Theorem elbasov 17155

Description: Utility theorem: reverse closure for any structure defined as a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elbasov.o	⊢ Rel dom 𝑂
elbasov.s	⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
elbasov.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
elbasov	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Proof of Theorem elbasov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
2		elbasov.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑋𝑂𝑌)
3		elbasov.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
4	3	ovprc 7406	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋𝑂𝑌) = ∅)
5	2, 4	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
6	5	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
7		elbasov.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		base0 17153	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9	6, 7, 8	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
10	1, 9	nsyl2 141	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  dom cdm 5632  Rel wrel 5637  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149

This theorem is referenced by:  strov2rcl  17156  psrelbas  21902  psraddcl  21906  psraddclOLD  21907  psrmulcllem  21913  psrvscafval  21916  psrvscacl  21919  resspsradd  21942  resspsrmul  21943  selvval  22090  ismhp  22095  psdval  22114  psdpw  22125  cphsubrglem  25145  mhmcopsr  42911  elxpcbasex2  49603