MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem q1peqb 25663
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q 𝑄 = (quot1pβ€˜π‘…)
q1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
q1pval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
q1pval.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
q1pval.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
q1pval.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
q1peqb.c 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
q1peqb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ V)
21adantr 481 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ 𝑋 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ 𝑋 ∈ V))
4 ovex 7438 . . . 4 (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5 eleq1 2821 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
64, 5mpbii 232 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V))
8 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
9 q1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
10 q1pval.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
11 q1pval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 q1pval.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
14 q1pval.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
15 simp1 1136 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
189, 11, 17uc1pcl 25652 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
19183ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
209, 13, 17uc1pn0 25654 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
21203ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
22 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
2310, 22, 17uc1pldg 25657 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
24233ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 25647 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))
26 df-reu 3377 . . . . . . 7 (βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
2725, 26sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
2827adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
29 eleq1 2821 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
30 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π‘ž Β· 𝐺) = (𝑋 Β· 𝐺))
3130oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑋 β†’ (𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺)) = (𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺)))
3231fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) = (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))))
3332breq1d 5157 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑋 β†’ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
3429, 33anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑋 β†’ ((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
3534adantl 482 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ π‘ž = 𝑋) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
368, 28, 35iota2d 6528 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))) = 𝑋))
37 q1pval.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (quot1pβ€˜π‘…)
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 25662 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
3916, 19, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
40 df-riota 7361 . . . . . . 7 (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
4139, 40eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
4241adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
4342eqeq1d 2734 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))) = 𝑋))
4436, 43bitr4d 281 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
4544ex 413 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 ∈ V β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
463, 7, 45pm5.21ndd 380 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒ!weu 2562   β‰  wne 2940  βˆƒ!wreu 3374  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  β„©cio 6490  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   < clt 11244  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  -gcsg 18817  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560  Unic1pcuc1p 25635  quot1pcq1p 25636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-rlreg 20891  df-cnfld 20937  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-uc1p 25640  df-q1p 25641
This theorem is referenced by:  q1pcl  25664  r1pdeglt  25667  dvdsq1p  25669
  Copyright terms: Public domain W3C validator