Theorem mon1pcl 25897

Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mon1pcl.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mon1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		uc1pcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
5		mon1pcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 25895	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) = (1r‘𝑅)))
8	7	simp1bi 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ‘cfv 6542  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  1_rcur 20075  Poly₁cpl1 21920  coe₁cco1 21921   deg₁ cdg1 25804  Monic_1pcmn1 25878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-mon1 25883

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  25903  deg1submon1p  25905  ply1rem  25916  fta1glem1  25918  fta1glem2  25919  elirng  33039  irngnzply1  33044  mon1psubm  42250