Theorem elbasov 17423

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem elbasov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasov.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
3		elbasov.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
4	3	ovprc 7481	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋𝑂𝑌) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
6	5	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
7		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		base0 17421	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  dom cdm 5655  Rel wrel 5660  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-nn 12363  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417

This theorem is used by:  strov2rcl  17424  psrelbas  22273  psraddcl  22277  psrmulcllem  22283  psrvscafval  22286  psrvscacl  22289  resspsradd  22312  resspsrmul  22313  selvval  22459  ismhp  22491  psdval  22510  psdpw  22521  cphsubrglem  25528  frlmvscl  43759  mhmcopsr  43801  elxpcbasex2  50577