Theorem winaon 10780

Description: A weakly inaccessible cardinal is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winaon	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem winaon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwina 10778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
2		cfon 10339	. . . 4 ⊢ (cf‘𝐴) ∈ On
3		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
5	4	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → 𝐴 ∈ On)
6	1, 5	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → 𝐴 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4277   class class class wbr 5102  Oncon0 6365  ‘cfv 6543   ≺ csdm 8980  cfccf 10025  Inacc_wcwina 10774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-card 10027  df-cf 10029  df-wina 10776

This theorem is used by:  inar1  10867  inatsk  10870  grur1a  10911  grur1  10912  inaprc  10928  inaex  45418  gruex  45419