MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmbas2 21757
Description: Base set of the direct sum module using the fndmin 7065 abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmbas2.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmbas2.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmbas2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓   𝑅,𝑓   𝑃,𝑓   𝑓,𝐼   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem dsmmbas2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmbas2.b . 2 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
2 dsmmbas2.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
32fveq2i 6909 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
43rabeqi 3450 . . . 4 {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
5 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
6 fvco2 7006 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
75, 6sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
87neeq2d 3001 . . . . . . . 8 ((((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
98rabbidva 3443 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
12 reldmprds 17493 . . . . . . . . . . 11 Rel dom Xs
1310, 11, 12strov2rcl 17255 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
1413adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼𝑉)
16 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1710, 11, 14, 15, 5, 16prdsbasfn 17516 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
18 fn0g 18676 . . . . . . . . . . . 12 0g Fn V
19 dffn2 6738 . . . . . . . . . . . 12 (0g Fn V ↔ 0g:V⟶V)
2018, 19mpbi 230 . . . . . . . . . . 11 0g:V⟶V
21 dffn2 6738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fn 𝐼𝑅:𝐼⟶V)
2221biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 Fn 𝐼𝑅:𝐼⟶V)
23 fco 6760 . . . . . . . . . . 11 ((0g:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (0g𝑅):𝐼⟶V)
2420, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Fn 𝐼 → (0g𝑅):𝐼⟶V)
2524ffnd 6737 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn 𝐼 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
265, 25syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
27 fndmdif 7062 . . . . . . . 8 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ (0g𝑅) Fn 𝐼) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)})
2817, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)})
29 fndm 6671 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
3029rabeqdv 3452 . . . . . . . 8 (𝑅 Fn 𝐼 → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
315, 30syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
329, 28, 313eqtr4d 2787 . . . . . 6 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
3332eleq1d 2826 . . . . 5 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → (dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
3433rabbidva 3443 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
354, 34eqtrid 2789 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
36 fnex 7237 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
37 eqid 2737 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
3837dsmmbase 21755 . . . 4 (𝑅 ∈ V → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3936, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
4035, 39eqtrd 2777 . 2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
411, 40eqtrid 2789 1 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  dom cdm 5685  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Xscprds 17490  m cdsmm 21751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-dsmm 21752
This theorem is referenced by:  dsmmfi  21758  frlmbas  21775
  Copyright terms: Public domain W3C validator