Theorem uniwun 10638

Description: Every set is contained in a weak universe. This is the analogue of grothtsk 10733 for weak universes, but it is provable in ZF without the Tarski-Grothendieck axiom, contrary to grothtsk 10733. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
uniwun	⊢ ∪ WUni = V

Proof of Theorem uniwun

Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3447	. 2 ⊢ (∪ WUni = V ↔ ∀𝑥 𝑥 ∈ ∪ WUni)
2		vsnex 5374	. . . 4 ⊢ {𝑥} ∈ V
3		wunex 10637	. . . 4 ⊢ ({𝑥} ∈ V → ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢
5		eluni2 4862	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢)
6		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	snss 4736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑢)
8	7	rexbii 3080	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ WUni 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
9	5, 8	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ WUni ↔ ∃𝑢 ∈ WUni {𝑥} ⊆ 𝑢)
10	4, 9	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ ∪ WUni
11	1, 10	mpgbir 1800	1 ⊢ ∪ WUni = V

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4575  ∪ cuni 4858  WUnicwun 10598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-wun 10600

This theorem is referenced by: (None)