Theorem submuladdd 33085

Description: The product of a difference and a sum. Cf. addmulsub 11671. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Proof of Theorem submuladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		submuladdd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		submuladdd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcld 11223	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 11225	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)))
8		addmulsub 11671	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
9	4, 5, 1, 2, 8	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
10	4, 1	mulcomd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶))
11	5, 1	mulcomd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
12	10, 11	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
13	4, 2	mulcomd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
14	5, 2	mulcomd 11225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	13, 14	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)))
16	12, 15	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))
17	7, 9, 16	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438

This theorem is referenced by:  constrrtlc1  34122