MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isuc1p Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isuc1p 25658
Description: Being a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uc1pval.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
uc1pval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
uc1pval.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
uc1pval.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
uc1pval.c 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
uc1pval.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isuc1p (𝐹 ∈ 𝐢 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem isuc1p
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 3004 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓 β‰  0 ↔ 𝐹 β‰  0 ))
2 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (coe1β€˜π‘“) = (coe1β€˜πΉ))
3 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π·β€˜π‘“) = (π·β€˜πΉ))
42, 3fveq12d 6899 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((coe1β€˜π‘“)β€˜(π·β€˜π‘“)) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)))
54eleq1d 2819 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((coe1β€˜π‘“)β€˜(π·β€˜π‘“)) ∈ π‘ˆ ↔ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ))
61, 5anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑓 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜π‘“)β€˜(π·β€˜π‘“)) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝐹 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ)))
7 uc1pval.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
8 uc1pval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
9 uc1pval.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
10 uc1pval.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
11 uc1pval.c . . . 4 𝐢 = (Unic1pβ€˜π‘…)
12 uc1pval.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
137, 8, 9, 10, 11, 12uc1pval 25657 . . 3 𝐢 = {𝑓 ∈ 𝐡 ∣ (𝑓 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜π‘“)β€˜(π·β€˜π‘“)) ∈ π‘ˆ)}
146, 13elrab2 3687 . 2 (𝐹 ∈ 𝐢 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ)))
15 3anass 1096 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ) ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (𝐹 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ)))
1614, 15bitr4i 278 1 (𝐹 ∈ 𝐢 ↔ (𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Unitcui 20169  Poly1cpl1 21701  coe1cco1 21702   deg1 cdg1 25569  Unic1pcuc1p 25644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-uc1p 25649
This theorem is referenced by:  uc1pcl  25661  uc1pn0  25663  uc1pldg  25666  mon1puc1p  25668  drnguc1p  25688
  Copyright terms: Public domain W3C validator