Theorem uniwun 10651

Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 10746 for weak universes, but it is provable in ZF without the Tarski-Grothendieck axiom, contrary to grothtsk 10746. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
uniwun	⊢ ∪ WUni = V

Proof of Theorem uniwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3450	. 2 ⊢ (∪ WUni = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ∪ WUni)
2		vsnex 5379	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ V
3		wunex 10650	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ V → ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢
5		eluni2 4867	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢)
6		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	snss 4741	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑢)
8	7	rexbii 3083	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
9	5, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
10	4, 9	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ ∪ WUni
11	1, 10	mpgbir 1800	1 ⊢ ∪ WUni = V

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ∪ cuni 4863  WUnicwun 10611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-wun 10613

This theorem is referenced by: (None)