Theorem winainf 10654

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainf	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem winainf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwina 10646	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
2		cfon 10213	. . . 4 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
3		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	mpbii 235	. . 3 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
5		winainflem 10653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syl3an2 1178	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  Oncon0 6348  ‘cfv 6523  ωcom 7848   ≺ csdm 8928  cfccf 9897  Inacc_wcwina 10642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-om 7849  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-card 9899  df-cf 9901  df-wina 10644

This theorem is referenced by:  winalim  10655  winalim2  10656  gchina  10659  inar1  10735