MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem q1peqb 26109
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q 𝑄 = (quot1pβ€˜π‘…)
q1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
q1pval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
q1pval.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
q1pval.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
q1pval.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
q1peqb.c 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
q1peqb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3490 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ V)
21adantr 479 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ 𝑋 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ 𝑋 ∈ V))
4 ovex 7457 . . . 4 (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5 eleq1 2816 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
64, 5mpbii 232 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V))
8 simpr 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
9 q1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
10 q1pval.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
11 q1pval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 q1pval.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
14 q1pval.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
15 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
189, 11, 17uc1pcl 26097 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
19183ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
209, 13, 17uc1pn0 26099 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
21203ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
22 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
2310, 22, 17uc1pldg 26102 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
24233ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 26092 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))
26 df-reu 3373 . . . . . . 7 (βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
2725, 26sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
2827adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
29 eleq1 2816 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
30 oveq1 7431 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π‘ž Β· 𝐺) = (𝑋 Β· 𝐺))
3130oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑋 β†’ (𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺)) = (𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺)))
3231fveq2d 6904 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) = (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))))
3332breq1d 5160 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑋 β†’ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
3429, 33anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑋 β†’ ((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
3534adantl 480 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ π‘ž = 𝑋) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
368, 28, 35iota2d 6539 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))) = 𝑋))
37 q1pval.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (quot1pβ€˜π‘…)
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 26108 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
3916, 19, 38syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
40 df-riota 7380 . . . . . . 7 (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
4139, 40eqtrdi 2783 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
4241adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
4342eqeq1d 2729 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))) = 𝑋))
4436, 43bitr4d 281 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
4544ex 411 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 ∈ V β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
463, 7, 45pm5.21ndd 378 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2557   β‰  wne 2936  βˆƒ!wreu 3370  Vcvv 3471   class class class wbr 5150  β„©cio 6501  β€˜cfv 6551  β„©crio 7379  (class class class)co 7424   < clt 11284  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  -gcsg 18897  Ringcrg 20178  Unitcui 20299  Poly1cpl1 22101  coe1cco1 22102   deg1 cdg1 26005  Unic1pcuc1p 26080  quot1pcq1p 26081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-rlreg 21235  df-cnfld 21285  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22104  df-vr1 22105  df-ply1 22106  df-coe1 22107  df-mdeg 26006  df-deg1 26007  df-uc1p 26085  df-q1p 26086
This theorem is referenced by:  q1pcl  26110  r1pdeglt  26113  dvdsq1p  26115  q1pdir  33278  q1pvsca  33279  r1pid2  33284  irredminply  33389  aks6d1c5lem3  41612
  Copyright terms: Public domain W3C validator