Theorem uniwun 10653

Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 10748 for weak universes, but it is provable in ZF without the Tarski-Grothendieck axiom, contrary to grothtsk 10748. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
uniwun	⊢ ∪ WUni = V

Proof of Theorem uniwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3448	. 2 ⊢ (∪ WUni = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ∪ WUni)
2		vsnex 5376	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ V
3		wunex 10652	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ V → ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢
5		eluni2 4865	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢)
6		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	snss 4739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑢)
8	7	rexbii 3076	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
9	5, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
10	4, 9	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ ∪ WUni
11	1, 10	mpgbir 1799	1 ⊢ ∪ WUni = V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ∪ cuni 4861  WUnicwun 10613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-wun 10615

This theorem is referenced by: (None)