MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mon1pn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1pn0 25593
Description: Monic polynomials are not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uc1pn0.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
uc1pn0.z 0 = (0g𝑃)
mon1pn0.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
mon1pn0 (𝐹𝑀𝐹0 )

Proof of Theorem mon1pn0
StepHypRef Expression
1 uc1pn0.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2731 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 uc1pn0.z . . 3 0 = (0g𝑃)
4 eqid 2731 . . 3 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
5 mon1pn0.m . . 3 𝑀 = (Monic1p𝑅)
6 eqid 2731 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismon1p 25589 . 2 (𝐹𝑀 ↔ (𝐹 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝐹0 ∧ ((coe1𝐹)‘(( deg1𝑅)‘𝐹)) = (1r𝑅)))
87simp2bi 1146 1 (𝐹𝑀𝐹0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  cfv 6532  Basecbs 17126  0gc0g 17367  1rcur 19963  Poly1cpl1 21630  coe1cco1 21631   deg1 cdg1 25498  Monic1pcmn1 25572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-1cn 11150  ax-addcl 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-nn 12195  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-mon1 25577
This theorem is referenced by:  mon1puc1p  25597  deg1submon1p  25599  irngnzply1  32593  mon1psubm  41719
  Copyright terms: Public domain W3C validator