5) = ;25
17		peano2nn0 12421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
19	18, 2	deccl 12603	. . 3 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
20	1, 18	nn0mulcli 12419	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
21	1, 18, 2	decmulnc 12655	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
22	1	nn0cni 12393	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	22	mul01i 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
24	23	deceq2i 12596	. . . . 5 ⊢ ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
25	21, 24	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
26		2cn 12200	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	addlidi 11301	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
28	20, 2, 15, 25, 27	decaddi 12648	. . 3 ⊢ ((𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) + 2) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))2
29	19	nn0cni 12393	. . . . . 6 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
30	29	mul02i 11302	. . . . 5 ⊢ (0 · ;(𝐴 + 1)0) = 0
31	30	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
32	31, 8	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = 5
33	1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32	decma 12639	. 2 ⊢ ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25
34	14, 33	eqtri 2754	1 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  5c5 12183  ℕ₀cn0 12381  ;cdc 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-dec 12589

This theorem is referenced by:  sqn5ii  42389