Theorem submuladdd 32747

Description: The product of a difference and a sum. Cf. addmulsub 11590. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
submuladdd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
submuladdd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
submuladdd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
submuladdd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
submuladdd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Proof of Theorem submuladdd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		submuladdd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		submuladdd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		submuladdd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcld 11142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcomd 11144	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)))
8		addmulsub 11590	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
9	4, 5, 1, 2, 8	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))))
10	4, 1	mulcomd 11144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐶))
11	5, 1	mulcomd 11144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) = (𝐴 · 𝐷))
12	10, 11	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)))
13	4, 2	mulcomd 11144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐶))
14	5, 2	mulcomd 11144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
15	13, 14	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷)))
16	12, 15	oveq12d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)) − ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))
17	7, 9, 16	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) − ((𝐵 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11015   + caddc 11020   · cmul 11022   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357

This theorem is referenced by:  constrrtlc1  33817