MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winaon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winaon 10705
Description: A weakly inaccessible cardinal is an ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winaon (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem winaon
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elwina 10703 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
2 cfon 10272 . . . 4 (cf‘𝐴) ∈ On
3 eleq1 2817 . . . 4 ((cf‘𝐴) = 𝐴 → ((cf‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
42, 3mpbii 232 . . 3 ((cf‘𝐴) = 𝐴𝐴 ∈ On)
543ad2ant2 1132 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ On)
61, 5sylbi 216 1 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  c0 4318   class class class wbr 5142  Oncon0 6363  cfv 6542  csdm 8956  cfccf 9954  Inaccwcwina 10699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-card 9956  df-cf 9958  df-wina 10701
This theorem is referenced by:  inar1  10792  inatsk  10795  grur1a  10836  grur1  10837  inaprc  10853  inaex  43728  gruex  43729
  Copyright terms: Public domain W3C validator