Theorem q1peqb 26436

Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
q1pval.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
q1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
q1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
q1pval.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
q1pval.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
q1peqb.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
q1peqb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ V)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
6	4, 5	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V))
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9		q1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		q1pval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		q1pval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		q1pval.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14		q1pval.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
15		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		q1peqb.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	9, 11, 17	uc1pcl 26424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	18	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
20	9, 13, 17	uc1pn0 26426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
21	20	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
22		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	10, 22, 17	uc1pldg 26429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
25	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22	ply1divalg2 26419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
26		df-reu 3366	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
27	25, 26	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
29		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		oveq1 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
31	30	oveq2d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 − (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 − (𝑋 · 𝐺)))
32	31	fveq2d 6877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))))
33	32	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
34	29, 33	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
35	34	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
36	8, 28, 35	iota2d 6515	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
37		q1pval.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
38	37, 9, 11, 10, 12, 14	q1pval 26435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
39	16, 19, 38	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
40		df-riota 7365	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
41	39, 40	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
42	41	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
43	42	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
44	36, 43	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
45	44	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
46	3, 7, 45	pm5.21ndd 382	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593   ≠ wne 2955  ∃!wreu 3363  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ℩cio 6481  ‘cfv 6527  ℩crio 7364  (class class class)co 7408   < clt 11315  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  0_gc0g 17572  -_gcsg 19108  Ringcrg 20421  Unitcui 20547  Poly₁cpl1 22457  coe₁cco1 22458  deg₁cdg1 26334  Unic_1pcuc1p 26407  quot_1pcq1p 26408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-rlreg 20908  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-cnfld 21641  df-psr 22179  df-mvr 22180  df-mpl 22181  df-opsr 22183  df-psr1 22460  df-vr1 22461  df-ply1 22462  df-coe1 22463  df-mdeg 26335  df-deg1 26336  df-uc1p 26412  df-q1p 26413

This theorem is used by:  q1pcl  26437  r1pdeglt  26440  r1pid2  26442  dvdsq1p  26443  q1pdir  34069  q1pvsca  34070  irredminply  34282  aks6d1c5lem3  43107