Theorem uznn0sub 12891

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uznn0sub	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem uznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12858	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		znn0sub 12639	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
3	2	biimp3a 1471	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
4	1, 3	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853

This theorem is referenced by:  fznn0sub  13573  elfzmlbm  13655  fzen2  13987  fzfi  13990  leexp2a  14190  hashfz  14445  ccatrn  14607  swrds2m  14960  isercoll2  15685  iseralt  15701  cvgrat  15899  fprodser  15965  dvdsexp  16347  bitsshft  16494  prmm2nn0  16717  hashdvds  16794  prmdiv  16804  prmdiveq  16805  pcaddlem  16908  vdwlem5  17005  vdwlem8  17008  dvn2bss  25884  aaliou3lem2  26303  lgsquadlem1  27343  crctcshwlkn0lem5  29796  clwwlknonex2lem1  30088  clwwlknonex2lem2  30089  numclwlk1lem2  30351  numclwwlk3lem1  30363  fiblem  34430  signstfveq0  34609  irrapxlem3  42847  itgsinexp  45984  wallispilem3  46096  fmtnorec3  47562  fmtnorec4  47563