Theorem uniwun 10628

Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 10723 for weak universes, but it is provable in ZF without the Tarski-Grothendieck axiom, contrary to grothtsk 10723. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
uniwun	⊢ ∪ WUni = V

Proof of Theorem uniwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3446	. 2 ⊢ (∪ WUni = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ∪ WUni)
2		vsnex 5372	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ V
3		wunex 10627	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ V → ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢
5		eluni2 4863	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢)
6		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	snss 4737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑢)
8	7	rexbii 3079	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
9	5, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
10	4, 9	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ ∪ WUni
11	1, 10	mpgbir 1800	1 ⊢ ∪ WUni = V

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ∪ cuni 4859  WUnicwun 10588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-wun 10590

This theorem is referenced by: (None)