MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem q1peqb 24431
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
q1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
q1pval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
q1pval.m = (-g𝑃)
q1pval.t · = (.r𝑃)
q1peqb.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
q1peqb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3455 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ V)
21adantr 481 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4 ovex 7048 . . . 4 (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5 eleq1 2870 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
64, 5mpbii 234 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋𝑋 ∈ V)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋𝑋 ∈ V))
8 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9 q1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
10 q1pval.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
11 q1pval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
12 q1pval.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
13 eqid 2795 . . . . . . . 8 (0g𝑃) = (0g𝑃)
14 q1pval.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑃)
15 simp1 1129 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (Unic1p𝑅)
189, 11, 17uc1pcl 24420 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
19183ad2ant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
209, 13, 17uc1pn0 24422 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶𝐺 ≠ (0g𝑃))
21203ad2ant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ≠ (0g𝑃))
22 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
2310, 22, 17uc1pldg 24425 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24233ad2ant3 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 24415 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))
26 df-reu 3112 . . . . . . 7 (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
2725, 26sylib 219 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
2827adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
29 eleq1 2870 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑋 → (𝑞𝐵𝑋𝐵))
30 oveq1 7023 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
3130oveq2d 7032 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 (𝑋 · 𝐺)))
3231fveq2d 6542 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))))
3332breq1d 4972 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3429, 33anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
3534adantl 482 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
368, 28, 35iota2d 6214 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))) = 𝑋))
37 q1pval.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (quot1p𝑅)
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 24430 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3916, 19, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
40 df-riota 6977 . . . . . . 7 (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
4139, 40syl6eq 2847 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
4241adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
4342eqeq1d 2797 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))) = 𝑋))
4436, 43bitr4d 283 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
4544ex 413 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
463, 7, 45pm5.21ndd 381 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  ∃!weu 2611  wne 2984  ∃!wreu 3107  Vcvv 3437   class class class wbr 4962  cio 6187  cfv 6225  crio 6976  (class class class)co 7016   < clt 10521  Basecbs 16312  .rcmulr 16395  0gc0g 16542  -gcsg 17863  Ringcrg 18987  Unitcui 19079  Poly1cpl1 20028  coe1cco1 20029   deg1 cdg1 24331  Unic1pcuc1p 24403  quot1pcq1p 24404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-rlreg 19745  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-psr1 20031  df-vr1 20032  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-cnfld 20228  df-mdeg 24332  df-deg1 24333  df-uc1p 24408  df-q1p 24409
This theorem is referenced by:  q1pcl  24432  r1pdeglt  24435  dvdsq1p  24437
  Copyright terms: Public domain W3C validator