MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzp1 12128
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzp1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))

Proof of Theorem uzp1
StepHypRef Expression
1 uzm1 12125 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2 eluzp1p1 12119 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
3 eluzelcn 12105 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10444 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
5 npcan 10745 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
63, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76eleq1d 2866 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
82, 7syl5ib 245 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
98orim2d 961 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
101, 9mpd 15 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 842   = wceq 1522  wcel 2080  cfv 6228  (class class class)co 7019  cc 10384  1c1 10387   + caddc 10389  cmin 10719  cuz 12093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094
This theorem is referenced by:  fzsuc2  12815  fldiv4p1lem1div2  13055  seqid  13265  seqz  13268  hashfzp1  13640  telfsumo  14990  fsumparts  14994  isumsplit  15028  prmlem0  16268  efgredlemc  18598  chtub  25470  numclwlk1  27834  incsequz2  34569  jm2.23  39091  fmul01lt1lem1  41420  wallispilem3  41908
  Copyright terms: Public domain W3C validator