Theorem winainf 10450

Description: A weakly inaccessible cardinal is infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winainf	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem winainf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwina 10442	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
2		cfon 10011	. . . 4 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
3		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	mpbii 232	. . 3 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
5		winainflem 10449	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
6	4, 5	syl3an2 1163	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → ω ⊆ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  ωcom 7712   ≺ csdm 8732  cfccf 9695  Inacc_wcwina 10438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-card 9697  df-cf 9699  df-wina 10440

This theorem is referenced by:  winalim  10451  winalim2  10452  gchina  10455  inar1  10531