Theorem elbasov 17157

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem elbasov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasov.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
3		elbasov.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
4	3	ovprc 7442	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋𝑂𝑌) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
6	5	fveq2d 6888	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
7		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		base0 17155	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  ∅c0 4317  dom cdm 5669  Rel wrel 5674  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-1cn 11167  ax-addcl 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-nn 12214  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151

This theorem is referenced by:  strov2rcl  17158  psrelbas  21834  psraddcl  21838  psraddclOLD  21839  psrmulcllem  21843  psrvscafval  21846  psrvscacl  21849  resspsradd  21873  resspsrmul  21874  cphsubrglem  25055  mdegcl  25955