Theorem uc1pn0 26105

Description: Unitic polynomials are not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pn0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pn0.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ 0 )

Proof of Theorem uc1pn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pn0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		uc1pn0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		uc1pn0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26100	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
8	7	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Unitcui 20289  Poly₁cpl1 22115  coe₁cco1 22116  deg₁cdg1 26013  Unic_1pcuc1p 26086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12144  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-uc1p 26091

This theorem is referenced by:  uc1pdeg  26107  q1peqb  26115  r1pid2  26121  r1pid2OLD  33639  ply1divalg3  35785  r1peuqusdeg1  35786