Theorem uc1pn0 26027

Description: Unitic polynomials are not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pn0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pn0.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ 0 )

Proof of Theorem uc1pn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pn0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		uc1pn0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		uc1pn0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26022	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
8	7	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  Unitcui 20240  Poly₁cpl1 22037  coe₁cco1 22038  deg₁cdg1 25935  Unic_1pcuc1p 26008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-uc1p 26013

This theorem is referenced by:  uc1pdeg  26029  q1peqb  26037  r1pid2  26043  r1pid2OLD  33547  ply1divalg3  35602  r1peuqusdeg1  35603