Theorem trpred0 9337

Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
trpred0	⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred2 9324	. 2 ⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2		pred0 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
4	3	iuneq2i 4925	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 ∅
5		iun0 4970	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 ∅ = ∅
6	4, 5	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
7	6	mpteq2i 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8		pred0 6193	. . . . . . 7 ⊢ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9		rdgeq12 8149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
11	10	reseq1i 5847	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
12	11	fveq1i 6718	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13		nn0suc 7673	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14		fveq2 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15		0ex 5200	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
16		fr0g 8171	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
18	14, 17	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎∅
20		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎𝑗
21		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
23	19, 20, 19, 21, 22	frsucmpt 8173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
24	15, 23	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25		fveqeq2 6726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
26	24, 25	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
27	26	rexlimiv 3199	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
28	18, 27	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
29	13, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
30	12, 29	eqtrid 2789	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
31	30	iuneq2i 4925	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ω ∅
32		iun0 4970	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
33	1, 31, 32	3eqtri 2769	1 ⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  Vcvv 3408  ∅c0 4237  ∪ ciun 4904   ↦ cmpt 5135   ↾ cres 5553  Predcpred 6159  suc csuc 6215  ‘cfv 6380  ωcom 7644  reccrdg 8145  TrPredctrpred 9322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-trpred 9323

This theorem is referenced by: (None)