MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winaon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winaon 10098
Description: A weakly inaccessible cardinal is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winaon (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem winaon
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 10096 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2 cfon 9665 . . . 4 (cf‘𝐴) ∈ On
3 eleq1 2897 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
42, 3mpbii 234 . . 3 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
543ad2ant2 1126 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
61, 5sylbi 218 1 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  c0 4288   class class class wbr 5057  Oncon0 6184  cfv 6348  csdm 8496  cfccf 9354  Inaccwcwina 10092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-card 9356  df-cf 9358  df-wina 10094
This theorem is referenced by:  inar1  10185  inatsk  10188  grur1a  10229  grur1  10230  inaprc  10246  inaex  40510  gruex  40511
  Copyright terms: Public domain W3C validator