MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  explecnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem explecnv 15843
Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
explecnv.2 (𝜑𝐹𝑉)
explecnv.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
explecnv (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2 0z 12599 . . . 4 0 ∈ ℤ
3 explecnv.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ifcl 4569 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancr 585 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
6 explecnv.5 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 11272 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 explecnv.4 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
97, 8expcnv 15842 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10 explecnv.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
1110fvexi 6906 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1211mptex 7231 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ∈ V)
14 nn0uz 12894 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
1510, 14ineq12i 4204 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ‘0))
16 uzin 12892 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ‘0)) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
173, 2, 16sylancl 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ‘0)) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
1815, 17eqtr2id 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
1918eleq2d 2811 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
2019biimpa 475 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
2120elin2d 4193 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
23 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
24 ovex 7449 . . . . . 6 (𝐴𝑘) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 7000 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
2621, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
276adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827, 21reexpcld 14159 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2926, 28eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
3020elin1d 4192 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘𝑍)
31 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑛)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
32 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))
33 fvex 6905 . . . . . 6 (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 7000 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
3530, 34syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
36 explecnv.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3730, 36syldan 589 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3837abscld 15415 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
3935, 38eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
40 explecnv.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
4130, 40syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
4241, 35, 263brtr4d 5175 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘))
4337absge0d 15423 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
4443, 35breqtrrd 5171 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘))
451, 5, 9, 13, 29, 39, 42, 44climsqz2 15618 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ⇝ 0)
46 explecnv.2 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
4734adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
4810, 3, 46, 13, 36, 47climabs0 15561 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ⇝ 0))
4945, 48mpbird 256 1 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cin 3938  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  cle 11279  0cn0 12502  cz 12588  cuz 12852  cexp 14058  abscabs 15213  cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator