MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmbas2 20406
Description: Base set of the direct sum module using the fndmin 6550 abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmbas2.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmbas2.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmbas2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓   𝑅,𝑓   𝑃,𝑓   𝑓,𝐼   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem dsmmbas2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmbas2.b . 2 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
2 dsmmbas2.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
32fveq2i 6414 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4 rabeq 3376 . . . . 5 ((Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin})
53, 4ax-mp 5 . . . 4 {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
6 simpll 784 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
7 fvco2 6498 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
86, 7sylan 576 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
98neeq2d 3031 . . . . . . . 8 ((((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
109rabbidva 3372 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
11 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
12 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
13 noel 4119 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑓 ∈ ∅
14 reldmprds 16424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Rel dom Xs
1514ovprc1 6916 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
1615fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
17 base0 16237 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ = (Base‘∅)
1816, 17syl6eqr 2851 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
1918eleq2d 2864 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
2013, 19mtbiri 319 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
2120con4i 114 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
2221adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
23 simplr 786 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼𝑉)
24 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
2511, 12, 22, 23, 6, 24prdsbasfn 16446 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
26 fn0g 17577 . . . . . . . . . . . 12 0g Fn V
27 dffn2 6258 . . . . . . . . . . . 12 (0g Fn V ↔ 0g:V⟶V)
2826, 27mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 0g:V⟶V
29 dffn2 6258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fn 𝐼𝑅:𝐼⟶V)
3029biimpi 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 Fn 𝐼𝑅:𝐼⟶V)
31 fco 6273 . . . . . . . . . . 11 ((0g:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (0g𝑅):𝐼⟶V)
3228, 30, 31sylancr 582 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Fn 𝐼 → (0g𝑅):𝐼⟶V)
3332ffnd 6257 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn 𝐼 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
3433ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
35 fndmdif 6547 . . . . . . . 8 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ (0g𝑅) Fn 𝐼) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)})
3625, 34, 35syl2anc 580 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)})
37 fndm 6201 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
38 rabeq 3376 . . . . . . . . 9 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 Fn 𝐼 → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4039ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4110, 36, 403eqtr4d 2843 . . . . . 6 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4241eleq1d 2863 . . . . 5 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → (dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
4342rabbidva 3372 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
445, 43syl5eq 2845 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
45 fnex 6710 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
46 eqid 2799 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
4746dsmmbase 20404 . . . 4 (𝑅 ∈ V → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
4845, 47syl 17 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
4944, 48eqtrd 2833 . 2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
501, 49syl5eq 2845 1 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  {crab 3093  Vcvv 3385  cdif 3766  c0 4115  dom cdm 5312  ccom 5316   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  Basecbs 16184  0gc0g 16415  Xscprds 16421  m cdsmm 20400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-prds 16423  df-dsmm 20401
This theorem is referenced by:  dsmmfi  20407  frlmbas  20424
  Copyright terms: Public domain W3C validator