Theorem sqn5i 43163

Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqn5i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
sqn5i	⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

Proof of Theorem sqn5i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqn5i.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		0nn0 12546	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12543	. . 3 ⊢ ;𝐴0 ∈ ℂ
5		5cn 12356	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		5nn0 12551	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;𝐴0 = ;𝐴0
8	5	addlidi 11425	. . . 4 ⊢ (0 + 5) = 5
9	1, 2, 6, 7, 8	decaddi 12804	. . 3 ⊢ (;𝐴0 + 5) = ;𝐴5
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;𝐴5 = ;𝐴5
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) = (𝐴 + 1)
12		5p5e10 12815	. . . 4 ⊢ (5 + 5) = ;10
13	1, 6, 6, 10, 11, 12	decaddci2 12806	. . 3 ⊢ (;𝐴5 + 5) = ;(𝐴 + 1)0
14	4, 5, 9, 13	sqmid3api 43161	. 2 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5))
15		2nn0 12548	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		5t5e25 12847	. . 3 ⊢ (5 · 5) = ;25
17		peano2nn0 12571	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0
19	18, 2	deccl 12754	. . 3 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℕ0
20	1, 18	nn0mulcli 12569	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ0
21	1, 18, 2	decmulnc 12811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0)
22	1	nn0cni 12543	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
23	22	mul01i 11427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · 0) = 0
24	23	deceq2i 12747	. . . . 5 ⊢ ;(𝐴 · (𝐴 + 1))(𝐴 · 0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
25	21, 24	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))0
26		2cn 12343	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27	26	addlidi 11425	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
28	20, 2, 15, 25, 27	decaddi 12804	. . 3 ⊢ ((𝐴 · ;(𝐴 + 1)0) + 2) = ;(𝐴 · (𝐴 + 1))2
29	19	nn0cni 12543	. . . . . 6 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 ∈ ℂ
30	29	mul02i 11426	. . . . 5 ⊢ (0 · ;(𝐴 + 1)0) = 0
31	30	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = (0 + 5)
32	31, 8	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((0 · ;(𝐴 + 1)0) + 5) = 5
33	1, 2, 15, 6, 7, 16, 19, 28, 32	decma 12795	. 2 ⊢ ((;𝐴0 · ;(𝐴 + 1)0) + (5 · 5)) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25
34	14, 33	eqtri 2783	1 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322  5c5 12325  ℕ₀cn0 12531  ;cdc 12739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-dec 12740

This theorem is used by:  sqn5ii  43164