Theorem mon1pcl 26283

Description: Monic polynomials are polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pcl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mon1pcl.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mon1pcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mon1pcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uc1pcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		uc1pcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
5		mon1pcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismon1p 26281	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ (0g‘𝑃) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) = (1r‘𝑅)))
8	7	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑀 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  1_rcur 20264  Poly₁cpl1 22318  coe₁cco1 22319  deg₁cdg1 26192  Monic_1pcmn1 26264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-mon1 26269

This theorem is referenced by:  mon1puc1p  26289  deg1submon1p  26291  ply1rem  26304  fta1glem1  26306  fta1glem2  26307  m1pmeq  33856  elirng  34057  irngnzply1  34062  irredminply  34087  mon1psubm  43909