Theorem trpred0 9410

Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
trpred0	⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred2 9397	. 2 ⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2		pred0 6227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
4	3	iuneq2i 4942	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 ∅
5		iun0 4987	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 ∅ = ∅
6	4, 5	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
7	6	mpteq2i 5175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8		pred0 6227	. . . . . . 7 ⊢ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9		rdgeq12 8215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
10	7, 8, 9	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
11	10	reseq1i 5876	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
12	11	fveq1i 6757	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13		nn0suc 7716	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15		0ex 5226	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
16		fr0g 8237	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
18	14, 17	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎∅
20		nfcv 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎𝑗
21		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22		eqidd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
23	19, 20, 19, 21, 22	frsucmpt 8239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
24	15, 23	mpan2 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25		fveqeq2 6765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
26	24, 25	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
27	26	rexlimiv 3208	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
28	18, 27	jaoi 853	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
29	13, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
30	12, 29	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
31	30	iuneq2i 4942	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ω ∅
32		iun0 4987	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
33	1, 31, 32	3eqtri 2770	1 ⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Syntax hints:   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  Predcpred 6190  suc csuc 6253  ‘cfv 6418  ωcom 7687  reccrdg 8211  TrPredctrpred 9395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-trpred 9396

This theorem is referenced by: (None)