MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1peqb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem q1peqb 26210
Description: Characterizing property of the polynomial quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pval.q 𝑄 = (quot1p𝑅)
q1pval.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
q1pval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
q1pval.d 𝐷 = (deg1𝑅)
q1pval.m = (-g𝑃)
q1pval.t · = (.r𝑃)
q1peqb.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
Assertion
Ref Expression
q1peqb ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))

Proof of Theorem q1peqb
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3499 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ V)
21adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) → 𝑋 ∈ V)
32a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) → 𝑋 ∈ V))
4 ovex 7464 . . . 4 (𝐹𝑄𝐺) ∈ V
5 eleq1 2827 . . . 4 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 → ((𝐹𝑄𝐺) ∈ V ↔ 𝑋 ∈ V))
64, 5mpbii 233 . . 3 ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋𝑋 ∈ V)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋𝑋 ∈ V))
8 simpr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝑋 ∈ V)
9 q1pval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
10 q1pval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (deg1𝑅)
11 q1pval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
12 q1pval.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
13 eqid 2735 . . . . . . . 8 (0g𝑃) = (0g𝑃)
14 q1pval.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑃)
15 simp1 1135 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
16 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐹𝐵)
17 q1peqb.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (Unic1p𝑅)
189, 11, 17uc1pcl 26198 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
19183ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺𝐵)
209, 13, 17uc1pn0 26200 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶𝐺 ≠ (0g𝑃))
21203ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → 𝐺 ≠ (0g𝑃))
22 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
2310, 22, 17uc1pldg 26203 . . . . . . . . 9 (𝐺𝐶 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
24233ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
259, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 22ply1divalg2 26193 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))
26 df-reu 3379 . . . . . . 7 (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
2725, 26sylib 218 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
2827adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ∃!𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
29 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑋 → (𝑞𝐵𝑋𝐵))
30 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑋 → (𝑞 · 𝐺) = (𝑋 · 𝐺))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑋 → (𝐹 (𝑞 · 𝐺)) = (𝐹 (𝑋 · 𝐺)))
3231fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑋 → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))))
3332breq1d 5158 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑋 → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3429, 33anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑋 → ((𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
3534adantl 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) ∧ 𝑞 = 𝑋) → ((𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
368, 28, 35iota2d 6551 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))) = 𝑋))
37 q1pval.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (quot1p𝑅)
3837, 9, 11, 10, 12, 14q1pval 26209 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝑄𝐺) = (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3916, 19, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
40 df-riota 7388 . . . . . . 7 (𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
4139, 40eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
4241adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹𝑄𝐺) = (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))))
4342eqeq1d 2737 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐹𝑄𝐺) = 𝑋 ↔ (℩𝑞(𝑞𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑞 · 𝐺))) < (𝐷𝐺))) = 𝑋))
4436, 43bitr4d 282 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
4544ex 412 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → (𝑋 ∈ V → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋)))
463, 7, 45pm5.21ndd 379 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐶) → ((𝑋𝐵 ∧ (𝐷‘(𝐹 (𝑋 · 𝐺))) < (𝐷𝐺)) ↔ (𝐹𝑄𝐺) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ∃!weu 2566  wne 2938  ∃!wreu 3376  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cio 6514  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431   < clt 11293  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  Unitcui 20372  Poly1cpl1 22194  coe1cco1 22195  deg1cdg1 26108  Unic1pcuc1p 26181  quot1pcq1p 26182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-uc1p 26186  df-q1p 26187
This theorem is referenced by:  q1pcl  26211  r1pdeglt  26214  r1pid2  26216  dvdsq1p  26217  q1pdir  33603  q1pvsca  33604  r1pid2OLD  33609  irredminply  33722  aks6d1c5lem3  42119
  Copyright terms: Public domain W3C validator