MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trpred0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpred0 9337
Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 9324 . 2 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 pred0 6193 . . . . . . . . . . 11 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
43iuneq2i 4925 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = 𝑦𝑎
5 iun0 4970 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 ∅ = ∅
64, 5eqtri 2765 . . . . . . . 8 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
76mpteq2i 5147 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8 pred0 6193 . . . . . . 7 Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9 rdgeq12 8149 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
107, 8, 9mp2an 692 . . . . . 6 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
1110reseq1i 5847 . . . . 5 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
1211fveq1i 6718 . . . 4 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13 nn0suc 7673 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14 fveq2 6717 . . . . . . 7 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15 0ex 5200 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 fr0g 8171 . . . . . . . 8 (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
1814, 17eqtrdi 2794 . . . . . 6 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑎
20 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑗
21 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 8173 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
2415, 23mpan2 691 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25 fveqeq2 6726 . . . . . . . 8 (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
2624, 25syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
2726rexlimiv 3199 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2818, 27jaoi 857 . . . . 5 ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2913, 28syl 17 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3012, 29eqtrid 2789 . . 3 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3130iuneq2i 4925 . 2 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = 𝑖 ∈ ω ∅
32 iun0 4970 . 2 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
331, 31, 323eqtri 2769 1 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  Vcvv 3408  c0 4237   ciun 4904  cmpt 5135  cres 5553  Predcpred 6159  suc csuc 6215  cfv 6380  ωcom 7644  reccrdg 8145  TrPredctrpred 9322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-trpred 9323
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator