Theorem uc1pdeg 25900

Description: Unitic polynomials have nonnegative degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pdeg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
uc1pdeg.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pdeg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem uc1pdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
4		uc1pdeg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
5	2, 3, 4	uc1pcl 25896	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	5	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
8	2, 7, 4	uc1pn0 25898	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9	8	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
10		uc1pdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
11	10, 2, 7, 3	deg1nn0cl 25841	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ‘cfv 6542  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  Ringcrg 20127  Poly₁cpl1 21920   deg₁ cdg1 25804  Unic_1pcuc1p 25879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-ply1 21925  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-uc1p 25884

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  25904  dvdsq1p  25913