Theorem ralxp 5809

Description: Universal quantification restricted to a Cartesian product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralxp	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 5716	. . 3 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
2	1	raleqi 3317	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑)
3		ralxp.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	raliunxp 5807	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)
5	2, 4	bitr3i 279	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559  ∀wral 3075  {csn 4579  ⟨cop 4585  ∪ ciun 4946   × cxp 5641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-iun 4948  df-opab 5160  df-xp 5649  df-rel 5650

This theorem is referenced by:  ralxpf  5814  reu3op  6273  f1opr  7446  ffnov  7516  eqfnov  7519  funimassov  7567  f1stres  7988  f2ndres  7989  naddf  8645  ecopover  8796  xpf1o  9104  xpwdomg  9526  rankxplim  9830  imasaddfnlem  17548  imasvscafn  17557  comfeq  17728  isssc  17843  isfuncd  17888  cofucl  17911  funcres2b  17920  evlfcl  18244  uncfcurf  18261  yonedalem3  18302  yonedainv  18303  efgval2  19754  srgfcl  20232  txbas  23614  hausdiag  23692  tx1stc  23697  txkgen  23699  xkococn  23707  cnmpt21  23718  xkoinjcn  23734  tmdcn2  24136  clssubg  24156  qustgplem  24168  txmetcnp  24594  txmetcn  24595  qtopbaslem  24805  bndth  25007  cxpcn3  26800  mpodvdsmulf1o  27245  fsumdvdsmul  27246  dvdsmulf1o  27247  addsf  28062  xrofsup  32929  txpconn  35542  cvmlift2lem1  35612  cvmlift2lem12  35624  mclsax  35879  ismtyhmeolem  38263  dih1dimatlem  41913  ffnaov  47753  ovn0ssdmfun  48741  plusfreseq  48746  funcf2lem  49662  imaidfu  49691  imasubc  49732  imassc  49734  fucofulem2  49892