Theorem muldivdid 11934

Description: Distribution of division over addition with a multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
muldivdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muldivdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
muldivdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
muldivdid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
muldivdid	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem muldivdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muldivdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		muldivdid.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcomd 11255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) + 𝐶))
5	4	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵))
6		muldivdid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		muldivdid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8		muldivdir 11932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
9	1, 6, 2, 7, 8	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
10	5, 9	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  0cc0 11125   + caddc 11128   · cmul 11130   / cdiv 11896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897

This theorem is used by:  constrrtlc1  34227  ppivalnnnprmge6  48514