Theorem ralxp 5825

Description: Universal quantification restricted to a Cartesian product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralxp	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 5729	. . 3 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
2	1	raleqi 3321	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑)
3		ralxp.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	raliunxp 5823	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)
5	2, 4	bitr3i 280	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∀wral 3080  {csn 4588  ⟨cop 4838  ∪ ciun 4954   × cxp 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-iun 4956  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663

This theorem is used by:  ralxpf  5831  reu3op  6316  f1opr  7502  ffnov  7572  eqfnov  7575  ovn0ssdmfun  7616  funimassov  7625  f1stres  8052  f2ndres  8053  naddf  8722  ecopover  8873  xpf1o  9189  xpwdomg  9609  rankxplim  9926  imasaddfnlem  17732  imasvscafn  17741  comfeq  17912  isssc  18027  isfuncd  18072  cofucl  18095  funcres2b  18104  evlfcl  18428  uncfcurf  18445  yonedalem3  18486  yonedainv  18487  efgval2  19971  srgfcl  20455  txbas  23919  hausdiag  23997  tx1stc  24002  txkgen  24004  xkococn  24012  cnmpt21  24023  xkoinjcn  24039  tmdcn2  24441  clssubg  24461  qustgplem  24473  txmetcnp  24899  txmetcn  24900  qtopbaslem  25110  bndth  25312  cxpcn3  27109  mpodvdsmulf1o  27554  fsumdvdsmul  27555  dvdsmulf1o  27556  addsf  28401  xrofsup  33432  txpconn  36177  cvmlift2lem1  36247  cvmlift2lem12  36259  mclsax  36514  ismtyhmeolem  38941  dih1dimatlem  42589  ffnaov  48484  plusfreseq  49476  funcf2lem  50410  imaidfu  50441  imasubc  50482  imassc  50484  fucofulem2  50648