Theorem muldivdid 11887

Description: Distribution of division over addition with a multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
muldivdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muldivdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
muldivdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
muldivdid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
muldivdid	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem muldivdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muldivdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		muldivdid.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcomd 11205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) + 𝐶))
5	4	oveq1d 7413	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵))
6		muldivdid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		muldivdid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8		muldivdir 11885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
9	1, 6, 2, 7, 8	syl112anc 1395	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
10	5, 9	eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080   / cdiv 11846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847

This theorem is referenced by:  constrrtlc1  34031  ppivalnnnprmge6  48240