Theorem decaddcom 42854

Description: Commute ones place in addition. (Contributed by Steven Nguyen, 29-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddcom.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decaddcom.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decaddcom.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
decaddcom	⊢ (;𝐴𝐵 + 𝐶) = (;𝐴𝐶 + 𝐵)

Proof of Theorem decaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddcom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decaddcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3		decaddcom.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐶) = (𝐵 + 𝐶)
6	1, 2, 3, 4, 5	decaddi 12747	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 + 𝐶) = ;𝐴(𝐵 + 𝐶)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ;𝐴𝐶
8	3	nn0cni 12487	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
9	2	nn0cni 12487	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
10	8, 9	addcomi 11368	. . 3 ⊢ (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶)
11	1, 3, 2, 7, 10	decaddi 12747	. 2 ⊢ (;𝐴𝐶 + 𝐵) = ;𝐴(𝐵 + 𝐶)
12	6, 11	eqtr4i 2787	1 ⊢ (;𝐴𝐵 + 𝐶) = (;𝐴𝐶 + 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391   + caddc 11070  ℕ₀cn0 12475  ;cdc 12682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-dec 12683

This theorem is referenced by:  decpmul  42858