Theorem explecnv 15782

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is less than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
explecnv.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
explecnv.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
explecnv	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2		0z 12489	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		explecnv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ifcl 4522	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
6		explecnv.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		explecnv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
9	7, 8	expcnv 15781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
10		explecnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	10	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
12	11	mptex 7166	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
14		nn0uz 12784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	10, 14	ineq12i 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0))
16		uzin 12782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
17	3, 2, 16	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
18	15, 17	eqtr2id 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
19	18	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
21	20	elin2d 4156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
23		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
24		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
26	21, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
27	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27, 21	reexpcld 14080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	26, 28	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
30	20	elin1d 4155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31		2fveq3 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑛)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
32		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))
33		fvex 6844	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6938	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
36		explecnv.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	30, 36	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15356	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	35, 38	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
40		explecnv.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
41	30, 40	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
42	41, 35, 26	3brtr4d 5127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
43	37	absge0d 15364	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
44	43, 35	breqtrrd 5123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘))
45	1, 5, 9, 13, 29, 39, 42, 44	climsqz2 15559	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0)
46		explecnv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
47	34	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
48	10, 3, 46, 13, 36, 47	climabs0 15502	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0))
49	45, 48	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   < clt 11156   ≤ cle 11157  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742  ↑cexp 13978  abscabs 15151   ⇝ cli 15401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fl 13706  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-clim 15405  df-rlim 15406

This theorem is referenced by: (None)