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Theorem trpredmintr 32060
Description: The transitive predecessors form the smallest class transitive in 𝑅 and 𝐴. That is, if 𝐵 is another 𝑅, 𝐴 transitive class containing Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), then TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵 (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredmintr (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem trpredmintr
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 32048 . 2 TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑗 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅))
32sseq1d 3781 . . . . . . 7 (𝑗 = ∅ → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) ⊆ 𝐵))
43imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = ∅ → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) ⊆ 𝐵)))
5 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘))
65sseq1d 3781 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵))
76imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)))
8 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑗 = suc 𝑘 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘))
98sseq1d 3781 . . . . . . 7 (𝑗 = suc 𝑘 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵))
109imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = suc 𝑘 → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)))
11 fveq2 6330 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))
1211sseq1d 3781 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵))
1312imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)))
14 setlikespec 5842 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
15 fr0g 7682 . . . . . . . . 9 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
1716adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
18 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
1917, 18eqsstrd 3788 . . . . . 6 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) ⊆ 𝐵)
20 fvex 6340 . . . . . . . . . . 11 ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ∈ V
21 trpredlem1 32056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
2214, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
2322sseld 3751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝐴))
24 setlikespec 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
2524expcom 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑦𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V))
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V))
2723, 26syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V))
2827ralrimiv 3114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
2928ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
30 iunexg 7288 . . . . . . . . . . 11 ((((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V) → 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
3120, 29, 30sylancr 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
32 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑎Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
33 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝑘
34 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑎 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)
35 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)
36 predeq3 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
3736cbviunv 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑑𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)
38 iuneq1 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 𝑑𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑) = 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
3937, 38syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑐 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
4039cbvmptv 4884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
41 rdgeq1 7658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) = rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
42 reseq1 5526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) = rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω))
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)
4443fveq1i 6331 . . . . . . . . . . . . 13 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) = ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)
4544eqeq2i 2783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ↔ 𝑎 = ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘))
46 iuneq1 4668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4745, 46sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4832, 33, 34, 35, 47frsucmpt 7684 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4931, 48sylan2 580 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
5044sseq1i 3778 . . . . . . . . . . . 12 (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)
5150anbi2i 609 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵))
52 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴)
53 nfra1 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵
54 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵
5553, 54nfan 1980 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
5652, 55nfan 1980 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵))
57 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵
5856, 57nfan 1980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)
59 ssel 3746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝐵))
60 rsp 3078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 → (𝑦𝐵 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵))
6160ad2antrl 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → (𝑦𝐵 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵))
6259, 61sylan9r 498 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵))
6358, 62ralrimi 3106 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6463adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6551, 64sylan2b 581 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
66 iunss 4695 . . . . . . . . . 10 ( 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6765, 66sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6849, 67eqsstrd 3788 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)
6968exp32 407 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)))
7069a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)))
714, 7, 10, 13, 19, 70finds 7237 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵))
7271com12 32 . . . 4 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵))
7372ralrimiv 3114 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)
74 iunss 4695 . . 3 ( 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)
7573, 74sylibr 224 . 2 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)
761, 75syl5eqss 3798 1 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063   ciun 4654  cmpt 4863   Se wse 5206  cres 5251  Predcpred 5820  suc csuc 5866  cfv 6029  ωcom 7210  reccrdg 7656  TrPredctrpred 32046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-trpred 32047
This theorem is referenced by:  trpredelss  32061  dftrpred3g  32062  trpredpo  32064
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