MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winainf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winainf 10449
Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winainf (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem winainf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 10441 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2 cfon 10010 . . . 4 (cf‘𝐴) ∈ On
3 eleq1 2828 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
42, 3mpbii 232 . . 3 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
5 winainflem 10448 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
64, 5syl3an2 1163 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
71, 6sylbi 216 1 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  wrex 3067  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5079  Oncon0 6264  cfv 6431  ωcom 7704  csdm 8713  cfccf 9694  Inaccwcwina 10437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-om 7705  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-card 9696  df-cf 9698  df-wina 10439
This theorem is referenced by:  winalim  10450  winalim2  10451  gchina  10454  inar1  10530
  Copyright terms: Public domain W3C validator