Theorem explecnv 15868

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
explecnv.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
explecnv.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
explecnv	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2		0z 12591	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		explecnv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		ifcl 4544	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
6		explecnv.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		explecnv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
9	7, 8	expcnv 15867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
10		explecnv.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
11	10	fvexi 6886	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
12	11	mptex 7211	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
14		nn0uz 12886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	10, 14	ineq12i 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0))
16		uzin 12884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
17	3, 2, 16	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
18	15, 17	eqtr2id 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
19	18	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
20	19	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
21	20	elin2d 4178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22		oveq2 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
23		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
24		ovex 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
25	22, 23, 24	fvmpt 6982	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
26	21, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
27	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27, 21	reexpcld 14170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
29	26, 28	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
30	20	elin1d 4177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
31		2fveq3 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑛)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
32		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))
33		fvex 6885	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6982	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
35	30, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
36		explecnv.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
37	30, 36	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
38	37	abscld 15442	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	35, 38	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
40		explecnv.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
41	30, 40	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
42	41, 35, 26	3brtr4d 5148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
43	37	absge0d 15450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
44	43, 35	breqtrrd 5144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘))
45	1, 5, 9, 13, 29, 39, 42, 44	climsqz2 15645	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0)
46		explecnv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
47	34	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
48	10, 3, 46, 13, 36, 47	climabs0 15588	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0))
49	45, 48	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   ∩ cin 3923  ifcif 4498   class class class wbr 5116   ↦ cmpt 5198  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℂcc 11119  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℕ₀cn0 12493  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ↑cexp 14068  abscabs 15240   ⇝ cli 15487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-fl 13798  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-clim 15491  df-rlim 15492

This theorem is referenced by: (None)