Theorem isuc1p 26104

Description: Being a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
uc1pval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pval.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isuc1p	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem isuc1p

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2994	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0 ))
2		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coe1‘𝑓) = (coe1‘𝐹))
3		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘𝐹))
4	2, 3	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
5	4	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) ∈ 𝑈 ↔ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))
6	1, 5	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) ∈ 𝑈) ↔ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)))
7		uc1pval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		uc1pval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		uc1pval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10		uc1pval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		uc1pval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12		uc1pval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	uc1pval 26103	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) ∈ 𝑈)}
14	6, 13	elrab2 3649	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)))
15		3anass 1094	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)))
16	14, 15	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  Unitcui 20293  Poly₁cpl1 22119  coe₁cco1 22120  deg₁cdg1 26017  Unic_1pcuc1p 26090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12148  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-uc1p 26095

This theorem is referenced by:  uc1pcl  26107  uc1pn0  26109  uc1pldg  26112  mon1puc1p  26114  drnguc1p  26137