Theorem isuc1p 26119

Description: Being a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uc1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
uc1pval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
uc1pval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
uc1pval.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
uc1pval.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
uc1pval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isuc1p	⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))

Proof of Theorem isuc1p

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 2995	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ 0 ))
2		fveq2 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (coe1‘𝑓) = (coe1‘𝐹))
3		fveq2 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘𝐹))
4	2, 3	fveq12d 6851	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) = ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)))
5	4	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) ∈ 𝑈 ↔ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))
6	1, 5	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) ∈ 𝑈) ↔ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)))
7		uc1pval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
8		uc1pval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		uc1pval.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
10		uc1pval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
11		uc1pval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
12		uc1pval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	uc1pval 26118	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝑓)‘(𝐷‘𝑓)) ∈ 𝑈)}
14	6, 13	elrab2 3651	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)))
15		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈) ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈)))
16	14, 15	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  0_gc0g 17373  Unitcui 20308  Poly₁cpl1 22134  coe₁cco1 22135  deg₁cdg1 26032  Unic_1pcuc1p 26105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-1cn 11098  ax-addcl 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-nn 12160  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-uc1p 26110

This theorem is referenced by:  uc1pcl  26122  uc1pn0  26124  uc1pldg  26127  mon1puc1p  26129  drnguc1p  26152