Theorem mon1pcl 26120

Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mon1pcl.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mon1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		uc1pcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		mon1pcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26118	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) = (1r‘𝑅)))
8	7	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Poly₁cpl1 22150  coe₁cco1 22151  deg₁cdg1 26029  Monic_1pcmn1 26101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-mon1 26106

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26126  deg1submon1p  26128  ply1rem  26141  fta1glem1  26143  fta1glem2  26144  m1pmeq  33660  elirng  33846  irngnzply1  33851  irredminply  33876  mon1psubm  43645