MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trpredelss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpredelss 9338
Description: Given a transitive predecessor 𝑌 of 𝑋, the transitive predecessors of 𝑌 form a subclass of the transitive predecessors of 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredelss ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem trpredelss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setlikespec 6183 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
2 trpredss 9334 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
43sselda 3901 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌𝐴)
5 simplr 769 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑅 Se 𝐴)
6 trpredtr 9335 . . . . 5 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
76ralrimiv 3104 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
87adantr 484 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9 trpredtr 9335 . . . 4 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
109imp 410 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
11 trpredmintr 9336 . . 3 (((𝑌𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
124, 5, 8, 10, 11syl22anc 839 . 2 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
1312ex 416 1 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2110  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866   Se wse 5507  Predcpred 6159  TrPredctrpred 9322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-trpred 9323
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  9339
  Copyright terms: Public domain W3C validator