Theorem mon1pn0 26079

Description: Monic polynomials are not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pn0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pn0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
mon1pn0.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pn0	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ≠ 0 )

Proof of Theorem mon1pn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pn0.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3		uc1pn0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		mon1pn0.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26075	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) = (1r‘𝑅)))
8	7	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  1_rcur 20099  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090  deg₁cdg1 25986  Monic_1pcmn1 26058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-mon1 26063

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26083  deg1submon1p  26085  m1pmeq  33547  irngnzply1  33704  mon1psubm  43302