MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strov2rcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strov2rcl 17051
Description: Partial reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
strov2rcl.s 𝑆 = (𝐼𝐹𝑅)
strov2rcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
strov2rcl.f Rel dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
strov2rcl (𝑋𝐵𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem strov2rcl
StepHypRef Expression
1 strov2rcl.f . . 3 Rel dom 𝐹
2 strov2rcl.s . . 3 𝑆 = (𝐼𝐹𝑅)
3 strov2rcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
41, 2, 3elbasov 17050 . 2 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
54simpld 495 1 (𝑋𝐵𝐼 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-nn 12112  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044
This theorem is referenced by:  dsmmbas2  21096  frlmrcl  21116  mplrcl  21352  psropprmul  21561
  Copyright terms: Public domain W3C validator