Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpred0 32111
Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 32094 . 2 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 pred0 5895 . . . . . . . . . . 11 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
43iuneq2i 4695 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = 𝑦𝑎
5 iun0 4732 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 ∅ = ∅
64, 5eqtri 2787 . . . . . . . 8 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
76mpteq2i 4900 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8 pred0 5895 . . . . . . 7 Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9 rdgeq12 7713 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
107, 8, 9mp2an 683 . . . . . 6 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
1110reseq1i 5561 . . . . 5 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
1211fveq1i 6376 . . . 4 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13 nn0suc 7288 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15 0ex 4950 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 fr0g 7735 . . . . . . . 8 (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
1814, 17syl6eq 2815 . . . . . 6 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑎
20 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑗
21 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 7737 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
2415, 23mpan2 682 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25 fveqeq2 6384 . . . . . . . 8 (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
2624, 25syl5ibrcom 238 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
2726rexlimiv 3174 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2818, 27jaoi 883 . . . . 5 ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2913, 28syl 17 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3012, 29syl5eq 2811 . . 3 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3130iuneq2i 4695 . 2 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = 𝑖 ∈ ω ∅
32 iun0 4732 . 2 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
331, 31, 323eqtri 2791 1 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  c0 4079   ciun 4676  cmpt 4888  cres 5279  Predcpred 5864  suc csuc 5910  cfv 6068  ωcom 7263  reccrdg 7709  TrPredctrpred 32092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-trpred 32093
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator