Theorem uc1pdeg 25464

Description: Unitic polynomials have nonnegative degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pdeg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
uc1pdeg.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uc1pdeg	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem uc1pdeg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
4		uc1pdeg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
5	2, 3, 4	uc1pcl 25460	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
6	5	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
8	2, 7, 4	uc1pn0 25462	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
9	8	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
10		uc1pdeg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
11	10, 2, 7, 3	deg1nn0cl 25405	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1372	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐶) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2942  ‘cfv 6494  ℕ₀cn0 12372  Basecbs 17043  0_gc0g 17281  Ringcrg 19918  Poly₁cpl1 21500   deg₁ cdg1 25368  Unic_1pcuc1p 25443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-addf 11089  ax-mulf 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-supp 8086  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-7 12180  df-8 12181  df-9 12182  df-n0 12373  df-z 12459  df-dec 12578  df-uz 12723  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-hash 14185  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-cnfld 20750  df-psr 21264  df-mpl 21266  df-opsr 21268  df-psr1 21503  df-ply1 21505  df-mdeg 25369  df-deg1 25370  df-uc1p 25448

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  25468  dvdsq1p  25477