Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpred0 33200
 Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 33183 . 2 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 pred0 6146 . . . . . . . . . . 11 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
43iuneq2i 4902 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = 𝑦𝑎
5 iun0 4948 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 ∅ = ∅
64, 5eqtri 2821 . . . . . . . 8 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
76mpteq2i 5122 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8 pred0 6146 . . . . . . 7 Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9 rdgeq12 8034 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
107, 8, 9mp2an 691 . . . . . 6 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
1110reseq1i 5814 . . . . 5 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
1211fveq1i 6646 . . . 4 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13 nn0suc 7588 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14 fveq2 6645 . . . . . . 7 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15 0ex 5175 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 fr0g 8056 . . . . . . . 8 (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
1814, 17eqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑎
20 nfcv 2955 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑗
21 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22 eqidd 2799 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 8058 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
2415, 23mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25 fveqeq2 6654 . . . . . . . 8 (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
2624, 25syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
2726rexlimiv 3239 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2818, 27jaoi 854 . . . . 5 ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2913, 28syl 17 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3012, 29syl5eq 2845 . . 3 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3130iuneq2i 4902 . 2 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = 𝑖 ∈ ω ∅
32 iun0 4948 . 2 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
331, 31, 323eqtri 2825 1 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  ∅c0 4243  ∪ ciun 4881   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521  Predcpred 6115  suc csuc 6161  ‘cfv 6324  ωcom 7562  reccrdg 8030  TrPredctrpred 33181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7563  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-trpred 33182 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator