Theorem q1peqb 26146

Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
q1pval.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
q1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
q1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
q1pval.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
q1pval.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
q1peqb.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
q1peqb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3453	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ V)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5		eleq1 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
6	4, 5	mpbii 234	. . 3 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V))
8		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9		q1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		q1pval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		q1pval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		q1pval.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14		q1pval.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
15		simp1 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		q1peqb.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	9, 11, 17	uc1pcl 26134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	18	3ad2ant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
20	9, 13, 17	uc1pn0 26136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
21	20	3ad2ant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
22		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	10, 22, 17	uc1pldg 26139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24	23	3ad2ant3 1141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
25	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22	ply1divalg2 26129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
26		df-reu 3346	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
27	25, 26	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
28	27	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
29		eleq1 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		oveq1 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
31	30	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 − (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 − (𝑋 · 𝐺)))
32	31	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))))
33	32	breq1d 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
34	29, 33	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
35	34	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
36	8, 28, 35	iota2d 6480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
37		q1pval.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
38	37, 9, 11, 10, 12, 14	q1pval 26145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
39	16, 19, 38	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
40		df-riota 7320	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
41	39, 40	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
42	41	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
43	42	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
44	36, 43	bitr4d 283	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
45	44	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
46	3, 7, 45	pm5.21ndd 380	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572   ≠ wne 2935  ∃!wreu 3343  Vcvv 3432   class class class wbr 5079  ℩cio 6446  ‘cfv 6492  ℩crio 7319  (class class class)co 7363   < clt 11177  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  -_gcsg 18909  Ringcrg 20212  Unitcui 20333  Poly₁cpl1 22169  coe₁cco1 22170  deg₁cdg1 26044  Unic_1pcuc1p 26117  quot_1pcq1p 26118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-rlreg 20673  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-cnfld 21355  df-psr 21891  df-mvr 21892  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22172  df-vr1 22173  df-ply1 22174  df-coe1 22175  df-mdeg 26045  df-deg1 26046  df-uc1p 26122  df-q1p 26123

This theorem is referenced by:  q1pcl  26147  r1pdeglt  26150  r1pid2  26152  dvdsq1p  26153  q1pdir  33693  q1pvsca  33694  r1pid2OLD  33699  irredminply  33907  aks6d1c5lem3  42623