MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mon1pcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1pcl 25507
Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uc1pcl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
uc1pcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mon1pcl.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
mon1pcl (𝐹𝑀𝐹𝐵)

Proof of Theorem mon1pcl
StepHypRef Expression
1 uc1pcl.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 uc1pcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
3 eqid 2736 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 eqid 2736 . . 3 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
5 mon1pcl.m . . 3 𝑀 = (Monic1p𝑅)
6 eqid 2736 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6ismon1p 25505 . 2 (𝐹𝑀 ↔ (𝐹𝐵𝐹 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐹)‘(( deg1𝑅)‘𝐹)) = (1r𝑅)))
87simp1bi 1145 1 (𝐹𝑀𝐹𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cfv 6496  Basecbs 17082  0gc0g 17320  1rcur 19911  Poly1cpl1 21546  coe1cco1 21547   deg1 cdg1 25414  Monic1pcmn1 25488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-1cn 11108  ax-addcl 11110
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-nn 12153  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-mon1 25493
This theorem is referenced by:  mon1puc1p  25513  deg1submon1p  25515  ply1rem  25526  fta1glem1  25528  fta1glem2  25529  elirng  32351  irngnzply1  32356  mon1psubm  41511
  Copyright terms: Public domain W3C validator