MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winainf 9832
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainf (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem winainf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 9824 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2 cfon 9393 . . . 4 (cf‘𝐴) ∈ On
3 eleq1 2895 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
42, 3mpbii 225 . . 3 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
5 winainflem 9831 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
64, 5syl3an2 1209 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
71, 6sylbi 209 1 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  wss 3799  c0 4145   class class class wbr 4874  Oncon0 5964  cfv 6124  ωcom 7327  csdm 8222  cfccf 9077  Inaccwcwina 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-om 7328  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-card 9079  df-cf 9081  df-wina 9822
This theorem is referenced by:  winalim  9833  winalim2  9834  gchina  9837  inar1  9913
  Copyright terms: Public domain W3C validator