Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpredelss 33196
 Description: Given a transitive predecessor 𝑌 of 𝑋, the transitive predecessors of 𝑌 are a subset of the transitive predecessors of 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredelss ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem trpredelss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setlikespec 6137 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
2 trpredss 33193 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
43sselda 3915 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌𝐴)
5 simplr 768 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑅 Se 𝐴)
6 trpredtr 33194 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
76ralrimiv 3148 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
87adantr 484 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9 trpredtr 33194 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
109imp 410 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
11 trpredmintr 33195 . . 3 (((𝑌𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
124, 5, 8, 10, 11syl22anc 837 . 2 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
1312ex 416 1 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   Se wse 5476  Predcpred 6115  TrPredctrpred 33181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-trpred 33182 This theorem is referenced by:  dftrpred3g  33197
 Copyright terms: Public domain W3C validator