Theorem mon1pn0 26133

Description: Monic polynomials are not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pn0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mon1pn0.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ≠ 0 )

Proof of Theorem mon1pn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pn0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		uc1pn0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		eqid 2741	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		mon1pn0.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2741	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26129	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) = (1r‘𝑅)))
8	7	simp2bi 1153	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  1_rcur 20156  Poly₁cpl1 22165  coe₁cco1 22166  deg₁cdg1 26040  Monic_1pcmn1 26112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-1cn 11092  ax-addcl 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-nn 12170  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-mon1 26117

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26137  deg1submon1p  26139  m1pmeq  33678  irngnzply1  33885  mon1psubm  43657