Theorem constrrtlc1 33713

Description: In the construction of constructible numbers, line-circle intersections are roots of a quadratic equation, non-degenerate case. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constrrtlc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
constrrtlc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
constrrtlc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
constrrtlc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
constrrtlc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
constrrtlc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
constrrtlc.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
constrrtlc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
constrrtlc.2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
constrrtlc.q	⊢ 𝑄 = (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))
constrrtlc.m	⊢ 𝑀 = (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄)
constrrtlc.n	⊢ 𝑁 = (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄)
constrrtlc1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
constrrtlc1	⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0 ∧ 𝑄 ≠ 0))

Proof of Theorem constrrtlc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrrtlc.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		constrrtlc.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
3	1, 2	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 15090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5		constrrtlc.q	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑄 = (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))
6		constrrtlc.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
7	1, 6	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	cjcld 15090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
9	8, 4	subcld 11463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
10	7, 3	subcld 11463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
11		constrrtlc1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
12	11	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
13	7, 3, 12	subne0d 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
14	9, 10, 13	divcld 11888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
15	5, 14	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
16	3, 15	mulcld 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑄) ∈ ℂ)
17	4, 16	subcld 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) ∈ ℂ)
18		constrrtlc.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
19	1, 18	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
20	19	cjcld 15090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝐶) ∈ ℂ)
21	17, 20	subcld 11463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ)
22	19, 15	mulcld 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑄) ∈ ℂ)
23	21, 22	subcld 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) ∈ ℂ)
24	7, 3	cjsubd 32678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) = ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))
25	10, 13	cjne0d 15097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ≠ 0)
26	24, 25	eqnetrrd 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) ≠ 0)
27	9, 10, 26, 13	divne0d 11904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ≠ 0)
28	5	neeq1i 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ≠ 0 ↔ (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ≠ 0)
29	27, 28	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
30	23, 15, 29	divcld 11888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) ∈ ℂ)
31		constrrtlc.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
32		constrrtlc.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
33	32	recnd 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
34	33, 10	mulcld 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
35	3, 34	addcld 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ℂ)
36	31, 35	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
37	30, 36	mulcomd 11124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) · 𝑋) = (𝑋 · (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄)))
38		constrrtlc.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄)
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄))
40	39	oveq1d 7355	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) = ((((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) · 𝑋))
41	36, 23, 15, 29	divassd 11923	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄) = (𝑋 · (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄)))
42	37, 40, 41	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) = ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄))
43		constrrtlc.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄)
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄))
45	42, 44	oveq12d 7358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁) = (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄) + (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄)))
46	36, 23	mulcld 11123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) ∈ ℂ)
47	19, 21	mulcld 11123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ)
48	36	sqvald 14038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
49	48	oveq1d 7355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑄) = ((𝑋 · 𝑋) · 𝑄))
50	36, 36, 15	mulassd 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑋) · 𝑄) = (𝑋 · (𝑋 · 𝑄)))
51	49, 50	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑄) = (𝑋 · (𝑋 · 𝑄)))
52	36, 15	mulcld 11123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑄) ∈ ℂ)
53	36, 52	mulcld 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) ∈ ℂ)
54	51, 53	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑄) ∈ ℂ)
55	54, 46, 47	addsubd 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))))
56	51	oveq1d 7355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))))
57	36, 21, 22	subdid 11564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) = ((𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) − (𝑋 · (𝐶 · 𝑄))))
58	56, 57	oveq12d 7358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + ((𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) − (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))))
59	36, 21	mulcld 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ)
60	36, 22	mulcld 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)) ∈ ℂ)
61	53, 59, 47, 60	addsub4d 11510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + ((𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) − (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))))
62	36, 19, 52, 21	submuladdd 32675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))))
63		constrrtlc.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹)))
64	63	oveq1d 7355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝐶))↑2) = ((abs‘(𝐸 − 𝐹))↑2))
65	36, 19	subcld 11463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ)
66	65	absvalsqd 15339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝐶))↑2) = ((𝑋 − 𝐶) · (∗‘(𝑋 − 𝐶))))
67		constrrtlc.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆)
68	1, 67	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
69		constrrtlc.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)
70	1, 69	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
71	68, 70	subcld 11463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐹) ∈ ℂ)
72	71	absvalsqd 15339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐸 − 𝐹))↑2) = ((𝐸 − 𝐹) · (∗‘(𝐸 − 𝐹))))
73	64, 66, 72	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · (∗‘(𝑋 − 𝐶))) = ((𝐸 − 𝐹) · (∗‘(𝐸 − 𝐹))))
74	31	fvoveq1d 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 𝐶)) = (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)))
75	35, 19	cjsubd 32678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)))
76	3, 34	cjaddd 15114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
77	33, 10	cjmuld 15115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))))
78	32	cjred 15120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = 𝑇)
79	3, 34, 31	mvrladdd 11521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
80	79, 34	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
81	80, 33, 10, 13	divmul3d 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑇 ↔ (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
82	79, 81	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑇)
83	78, 82	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))
84	83, 24	oveq12d 7358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))))
85	80, 10, 9, 13	div32d 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) = ((𝑋 − 𝐴) · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
86	5	oveq2i 7351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 − 𝐴) · 𝑄) = ((𝑋 − 𝐴) · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))
87	85, 86	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) = ((𝑋 − 𝐴) · 𝑄))
88	36, 3, 15	subdird 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝑄) = ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄)))
89	84, 87, 88	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴))) = ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄)))
90	77, 89	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄)))
91	90	oveq2d 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄))))
92	4, 52, 16	addsub12d 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄))) = ((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄))))
93	76, 91, 92	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄))))
94	93	oveq1d 7355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = (((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄))) − (∗‘𝐶)))
95	52, 17, 20	addsubassd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄))) − (∗‘𝐶)) = ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))
96	75, 94, 95	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))
97	74, 96	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 𝐶)) = ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))
98	97	oveq2d 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · (∗‘(𝑋 − 𝐶))) = ((𝑋 − 𝐶) · ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))))
99	68, 70	cjsubd 32678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐸 − 𝐹)) = ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))
100	99	oveq2d 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐹) · (∗‘(𝐸 − 𝐹))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))
101	73, 98, 100	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))
102	19, 36, 15	mul12d 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) = (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))
103	102	oveq1d 7355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑋 · (𝐶 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))))
104	60, 47, 103	comraddd 11318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄))))
105	104	oveq2d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))))
106	62, 101, 105	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))
107	58, 61, 106	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))
108	55, 107	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))
109	54, 46	addcld 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) ∈ ℂ)
110	109, 47	subcld 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) ∈ ℂ)
111	108, 110	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))) ∈ ℂ)
112	47, 111	addcld 11122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) ∈ ℂ)
113	112	negcld 11450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) ∈ ℂ)
114	46, 113, 15, 29	divdird 11926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄) = (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄) + (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄)))
115	45, 114	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁) = (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄))
116	115	oveq2d 7356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = ((𝑋↑2) + (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄)))
117	36	sqcld 14039	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
118	46, 113	addcld 11122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) ∈ ℂ)
119	117, 15, 118, 29	muldivdid 32676	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) / 𝑄) = ((𝑋↑2) + (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄)))
120	54, 46, 113	addassd 11125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) = (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))))
121	109, 112	negsubd 11469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) = ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))))
122	109, 47, 111	subsub4d 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) = ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))))
123	110, 108	subeq0bd 11534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) = 0)
124	121, 122, 123	3eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) = 0)
125	120, 124	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) = 0)
126	54, 118	addcld 11122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) ∈ ℂ)
127	126, 15, 29	diveq0ad 11898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) / 𝑄) = 0 ↔ (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) = 0))
128	125, 127	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) / 𝑄) = 0)
129	116, 119, 128	3eqtr2d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0)
130	129, 29	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0 ∧ 𝑄 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  ℝcr 10996  0cc0 10997   + caddc 11000   · cmul 11002   − cmin 11335  -cneg 11336   / cdiv 11765  2c2 12171  ↑cexp 13956  ∗ccj 14990  abscabs 15128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130

This theorem is referenced by:  constrfin  33727  constrelextdg2  33728