Theorem uc1pn0 26124

Description: Unitic polynomials are not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pn0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pn0.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ 0 )

Proof of Theorem uc1pn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pn0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		uc1pn0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		uc1pn0.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isuc1p 26119	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
8	7	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Unitcui 20329  Poly₁cpl1 22153  coe₁cco1 22154  deg₁cdg1 26032  Unic_1pcuc1p 26105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-1cn 11090  ax-addcl 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12169  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-uc1p 26110

This theorem is referenced by:  uc1pdeg  26126  q1peqb  26134  r1pid2  26140  r1pid2OLD  33687  ply1divalg3  35843  r1peuqusdeg1  35844