Theorem explecnv 16014

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is less than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
explecnv.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
explecnv.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
explecnv	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2		0z 12685	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		explecnv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ifcl 4528	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
6		explecnv.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		explecnv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
9	7, 8	expcnv 16013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
10		explecnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	10	fvexi 6891	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
12	11	mptex 7221	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
14		nn0uz 12984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	10, 14	ineq12i 4164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0))
16		uzin 12982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
17	3, 2, 16	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
18	15, 17	eqtr2id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
19	18	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
20	19	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
21	20	elin2d 4151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
24		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6985	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
26	21, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
27	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27, 21	reexpcld 14286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	26, 28	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
30	20	elin1d 4150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31		2fveq3 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑛)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
32		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))
33		fvex 6890	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6985	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
35	30, 34	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
36		explecnv.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	30, 36	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	35, 38	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
40		explecnv.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
41	30, 40	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
42	41, 35, 26	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
43	37	absge0d 15594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
44	43, 35	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘))
45	1, 5, 9, 13, 29, 39, 42, 44	climsqz2 15789	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0)
46		explecnv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
47	34	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
48	10, 3, 46, 13, 36, 47	climabs0 15732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0))
49	45, 48	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ↑cexp 14184  abscabs 15381   ⇝ cli 15631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636

This theorem is used by: (None)