Theorem nnmulge 30229

Description: Multiplying by a positive integer 𝑀 yields greater than or equal nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnmulge	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem nnmulge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 11772	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 10460	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4		1red 10442	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
5		nnre 11449	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6	5	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	1	nn0red 11771	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8	1	nn0ge0d 11773	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
9		nnge1 11471	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
10	9	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
11	4, 6, 7, 8, 10	lemul1ad 11382	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑁) ≤ (𝑀 · 𝑁))
12	3, 11	eqbrtrrd 4954	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4930  (class class class)co 6978  ℝcr 10336  1c1 10338   · cmul 10342   ≤ cle 10477  ℕcn 11441  ℕ₀cn0 11710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711

This theorem is referenced by:  circlemeth  31559