Theorem trpredelss 9411

Description: Given a transitive predecessor 𝑌 of 𝑋, the transitive predecessors of 𝑌 form a subclass of the transitive predecessors of 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredelss	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem trpredelss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setlikespec 6217	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
2		trpredss 9407	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3917	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
5		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑅 Se 𝐴)
6		trpredtr 9408	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
7	6	ralrimiv 3106	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9		trpredtr 9408	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
11		trpredmintr 9409	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
12	4, 5, 8, 10, 11	syl22anc 835	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
13	12	ex 412	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   Se wse 5533  Predcpred 6190  TrPredctrpred 9395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-trpred 9396

This theorem is referenced by:  dftrpred3g  9412