Theorem submuladdd 33211

Description: The product of a difference and a sum. Cf. addmulsub 11700. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Proof of Theorem submuladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		submuladdd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		submuladdd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcld 11252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)))
8		addmulsub 11700	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
9	4, 5, 1, 2, 8	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
10	4, 1	mulcomd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶))
11	5, 1	mulcomd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
12	10, 11	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
13	4, 2	mulcomd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
14	5, 2	mulcomd 11254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	13, 14	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)))
16	12, 15	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))
17	7, 9, 16	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  constrrtlc1  34242