Theorem uniwun 10754

Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 10849 for weak universes, but it is provable in ZF without the Tarski-Grothendieck axiom, contrary to grothtsk 10849. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
uniwun	⊢ ∪ WUni = V

Proof of Theorem uniwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3469	. 2 ⊢ (∪ WUni = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ∪ WUni)
2		vsnex 5404	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ V
3		wunex 10753	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ V → ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢
5		eluni2 4887	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢)
6		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	snss 4761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑢)
8	7	rexbii 3083	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
9	5, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
10	4, 9	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ ∪ WUni
11	1, 10	mpgbir 1799	1 ⊢ ∪ WUni = V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ∪ cuni 4883  WUnicwun 10714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-wun 10716

This theorem is referenced by: (None)