Theorem ralxp 5802

Description: Universal quantification restricted to a Cartesian product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralxp	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝜓,𝑥   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 5709	. . 3 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)
2	1	raleqi 3309	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑)
3		ralxp.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	3	raliunxp 5800	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∪ 𝑦 ∈ 𝐴 ({𝑦} × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)
5	2, 4	bitr3i 276	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴 × 𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541  ∀wral 3060  {csn 4591  ⟨cop 4597  ∪ ciun 4959   × cxp 5636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-iun 4961  df-opab 5173  df-xp 5644  df-rel 5645

This theorem is referenced by:  ralxpf  5807  reu3op  6249  f1opr  7418  ffnov  7488  eqfnov  7490  funimassov  7536  f1stres  7950  f2ndres  7951  naddf  8632  ecopover  8767  xpf1o  9090  xpwdomg  9530  rankxplim  9824  imasaddfnlem  17424  imasvscafn  17433  comfeq  17600  isssc  17717  isfuncd  17765  cofucl  17788  funcres2b  17797  evlfcl  18125  uncfcurf  18142  yonedalem3  18183  yonedainv  18184  efgval2  19520  srgfcl  19941  txbas  22955  hausdiag  23033  tx1stc  23038  txkgen  23040  xkococn  23048  cnmpt21  23059  xkoinjcn  23075  tmdcn2  23477  clssubg  23497  qustgplem  23509  txmetcnp  23940  txmetcn  23941  qtopbaslem  24159  bndth  24358  cxpcn3  26138  dvdsmulf1o  26580  fsumdvdsmul  26581  addsf  27335  xrofsup  31740  txpconn  33913  cvmlift2lem1  33983  cvmlift2lem12  33995  mclsax  34250  ismtyhmeolem  36336  dih1dimatlem  39865  ffnaov  45551  ovn0ssdmfun  46181  plusfreseq  46186  funcf2lem  47158