MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mon1pcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1pcl 26184
Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uc1pcl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
uc1pcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mon1pcl.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
mon1pcl (𝐹𝑀𝐹𝐵)

Proof of Theorem mon1pcl
StepHypRef Expression
1 uc1pcl.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 uc1pcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 eqid 2737 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 eqid 2737 . . 3 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
5 mon1pcl.m . . 3 𝑀 = (Monic1p𝑅)
6 eqid 2737 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismon1p 26182 . 2 (𝐹𝑀 ↔ (𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐹)‘((deg1𝑅)‘𝐹)) = (1r𝑅)))
87simp1bi 1146 1 (𝐹𝑀𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  1rcur 20178  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179  deg1cdg1 26093  Monic1pcmn1 26165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-mon1 26170
This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26190  deg1submon1p  26192  ply1rem  26205  fta1glem1  26207  fta1glem2  26208  m1pmeq  33608  elirng  33736  irngnzply1  33741  irredminply  33757  mon1psubm  43211
  Copyright terms: Public domain W3C validator