Proof of Theorem constrrtlc1
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | constrrtlc.s |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ) |
| 2 | | constrrtlc.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆) |
| 3 | 1, 2 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 4 | 3 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (∗‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 5 | | constrrtlc.q |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑄 = (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) |
| 6 | | constrrtlc.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆) |
| 7 | 1, 6 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 8 | 7 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (∗‘𝐵) ∈
ℂ) |
| 9 | 8, 4 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) ∈
ℂ) |
| 10 | 7, 3 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 11 | | constrrtlc1.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 12 | 11 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴) |
| 13 | 7, 3, 12 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0) |
| 14 | 9, 10, 13 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 15 | 5, 14 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ) |
| 16 | 3, 15 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑄) ∈ ℂ) |
| 17 | 4, 16 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) ∈ ℂ) |
| 18 | | constrrtlc.c |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆) |
| 19 | 1, 18 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
| 20 | 19 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (∗‘𝐶) ∈
ℂ) |
| 21 | 17, 20 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) ∈ ℂ) |
| 22 | 19, 15 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑄) ∈ ℂ) |
| 23 | 21, 22 | subcld 11620 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) ∈ ℂ) |
| 24 | 7, 3 | cjsubd 32752 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) = ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) |
| 25 | 10, 13 | cjne0d 15242 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − 𝐴)) ≠ 0) |
| 26 | 24, 25 | eqnetrrd 3009 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) ≠ 0) |
| 27 | 9, 10, 26, 13 | divne0d 12059 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ≠ 0) |
| 28 | 5 | neeq1i 3005 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑄 ≠ 0 ↔
(((∗‘𝐵)
− (∗‘𝐴))
/ (𝐵 − 𝐴)) ≠ 0) |
| 29 | 27, 28 | sylibr 234 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0) |
| 30 | 23, 15, 29 | divcld 12043 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) ∈ ℂ) |
| 31 | | constrrtlc.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) |
| 32 | | constrrtlc.t |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 33 | 32 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
| 34 | 33, 10 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
| 35 | 3, 34 | addcld 11280 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ℂ) |
| 36 | 31, 35 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 37 | 30, 36 | mulcomd 11282 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) · 𝑋) = (𝑋 · (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄))) |
| 38 | | constrrtlc.m |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑀 = (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) |
| 39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑀 = (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄)) |
| 40 | 39 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) = ((((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄) · 𝑋)) |
| 41 | 36, 23, 15, 29 | divassd 12078 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄) = (𝑋 · (((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)) / 𝑄))) |
| 42 | 37, 40, 41 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) = ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄)) |
| 43 | | constrrtlc.n |
. . . . . . 7
⊢ 𝑁 = (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄) |
| 44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 = (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄)) |
| 45 | 42, 44 | oveq12d 7449 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁) = (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄) + (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄))) |
| 46 | 36, 23 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) ∈ ℂ) |
| 47 | 19, 21 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ) |
| 48 | 36 | sqvald 14183 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋)) |
| 49 | 48 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑄) = ((𝑋 · 𝑋) · 𝑄)) |
| 50 | 36, 36, 15 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑋) · 𝑄) = (𝑋 · (𝑋 · 𝑄))) |
| 51 | 49, 50 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑄) = (𝑋 · (𝑋 · 𝑄))) |
| 52 | 36, 15 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑄) ∈ ℂ) |
| 53 | 36, 52 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) ∈ ℂ) |
| 54 | 51, 53 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) · 𝑄) ∈ ℂ) |
| 55 | 54, 46, 47 | addsubd 11641 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))))) |
| 56 | 51 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))) |
| 57 | 36, 21, 22 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) = ((𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) − (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))) |
| 58 | 56, 57 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + ((𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) − (𝑋 · (𝐶 · 𝑄))))) |
| 59 | 36, 21 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) ∈ ℂ) |
| 60 | 36, 22 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)) ∈ ℂ) |
| 61 | 53, 59, 47, 60 | addsub4d 11667 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + ((𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) − (𝑋 · (𝐶 · 𝑄))))) |
| 62 | 36, 19, 52, 21 | submuladdd 32750 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))))) |
| 63 | | constrrtlc.2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) = (abs‘(𝐸 − 𝐹))) |
| 64 | 63 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝐶))↑2) = ((abs‘(𝐸 − 𝐹))↑2)) |
| 65 | 36, 19 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐶) ∈ ℂ) |
| 66 | 65 | absvalsqd 15481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝐶))↑2) = ((𝑋 − 𝐶) · (∗‘(𝑋 − 𝐶)))) |
| 67 | | constrrtlc.e |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑆) |
| 68 | 1, 67 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
| 69 | | constrrtlc.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆) |
| 70 | 1, 69 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ) |
| 71 | 68, 70 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐸 − 𝐹) ∈ ℂ) |
| 72 | 71 | absvalsqd 15481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐸 − 𝐹))↑2) = ((𝐸 − 𝐹) · (∗‘(𝐸 − 𝐹)))) |
| 73 | 64, 66, 72 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · (∗‘(𝑋 − 𝐶))) = ((𝐸 − 𝐹) · (∗‘(𝐸 − 𝐹)))) |
| 74 | 31 | fvoveq1d 7453 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 𝐶)) = (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶))) |
| 75 | 35, 19 | cjsubd 32752 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶))) |
| 76 | 3, 34 | cjaddd 15259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))) |
| 77 | 33, 10 | cjmuld 15260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = ((∗‘𝑇) · (∗‘(𝐵 − 𝐴)))) |
| 78 | 32 | cjred 15265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = 𝑇) |
| 79 | 3, 34, 31 | mvrladdd 11676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) |
| 80 | 79, 34 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ) |
| 81 | 80, 33, 10, 13 | divmul3d 12077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑇 ↔ (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) |
| 82 | 79, 81 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑇) |
| 83 | 78, 82 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))) |
| 84 | 83, 24 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) ·
(∗‘(𝐵 −
𝐴))) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)))) |
| 85 | 80, 10, 9, 13 | div32d 12066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) = ((𝑋 − 𝐴) · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))) |
| 86 | 5 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 − 𝐴) · 𝑄) = ((𝑋 − 𝐴) · (((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))) |
| 87 | 85, 86 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · ((∗‘𝐵) − (∗‘𝐴))) = ((𝑋 − 𝐴) · 𝑄)) |
| 88 | 36, 3, 15 | subdird 11720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝑄) = ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄))) |
| 89 | 84, 87, 88 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) ·
(∗‘(𝐵 −
𝐴))) = ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄))) |
| 90 | 77, 89 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) = ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄))) |
| 91 | 90 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + (∗‘(𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((∗‘𝐴) + ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄)))) |
| 92 | 4, 52, 16 | addsub12d 11643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((∗‘𝐴) + ((𝑋 · 𝑄) − (𝐴 · 𝑄))) = ((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)))) |
| 93 | 76, 91, 92 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) = ((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)))) |
| 94 | 93 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((∗‘(𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) − (∗‘𝐶)) = (((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄))) − (∗‘𝐶))) |
| 95 | 52, 17, 20 | addsubassd 11640 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝑄) + ((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄))) − (∗‘𝐶)) = ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) |
| 96 | 75, 94, 95 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐶)) = ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) |
| 97 | 74, 96 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 − 𝐶)) = ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) |
| 98 | 97 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · (∗‘(𝑋 − 𝐶))) = ((𝑋 − 𝐶) · ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))) |
| 99 | 68, 70 | cjsubd 32752 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐸 − 𝐹)) = ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))) |
| 100 | 99 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐹) · (∗‘(𝐸 − 𝐹))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) |
| 101 | 73, 98, 100 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐶) · ((𝑋 · 𝑄) + (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) |
| 102 | 19, 36, 15 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) = (𝑋 · (𝐶 · 𝑄))) |
| 103 | 102 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝑋 · (𝐶 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))) |
| 104 | 60, 47, 103 | comraddd 11475 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))) |
| 105 | 104 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))))) = (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄))))) |
| 106 | 62, 101, 105 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑋 · 𝑄)) + (𝑋 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + (𝑋 · (𝐶 · 𝑄)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) |
| 107 | 58, 61, 106 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) |
| 108 | 55, 107 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) = ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) |
| 109 | 54, 46 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) ∈ ℂ) |
| 110 | 109, 47 | subcld 11620 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) ∈ ℂ) |
| 111 | 108, 110 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))) ∈
ℂ) |
| 112 | 47, 111 | addcld 11280 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) ∈
ℂ) |
| 113 | 112 | negcld 11607 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) ∈
ℂ) |
| 114 | 46, 113, 15, 29 | divdird 12081 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄) = (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) / 𝑄) + (-((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) / 𝑄))) |
| 115 | 45, 114 | eqtr4d 2780 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁) = (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄)) |
| 116 | 115 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = ((𝑋↑2) + (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄))) |
| 117 | 36 | sqcld 14184 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ) |
| 118 | 46, 113 | addcld 11280 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) ∈
ℂ) |
| 119 | 117, 15, 118, 29 | muldivdid 32751 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) / 𝑄) = ((𝑋↑2) + (((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) / 𝑄))) |
| 120 | 54, 46, 113 | addassd 11283 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) = (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))))) |
| 121 | 109, 112 | negsubd 11626 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) = ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) |
| 122 | 109, 47, 111 | subsub4d 11651 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) = ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − ((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) |
| 123 | 110, 108 | subeq0bd 11689 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) − (𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)))) − ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))) = 0) |
| 124 | 121, 122,
123 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + (𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄)))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹))))) = 0) |
| 125 | 120, 124 | eqtr3d 2779 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) = 0) |
| 126 | 54, 118 | addcld 11280 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) ∈
ℂ) |
| 127 | 126, 15, 29 | diveq0ad 12053 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) / 𝑄) = 0 ↔ (((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) = 0)) |
| 128 | 125, 127 | mpbird 257 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((𝑋↑2) · 𝑄) + ((𝑋 · ((((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶)) − (𝐶 · 𝑄))) + -((𝐶 · (((∗‘𝐴) − (𝐴 · 𝑄)) − (∗‘𝐶))) + ((𝐸 − 𝐹) · ((∗‘𝐸) − (∗‘𝐹)))))) / 𝑄) = 0) |
| 129 | 116, 119,
128 | 3eqtr2d 2783 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0) |
| 130 | 129, 29 | jca 511 |
1
⊢ (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 · 𝑋) + 𝑁)) = 0 ∧ 𝑄 ≠ 0)) |