Theorem mon1pcl 26199

Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mon1pcl.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mon1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		uc1pcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		mon1pcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26197	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) = (1r‘𝑅)))
8	7	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  1_rcur 20199  Poly₁cpl1 22194  coe₁cco1 22195  deg₁cdg1 26108  Monic_1pcmn1 26180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-mon1 26185

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26205  deg1submon1p  26207  ply1rem  26220  fta1glem1  26222  fta1glem2  26223  m1pmeq  33588  elirng  33701  irngnzply1  33706  irredminply  33722  mon1psubm  43188