MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem q1peqb 26042
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q 𝑄 = (quot1pβ€˜π‘…)
q1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
q1pval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
q1pval.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
q1pval.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
q1pval.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
q1peqb.c 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
q1peqb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3487 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ V)
21adantr 480 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ 𝑋 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) β†’ 𝑋 ∈ V))
4 ovex 7437 . . . 4 (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5 eleq1 2815 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
64, 5mpbii 232 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 β†’ 𝑋 ∈ V))
8 simpr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝑋 ∈ V)
9 q1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
10 q1pval.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
11 q1pval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 q1pval.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
14 q1pval.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
15 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
189, 11, 17uc1pcl 26030 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
19183ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
209, 13, 17uc1pn0 26032 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
21203ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
22 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
2310, 22, 17uc1pldg 26035 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐢 β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
24233ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 26025 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))
26 df-reu 3371 . . . . . . 7 (βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
2725, 26sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
2827adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ βˆƒ!π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
29 eleq1 2815 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π‘ž ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
30 oveq1 7411 . . . . . . . . . 10 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π‘ž Β· 𝐺) = (𝑋 Β· 𝐺))
3130oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘ž = 𝑋 β†’ (𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺)) = (𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺)))
3231fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑋 β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) = (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))))
3332breq1d 5151 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑋 β†’ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
3429, 33anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑋 β†’ ((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
3534adantl 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ π‘ž = 𝑋) β†’ ((π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
368, 28, 35iota2d 6524 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))) = 𝑋))
37 q1pval.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (quot1pβ€˜π‘…)
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 26041 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
3916, 19, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
40 df-riota 7360 . . . . . . 7 (β„©π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)))
4139, 40eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
4241adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (𝐹𝑄𝐺) = (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))))
4342eqeq1d 2728 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (β„©π‘ž(π‘ž ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))) = 𝑋))
4436, 43bitr4d 282 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
4544ex 412 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ (𝑋 ∈ V β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
463, 7, 45pm5.21ndd 379 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐢) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝑋 Β· 𝐺))) < (π·β€˜πΊ)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556   β‰  wne 2934  βˆƒ!wreu 3368  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  β„©cio 6486  β€˜cfv 6536  β„©crio 7359  (class class class)co 7404   < clt 11249  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  -gcsg 18863  Ringcrg 20136  Unitcui 20255  Poly1cpl1 22047  coe1cco1 22048   deg1 cdg1 25938  Unic1pcuc1p 26013  quot1pcq1p 26014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-rlreg 21191  df-cnfld 21237  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-opsr 21803  df-psr1 22050  df-vr1 22051  df-ply1 22052  df-coe1 22053  df-mdeg 25939  df-deg1 25940  df-uc1p 26018  df-q1p 26019
This theorem is referenced by:  q1pcl  26043  r1pdeglt  26046  dvdsq1p  26048  q1pdir  33178  q1pvsca  33179  r1pid2  33184  irredminply  33293
  Copyright terms: Public domain W3C validator