Theorem decaddcom 42298

Description: Commute ones place in addition. (Contributed by Steven Nguyen, 29-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddcom.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddcom.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddcom.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decaddcom	⊢ (;𝐴𝐵 + 𝐶) = (;𝐴𝐶 + 𝐵)

Proof of Theorem decaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decaddcom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)
6	1, 2, 3, 4, 5	decaddi 12791	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 + 𝐶) = ;𝐴(𝐵 + 𝐶)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ;𝐴𝐶
8	3	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9	2	nn0cni 12536	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
10	8, 9	addcomi 11450	. . 3 ⊢ (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶)
11	1, 3, 2, 7, 10	decaddi 12791	. 2 ⊢ (;𝐴𝐶 + 𝐵) = ;𝐴(𝐵 + 𝐶)
12	6, 11	eqtr4i 2766	1 ⊢ (;𝐴𝐵 + 𝐶) = (;𝐴𝐶 + 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  ;cdc 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732

This theorem is referenced by:  decpmul  42302