Theorem muldivdid 11844

Description: Distribution of division over addition with a multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
muldivdid.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
muldivdid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
muldivdid.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
muldivdid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
muldivdid	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem muldivdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muldivdid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		muldivdid.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcomd 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4	3	oveq1d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) = ((𝐵 · 𝐴) + 𝐶))
5	4	oveq1d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵))
6		muldivdid.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		muldivdid.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8		muldivdir 11842	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
9	1, 6, 2, 7, 8	syl112anc 1377	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))
10	5, 9	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 𝐶) / 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033   + caddc 11036   · cmul 11038   / cdiv 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803

This theorem is referenced by:  constrrtlc1  33896  ppivalnnnprmge6  48105