Theorem q1peqb 26386

Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
q1pval.q	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
q1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
q1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
q1pval.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
q1pval.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
q1peqb.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
q1peqb	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3474	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ V)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
6	4, 5	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → 𝑋 ∈ V))
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9		q1pval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10		q1pval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		q1pval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		q1pval.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
14		q1pval.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
15		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐹 ∈ 𝐵)
17		q1peqb.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
18	9, 11, 17	uc1pcl 26374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	18	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ 𝐵)
20	9, 13, 17	uc1pn0 26376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
21	20	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
22		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
23	10, 22, 17	uc1pldg 26379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
25	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22	ply1divalg2 26369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
26		df-reu 3368	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
27	25, 26	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
29		eleq1 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
30		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
31	30	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 − (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 − (𝑋 · 𝐺)))
32	31	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))))
33	32	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
34	29, 33	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
35	34	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
36	8, 28, 35	iota2d 6525	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
37		q1pval.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝑅)
38	37, 9, 11, 10, 12, 14	q1pval 26385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
39	16, 19, 38	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
40		df-riota 7373	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
41	39, 40	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
42	41	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))))
43	42	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))) = 𝑋))
44	36, 43	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
45	44	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
46	3, 7, 45	pm5.21ndd 382	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐶) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 − (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2595   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3365  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  ℩cio 6491  ‘cfv 6537  ℩crio 7372  (class class class)co 7416   < clt 11270  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  -_gcsg 19063  Ringcrg 20376  Unitcui 20500  Poly₁cpl1 22406  coe₁cco1 22407  deg₁cdg1 26284  Unic_1pcuc1p 26357  quot_1pcq1p 26358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-mhm 18895  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-mulg 19195  df-subg 19250  df-ghm 19345  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-cring 20379  df-oppr 20482  df-dvdsr 20502  df-unit 20503  df-invr 20533  df-subrng 20712  df-subrg 20736  df-rlreg 20860  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-cnfld 21590  df-psr 22128  df-mvr 22129  df-mpl 22130  df-opsr 22132  df-psr1 22409  df-vr1 22410  df-ply1 22411  df-coe1 22412  df-mdeg 26285  df-deg1 26286  df-uc1p 26362  df-q1p 26363

This theorem is used by:  q1pcl  26387  r1pdeglt  26390  r1pid2  26392  dvdsq1p  26393  q1pdir  34015  q1pvsca  34016  irredminply  34228  aks6d1c5lem3  43005