Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  explecnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem explecnv 15282
 Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
explecnv.2 (𝜑𝐹𝑉)
explecnv.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
explecnv (𝜑𝐹 ⇝ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . 3 (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2 0z 12045 . . . 4 0 ∈ ℤ
3 explecnv.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 ifcl 4469 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancr 590 . . 3 (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
6 explecnv.5 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10721 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 explecnv.4 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
97, 8expcnv 15281 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
10 explecnv.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
1110fvexi 6678 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1211mptex 6984 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ∈ V
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ∈ V)
14 nn0uz 12334 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
1510, 14ineq12i 4118 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ‘0))
16 uzin 12332 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ‘0)) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
173, 2, 16sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ‘0)) = (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
1815, 17syl5req 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
1918eleq2d 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
2019biimpa 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
2120elin2d 4107 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22 oveq2 7165 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
23 eqid 2759 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
24 ovex 7190 . . . . . 6 (𝐴𝑘) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6765 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
2621, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
276adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827, 21reexpcld 13591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2926, 28eqeltrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
3020elin1d 4106 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘𝑍)
31 2fveq3 6669 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹𝑛)) = (abs‘(𝐹𝑘)))
32 eqid 2759 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))
33 fvex 6677 . . . . . 6 (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ V
3431, 32, 33fvmpt 6765 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
3530, 34syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
36 explecnv.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3730, 36syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3837abscld 14858 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
3935, 38eqeltrd 2853 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
40 explecnv.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
4130, 40syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
4241, 35, 263brtr4d 5069 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘))
4337absge0d 14866 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑘)))
4443, 35breqtrrd 5065 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘))
451, 5, 9, 13, 29, 39, 42, 44climsqz2 15060 . 2 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ⇝ 0)
46 explecnv.2 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
4734adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
4810, 3, 46, 13, 36, 47climabs0 15004 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (abs‘(𝐹𝑛))) ⇝ 0))
4945, 48mpbird 260 1 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∩ cin 3860  ifcif 4424   class class class wbr 5037   ↦ cmpt 5117  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590   < clt 10727   ≤ cle 10728  ℕ0cn0 11948  ℤcz 12034  ℤ≥cuz 12296  ↑cexp 13493  abscabs 14655   ⇝ cli 14903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-pm 8426  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-sup 8953  df-inf 8954  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-fl 13225  df-seq 13433  df-exp 13494  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-clim 14907  df-rlim 14908 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator