Theorem muldivdid 11913

Description: Distribution of division over addition with a multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
muldivdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muldivdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
muldivdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
muldivdid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
muldivdid	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem muldivdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muldivdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		muldivdid.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcomd 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) + 𝐶))
5	4	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵))
6		muldivdid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		muldivdid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8		muldivdir 11911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
9	1, 6, 2, 7, 8	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
10	5, 9	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104   + caddc 11107   · cmul 11109   / cdiv 11875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876

This theorem is used by:  constrrtlc1  34131  ppivalnnnprmge6  48406