MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem q1peqb 24205
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
q1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
q1pval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
q1pval.m = (-g𝑃)
q1pval.t · = (.r𝑃)
q1peqb.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
q1peqb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3365 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ V)
21adantr 472 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4 ovex 6874 . . . 4 (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5 eleq1 2832 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
64, 5mpbii 224 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋𝑋 ∈ V)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋𝑋 ∈ V))
8 simpr 477 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9 q1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
10 q1pval.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
11 q1pval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
12 q1pval.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
13 eqid 2765 . . . . . . . 8 (0g𝑃) = (0g𝑃)
14 q1pval.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑃)
15 simp1 1166 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2 1167 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (Unic1p𝑅)
189, 11, 17uc1pcl 24194 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
19183ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
209, 13, 17uc1pn0 24196 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶𝐺 ≠ (0g𝑃))
21203ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ≠ (0g𝑃))
22 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
2310, 22, 17uc1pldg 24199 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24233ad2ant3 1165 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 24189 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))
26 df-reu 3062 . . . . . . 7 (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
2725, 26sylib 209 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
2827adantr 472 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
29 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑋 → (𝑞𝐵𝑋𝐵))
30 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
3130oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 (𝑋 · 𝐺)))
3231fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))))
3332breq1d 4819 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3429, 33anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
3534adantl 473 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
368, 28, 35iota2d 6056 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))) = 𝑋))
37 q1pval.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (quot1p𝑅)
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 24204 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3916, 19, 38syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
40 df-riota 6803 . . . . . . 7 (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
4139, 40syl6eq 2815 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
4241adantr 472 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
4342eqeq1d 2767 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))) = 𝑋))
4436, 43bitr4d 273 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
4544ex 401 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
463, 7, 45pm5.21ndd 370 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  ∃!weu 2581  wne 2937  ∃!wreu 3057  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cio 6029  cfv 6068  crio 6802  (class class class)co 6842   < clt 10328  Basecbs 16130  .rcmulr 16215  0gc0g 16366  -gcsg 17691  Ringcrg 18814  Unitcui 18906  Poly1cpl1 19820  coe1cco1 19821   deg1 cdg1 24105  Unic1pcuc1p 24177  quot1pcq1p 24178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-rlreg 19557  df-psr 19630  df-mvr 19631  df-mpl 19632  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-vr1 19824  df-ply1 19825  df-coe1 19826  df-cnfld 20020  df-mdeg 24106  df-deg1 24107  df-uc1p 24182  df-q1p 24183
This theorem is referenced by:  q1pcl  24206  r1pdeglt  24209  dvdsq1p  24211
  Copyright terms: Public domain W3C validator