Theorem submuladdd 32834

Description: The product of a difference and a sum. Cf. addmulsub 11608. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Proof of Theorem submuladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		submuladdd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		submuladdd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcld 11160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 11162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)))
8		addmulsub 11608	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
9	4, 5, 1, 2, 8	syl22anc 845	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
10	4, 1	mulcomd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶))
11	5, 1	mulcomd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
12	10, 11	oveq12d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
13	4, 2	mulcomd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
14	5, 2	mulcomd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	13, 14	oveq12d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)))
16	12, 15	oveq12d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))
17	7, 9, 16	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7359  ℂcc 11032   + caddc 11037   · cmul 11039   − cmin 11373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-sub 11375

This theorem is referenced by:  constrrtlc1  33926