Theorem explecnv 15830

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is less than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
explecnv.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
explecnv.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
explecnv	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2		0z 12535	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		explecnv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ifcl 4513	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
6		explecnv.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		explecnv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
9	7, 8	expcnv 15829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
10		explecnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	10	fvexi 6855	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
12	11	mptex 7178	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
14		nn0uz 12826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	10, 14	ineq12i 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0))
16		uzin 12824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
17	3, 2, 16	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
18	15, 17	eqtr2id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
19	18	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
21	20	elin2d 4146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
24		ovex 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6948	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
26	21, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
27	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27, 21	reexpcld 14125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	26, 28	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
30	20	elin1d 4145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31		2fveq3 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑛)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
32		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))
33		fvex 6854	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6948	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
36		explecnv.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	30, 36	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	35, 38	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
40		explecnv.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
41	30, 40	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
42	41, 35, 26	3brtr4d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
43	37	absge0d 15409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
44	43, 35	breqtrrd 5114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘))
45	1, 5, 9, 13, 29, 39, 42, 44	climsqz2 15604	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0)
46		explecnv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
47	34	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
48	10, 3, 46, 13, 36, 47	climabs0 15547	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0))
49	45, 48	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ↑cexp 14023  abscabs 15196   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451

This theorem is referenced by: (None)