MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniwun 10684
Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 10779 for weak universes, but it is provable in ZF without the Tarski-Grothendieck axiom, contrary to grothtsk 10779. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
uniwun WUni = V

Proof of Theorem uniwun
Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqv 3456 . 2 ( WUni = V ↔ ∀𝑥 𝑥 WUni)
2 vsnex 5390 . . . 4 {𝑥} ∈ V
3 wunex 10683 . . . 4 ({𝑥} ∈ V → ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
42, 3ax-mp 5 . . 3 𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢
5 eluni2 4873 . . . 4 (𝑥 WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝑥𝑢)
6 vex 3451 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
76snss 4750 . . . . 5 (𝑥𝑢 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑢)
87rexbii 3094 . . . 4 (∃𝑢 ∈ WUni 𝑥𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
95, 8bitri 275 . . 3 (𝑥 WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
104, 9mpbir 230 . 2 𝑥 WUni
111, 10mpgbir 1802 1 WUni = V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914  {csn 4590   cuni 4869  WUnicwun 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-wun 10646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator