Theorem q1peqb 26121

Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
q1pval.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
q1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
q1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
q1pval.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
q1pval.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
q1peqb.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
q1peqb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3462	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ V)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
6	4, 5	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V))
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9		q1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		q1pval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		q1pval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		q1pval.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14		q1pval.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
15		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		q1peqb.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	9, 11, 17	uc1pcl 26109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	18	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
20	9, 13, 17	uc1pn0 26111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
21	20	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
22		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	10, 22, 17	uc1pldg 26114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
25	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22	ply1divalg2 26104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
26		df-reu 3352	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
27	25, 26	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
29		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
31	30	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 − (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 − (𝑋 · 𝐺)))
32	31	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))))
33	32	breq1d 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
34	29, 33	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
36	8, 28, 35	iota2d 6481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
37		q1pval.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
38	37, 9, 11, 10, 12, 14	q1pval 26120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
39	16, 19, 38	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
40		df-riota 7317	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
41	39, 40	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
42	41	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
43	42	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
44	36, 43	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
45	44	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
46	3, 7, 45	pm5.21ndd 379	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2569   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3349  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  ℩cio 6447  ‘cfv 6493  ℩crio 7316  (class class class)co 7360   < clt 11170  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363  -_gcsg 18869  Ringcrg 20172  Unitcui 20295  Poly₁cpl1 22121  coe₁cco1 22122  deg₁cdg1 26019  Unic_1pcuc1p 26092  quot_1pcq1p 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-rlreg 20631  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-cnfld 21314  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-uc1p 26097  df-q1p 26098

This theorem is referenced by:  q1pcl  26122  r1pdeglt  26125  r1pid2  26127  dvdsq1p  26128  q1pdir  33665  q1pvsca  33666  r1pid2OLD  33671  irredminply  33854  aks6d1c5lem3  42428