Theorem uc1pdeg 26373

Description: Unitic polynomials have nonnegative degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pdeg.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pdeg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem uc1pdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
4		uc1pdeg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
5	2, 3, 4	uc1pcl 26369	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
8	2, 7, 4	uc1pn0 26371	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9	8	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
10		uc1pdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11	10, 2, 7, 3	deg1nn0cl 26313	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17303  0_gc0g 17526  Ringcrg 20371  Poly₁cpl1 22401  deg₁cdg1 26279  Unic_1pcuc1p 26352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-cnfld 21585  df-psr 22123  df-mpl 22125  df-opsr 22127  df-psr1 22404  df-ply1 22406  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-uc1p 26357

This theorem is used by:  uc1pmon1p  26377  dvdsq1p  26388