MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winainf 10717
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainf (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem winainf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 10709 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2 cfon 10278 . . . 4 (cf‘𝐴) ∈ On
3 eleq1 2817 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
42, 3mpbii 232 . . 3 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
5 winainflem 10716 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
64, 5syl3an2 1162 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
71, 6sylbi 216 1 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3947  c0 4323   class class class wbr 5148  Oncon0 6369  cfv 6548  ωcom 7870  csdm 8962  cfccf 9960  Inaccwcwina 10705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-card 9962  df-cf 9964  df-wina 10707
This theorem is referenced by:  winalim  10718  winalim2  10719  gchina  10722  inar1  10798
  Copyright terms: Public domain W3C validator