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Theorem trpredmintr 32049
Description: The transitive predecessors form the smallest class transitive in 𝑅 and 𝐴. That is, if 𝐵 is another 𝑅, 𝐴 transitive class containing Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋), then TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵 (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredmintr (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Proof of Theorem trpredmintr
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 32037 . 2 TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 fveq2 6404 . . . . . . . 8 (𝑗 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅))
32sseq1d 3829 . . . . . . 7 (𝑗 = ∅ → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) ⊆ 𝐵))
43imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑗 = ∅ → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) ⊆ 𝐵)))
5 fveq2 6404 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘))
65sseq1d 3829 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵))
76imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)))
8 fveq2 6404 . . . . . . . 8 (𝑗 = suc 𝑘 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘))
98sseq1d 3829 . . . . . . 7 (𝑗 = suc 𝑘 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵))
109imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑗 = suc 𝑘 → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)))
11 fveq2 6404 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖))
1211sseq1d 3829 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵))
1312imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑗) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)))
14 setlikespec 5914 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
15 fr0g 7763 . . . . . . . . 9 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
1716adantr 468 . . . . . . 7 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
18 simprr 780 . . . . . . 7 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
1917, 18eqsstrd 3836 . . . . . 6 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘∅) ⊆ 𝐵)
20 fvex 6417 . . . . . . . . . . 11 ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ∈ V
21 trpredlem1 32045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
2214, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐴)
2322sseld 3797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝐴))
24 setlikespec 5914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐴𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
2524expcom 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 Se 𝐴 → (𝑦𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V))
2625adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V))
2723, 26syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V))
2827ralrimiv 3153 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
2928ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
30 iunexg 7369 . . . . . . . . . . 11 ((((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V) → 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
3120, 29, 30sylancr 577 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V)
32 nfcv 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑎Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
33 nfcv 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝑘
34 nfcv 2948 . . . . . . . . . . 11 𝑎 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)
35 eqid 2806 . . . . . . . . . . 11 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)
36 predeq3 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑑 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
3736cbviunv 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑑𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)
38 iuneq1 4726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑐 𝑑𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑) = 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
3937, 38syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑐 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
4039cbvmptv 4944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑))
41 rdgeq1 7739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)) = (𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) = rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
42 reseq1 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) = rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω))
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)
4443fveq1i 6405 . . . . . . . . . . . . 13 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) = ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)
4544eqeq2i 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ↔ 𝑎 = ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘))
46 iuneq1 4726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4745, 46sylbi 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4832, 33, 34, 35, 47frsucmpt 7765 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
4931, 48sylan2 582 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) = 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))
5044sseq1i 3826 . . . . . . . . . . . 12 (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵 ↔ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)
5150anbi2i 611 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) ↔ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵))
52 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴)
53 nfra1 3129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵
54 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵
5553, 54nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
5652, 55nfan 1990 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵))
57 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵
5856, 57nfan 1990 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)
59 ssel 3792 . . . . . . . . . . . . . 14 (((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵 → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → 𝑦𝐵))
60 rsp 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 → (𝑦𝐵 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵))
6160ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → (𝑦𝐵 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵))
6259, 61sylan9r 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → (𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵))
6358, 62ralrimi 3145 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6463adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6551, 64sylan2b 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
66 iunss 4753 . . . . . . . . . 10 ( 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6765, 66sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑑𝑐 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑑)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵)
6849, 67eqsstrd 3836 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ω ∧ (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) ∧ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)
6968exp32 409 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ω → (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)))
7069a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ω → ((((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑘) ⊆ 𝐵) → (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘suc 𝑘) ⊆ 𝐵)))
714, 7, 10, 13, 19, 70finds 7318 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵))
7271com12 32 . . . 4 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵))
7372ralrimiv 3153 . . 3 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)
74 iunss 4753 . . 3 ( 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)
7573, 74sylibr 225 . 2 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐵)
761, 75syl5eqss 3846 1 (((𝑋𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦𝐵 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116   ciun 4712  cmpt 4923   Se wse 5268  cres 5313  Predcpred 5892  suc csuc 5938  cfv 6097  ωcom 7291  reccrdg 7737  TrPredctrpred 32035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-trpred 32036
This theorem is referenced by:  trpredelss  32050  dftrpred3g  32051  trpredpo  32053
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